Uma das aplicações mais úteis das derivadas é um resultado que nos permite alargar consideravelmente o universo de limites que sabemos calcular (e logo das funções que conseguimos estudar).
O objectivo é calcular
\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\]
nos casos em que resulta numa indeterminação \(\dfrac{0}{0}\) ou \(\dfrac{\infty}{\infty}.\)
A sua dedução rigorosa será feita com base no teorema de Cauchy a ser dado na aula 22.
Vamos deduzi-la para um dos casos possíveis. Sejam \(f,g\) contínuas em \([a,b]\), diferenciáveis em \(\left]a,b\right[\) e \(g'(x)\not=0\) neste intervalo. Além disso, suponhamos que,
\[f(a)=g(a)=0.\]
Assim, vamos ter um caso \(\dfrac{0}{0}\). Seja, \(x\in]a,b].\;\) Apliquemos o teorema de Cauchy ao intervalo \([a,x]\): existe \(c_x\in \left]a,x\right[\), tal que,
\[
\frac{f'(c_x)}{g'(c_x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f(x)}{g(x)}\,.
\]
Suponhamos, como hipótese adicional, que existe \(b\in \overline{\mathbb{R}}\), tal que,
\[b=\lim_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}\,.\]
Como \(x\to a^+\), e como \(a\lt c_x\lt x\), temos também \(c_x\to a^+\) e, concluimos que,
\[\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^+}\frac{f'(c_x)}{g'(c_x)}=b.\]
Reparem que a conclusão só foi possível com a hipótese adicional da existência do \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}\). Sem esta hipótese,
como veremos de seguida, não é possível assegurar sequer a existência do limite pretendido.
Se \(f,g\) não forem definidas em \(a\) mas \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^+}g(x)=0\), podemos aplicar a conclusão anterior aos prolongamentos por continuidade ao ponto 0, \(F,G\), e obtemos
o mesmo resultado, uma vez que \(\displaystyle \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^+}\frac{F(x)}{G(x)}.\)
É fácil adaptar a demonstração atrás para provar o resultado correspondente para \(x\to a^-\) e, logo, resultando o caso \(x\to a\).
Teorema: Regra de Cauchy (ou de l'Hôpital).Seja \(I\) um intervalo, \(a\in I\), e \(f,g\) funções diferenciáveis em \(I\setminus\{a\}\) onde \(g'(x)\not=0\). Se
e se existe \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\), em \(\overline{\mathbb{R}}\), então,
\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\,.\]
A Regra de Cauchy é válida para os casos \(x\to a^+\) e \(x\to a^-\) desde que as hipóteses de diferenciabilidade e de \(g'\not=0\) sejam satisfeitas em intervalos
\(]a,b[\;(a\lt b)\) e \(]b,a[\;(b\lt a)\), respectivamente, com a hipótese de existência do limite de \(\dfrac{f'}{g'}\) quando \(x\to a^+\) e \(x\to a^-\).
A Regra de Cauchy é válida para os casos \(x\to +\infty\) e \(x\to -\infty\) desde que as hipóteses de diferenciabilidade e de \(g'\not=0\) sejam satisfeitas em intervalos
\(]a,+\infty[\) e \(]-\infty,a[\), respectivamente, com a hipótese de existência do limite de \(\dfrac{f'}{g'}\) quando \(x\to +\infty\) e \(x\to -\infty\).
Exemplo 4. Calcular, se existir, \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\).
Sejam \(f(x)=1-\cos x\;\) e \(\;g(x)=x^2\). Temos que \(f(0)=g(0)=0\), são diferenciáveis em \(\mathbb{R}\) e \(g'(x)\not=0\) se \(x\not=0\).
Podemos aplicar então o resultado anterior se existir o limite \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\), o que vamos averiguar:
\[\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{2x}=\frac{1}{2}.\]
Concluimos que o limite pedido existe e é dado por
\[\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}.\]
Exemplo 5. Calcular, se existir, \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{senh}x}{\operatorname{sen}x}\).
Temos uma indeterminação \(\dfrac{0}{0}\). Sejam \(f(x)=\operatorname{senh}x\;\) e \(\;g(x)=\operatorname{sen}x\). São funções diferenciáveis em \(\mathbb{R}\) e \(g'(x)\not=0\), para \(x\in I\setminus\{0\}\) com \(I= [-\varepsilon,\varepsilon]\)
com \(\varepsilon \gt 0\) pequeno.
Podemos aplicar então a regra de Cauchy se existir o limite \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\), o que vamos averiguar:
\[\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{cosh}x}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.\]
Concluimos que o limite pedido existe e é dado por
\[\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{senh}x}{\operatorname{sen}x}=1.\]
Observação importante!
Veja que nos dois exemplos anteriores tivemos a preocupação de aplicar a regra de Cauchy somente depois de constatado que todas as condições de aplicação eram satisfeitas
o que incluia a existência do limite \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\). Se à partida não soubéssemos da existência daquele limite nada nos garantia que tivéssemos a
igualdade \(\;\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\,.\) Veja o contraexemplo abaixo:
Um contraexemplo: Seja \(f(x)=x^2\cos\dfrac{1}{x}\;\) e \(\;g(x)=x\). São diferenciáveis em \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), \(\;g'\not=0\;\) e
\[\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}g(x)=0.\]
Portanto, à partida,
\[\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}\quad\text{é do tipo}\quad \dfrac{0}{0}.\]
No entanto, neste caso conseguimos calcular directamente este limite:
\[\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2\cos\dfrac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to 0} x\cos\dfrac{1}{x}=0.\]
Vejamos o que é que se passa com \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\):
\[\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{\left(x^2\cos\dfrac{1}{x}\right)'}{(x)'}=2x\cos\dfrac{1}{x}+\operatorname{sen}\dfrac{1}{x}\]
Ora, esta função não tem limite quando \(x\to 0\) (reveja o argumento usando sucessões). Ou seja, estaria errado escrever \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.\)
Repare que todas as hipóteses do Teorema anterior são satisfeitas excepto uma: a existência de \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\). Conclusão: não podemos escrever a igualdade antes
de provarmos a existência daquele limite. Releia novamente os exemplos 4 e 5.
Uma notação simplificadora
Com o intuito de simplificar a escrita na resolução de problemas práticos e, ao mesmo tempo, não esquecermos que a aplicabilidade da regra de Cauchy depende da existência daquele limite definimos
a seguinte igualdade condicional:
Dizemos que
\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\stackrel{RC}{=}\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]
se, estando verificadas as outras hipóteses de aplicação da regra de Cauchy, a igualdade será válida apenas se o limite do lado direito existir.
Assim, aceita-se, por exemplo, que se escreva a determinação do limite do exemplo 5 na seguinte forma mais concisa:
\[\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{senh}x}{\operatorname{sen}x}\stackrel{RC}{=}
\lim_{x\to 0}\frac{\left(\operatorname{senh}x\right)'}{\left(\operatorname{sen}x\right)'}=\lim_{x\to 0}\frac{\cosh x}{\cos x}=1.\]
Exemplos de aplicação da regra de Cauchy
Vários limites usando a regra de Cauchy aplicada a indeterminações tipo \(\dfrac{0}{0}\), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) e a outras que se podem reduzir a estas:
Exemplo 6.\(\;\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\operatorname{tg}1/x}{\operatorname{arctg}1/x}=\lim_{y\to 0^+}\frac{\operatorname{tg}y}{\operatorname{arctg}y}\) é uma indeterminação \(\dfrac{0}{0}\).
Então, como
\[\lim_{y\to 0^+}\frac{\operatorname{tg}y}{\operatorname{arctg}y}\stackrel{RC}{=}\lim_{y\to 0^+}\frac{(\operatorname{tg}y)'}{(\operatorname{arctg}y)'}=
\lim_{y\to 0^+}\frac{1+\operatorname{tg}^2y}{\dfrac{1}{1+y^2}}=1,\]
podemos concluir que,
\[\lim_{x\to +\infty}\frac{\operatorname{tg}1/x}{\operatorname{arctg}1/x}=1.\]
Exemplo 7.\(\;\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x\,.\;\) É indeterminação \(\;0\cdot\infty:\) pode ser transformada numa indeterminação \(\;\dfrac{\infty}{\infty}\) à qual aplicamos a regra de Cauchy:
\[\lim_{x\to 0^+}x\ln x=\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{\dfrac{1}{x}}\stackrel{RC}{=}\lim_{x\to 0^+}\frac{(\ln x)'}{\left(\dfrac{1}{x}\right)'}=
\lim_{x\to 0^+}\frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^2}}=\lim_{x\to 0^+}(-x)=0.\]
Exemplo 8.\(\;\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\operatorname{sen}x}\right)\,.\;\) É indeterminação \(\infty-\infty\) a qual pode ser convertida numa indeterminação \(\dfrac{0}{0}\)
à qual se aplica a regra de Cauchy da seguinte forma:
\[\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\operatorname{sen}x}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x-x}{x\operatorname{sen}x}
\stackrel{RC}{=}\lim_{x\to 0}\frac{\left(\operatorname{sen}x-x\right)'}{\left(x\operatorname{sen}x\right)'}
=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{\operatorname{sen}x+x\cos x}\]
\[\stackrel{RC}{=}\lim_{x\to 0}\frac{\left(\cos x-1\right)'}{\left(\operatorname{sen}x+x\cos x\right)'}
=\lim_{x\to 0}\frac{-\operatorname{sen}x}{\cos x+\cos x-x\operatorname{sen}x}=0.\]
Reparem que se aplicou duas vezes a regra de Cauchy a indeterminações \(\;\dfrac{0}{0}.\)
Os exemplos seguintes mostram que é preciso tomar atenção quando à necessidade ou possibilidade de aplicação da regra de Cauchy e na forma como se aplica em certas situações:
Exemplo 9. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2\cos(1/x)}{\operatorname{sen}x}\,.\) É uma indeterminação \(\dfrac{0}{0}\) mas a regra de Cauchy não é aplicável uma vez que não existe
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f'}{g'}.\) Confiram.
No entanto,
\[\lim_{x\to 0}\frac{x^2\cos(1/x)}{\operatorname{sen}x}=0,\]
porque \(f\) é o produto do infinitésimo (quando \(x\to 0\)) \(\dfrac{x^2}{\operatorname{sen}x}\) pela função limitada \(\cos (1/x).\)
Exemplo 10. \(\;\displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x}=\frac{+\infty}{0^-}=-\infty.\;\) Não se trata de uma indeterminação e, portanto, a regra de Cauchy não é aplicável.
No entanto, o cálculo é directo e imediato.
Exemplo 11. \(\;\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x}.\;\) Trata-se de uma indeterminação \(\dfrac{0}{0}\). Tentemos aplicar a regra de Cauchy directamente como temos feito:
\[\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x}\stackrel{RC}{=}\lim_{x\to 0^+}\frac{\left(e^{-\frac{1}{x}}\right)'}{(x)'}=\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}=\dots\]
Não vale a pena tentarmos aplicar novamente a regra de Cauchy porque cada vez que aplicarmos obtemos uma nova indeterminação ainda mais complicada! Tentemos outra estratégia: escrevemos o limite na forma
\(\dfrac{\infty}{\infty}\), à qual aplicamos a regra de Cauchy:
\[\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{e^{\frac{1}{x}}}\stackrel{RC}{=}\lim_{x\to 0^+}\frac{\left(\frac{1}{x}\right)'}{\left(e^{\frac{1}{x}}\right)'}
=\lim_{x\to 0^+}\frac{-\frac{1}{x^2}}{e^{\frac{1}{x}}\left(-\frac{1}{x^2}\right)}=\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{e^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{+\infty}=0.\]
Neste caso particular, poderíamos também ter feito a mudança de variável \(y=\dfrac{1}{x}\):
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x}= \lim_{y\to +\infty}\frac{e^{-y}}{\frac{1}{y}}=\lim_{y\to +\infty}\frac{y}{e^y}\stackrel{RC}{=}\lim_{y\to +\infty}\frac{(y)'}{(e^y)'}=\lim_{y\to +\infty}\frac{1}{e^y}=0.\]
Levantamento de indeterminações dos tipos \(\quad 0^0,\quad \infty^0,\quad 1^\infty.\)
Relembremos o conceito de indeterminação. Mesmo sem conhecer as funções \(f\) e \(g\) mas se soubermos
\(\;\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=a\;\) e \(\;\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=b\;\)
sabemos calcular \(\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)^{g(x)}=a^b\), excepto nos casos \(\quad 0^0,\quad \infty^0,\quad 1^\infty.\)
Nestes casos, para sabermos o que se passa com aquele limite temos de conhecer as funções, não basta saber os seus limites em \(c\).
É isto o que se entende por casos indeterminados ou indeterminações: o termo indeterminação não diz respeito ao que se passa num caso concreto
(aquilo que se passa com o limite em cada caso é bem determinado) mas sim ao conjunto de todos os pares de funções que têm os mesmos limites.
Exemplo 12. \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+2x)^x=1^0=1\;\).
Trata-se de um caso em que o simples conhecimento dos limites \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+2x)=1\;\) e \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0}x=0\;\) chega para
fazer o cálculo do limite resultante. Portanto, não é uma indeterminação.
Exemplo 13. \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0^+}(1+2x)^{\frac{1}{x}}\;\).
Trata-se de um caso em que o simples conhecimento dos limites \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0^+}(1+2x)=1\;\) e
\(\;\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty\;\)
não chega para saber o que se passa com o limite resultante, nem sequer se ele existe:
é uma indeterminação, mas apenas no que diz respeito ao nosso estado de conhecimento.
Vamos ver que facilmente deixa de ser uma indeterminação usando a regra de Cauchy.
Relembremos a seguinte expressão:
\[f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}.\]
Então, no exemplo 13, a indeterminação \(1^\infty\) é convertida numa exponencial com uma indeterminação tipo \(\frac{0}{0}\) à qual se aplica a regra de Cauchy:
\[\lim_{x\to 0^+}(1+2x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0^+}e^{\frac{\ln (1+2x)}{x} }=e^{\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln (1+2x)}{x} }\]
Como,
\[\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln (1+2x)}{x}\stackrel{RC}{=}\lim_{x\to 0^+}\frac{(\ln (1+2x))'}{(x)'}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{2}{1+2x}}{1}=2,\]
concluimos que
\[\lim_{x\to 0^+}(1+2x)^{\frac{1}{x}}=e^2.\]
Exemplo 14. \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^x\;\) (indeterminação \(0^0\))
\[\lim_{x\to 0^+}x^x=e^{\lim_{x\to 0^+}x\ln x }\]
Como,
\[\lim_{x\to 0^+}x\ln x =\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\stackrel{RC}{=}\lim_{x\to 0^+}\frac{(\ln x)'}{\left(\frac{1}{x}\right)'}
=\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=-\lim_{x\to 0^+}x=0,\]
onde se aplicou a regra de Cauchy a uma indeterminação tipo \(\frac{\infty}{\infty}\), obtemos,
\[\lim_{x\to 0^+}x^x=e^0=1.\]
Exemplo 15. \(\;\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^{\frac{1}{x}}\;\) (indeterminação \(\infty^0\))
\[\lim_{x\to +\infty}x^{\frac{1}{x}}=e^{\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x} }\]
Como,
\[\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}\stackrel{RC}{=}\lim_{x\to +\infty}\frac{(\ln x)'}{(x)'}
=\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=0,\]
onde se aplicou a regra de Cauchy a uma indeterminação tipo \(\frac{\infty}{\infty}\), obtemos,
\[\lim_{x\to +\infty}x^{\frac{1}{x}}=e^0=1.\]
Exemplo 16. \(\;\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}\;\) (indeterminação \(1^\infty\))
\[\lim_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{\ln \cos x}{x^2} }\]
Como,
\[\lim_{x\to 0}\frac{\ln \cos x}{x^2} \stackrel{RC}{=}\lim_{x\to 0}\frac{(\ln \cos x)'}{(x^2)'}
=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}}{2x}=-\lim_{x\to 0}\frac{1}{2\cos x}=-\frac{1}{2},\]
onde se aplicou a regra de Cauchy a uma indeterminação tipo \(\frac{0}{0}\), e usou-se um dos limites notáveis, obtemos,
\[\lim_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{e}}.\]
Exemplo 17. \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{x}}=0^{+\infty}=0\). NÃO É INDETERMINAÇÃO! A regra de Cauchy não se pode aplicar, mas o resultado é imediato.
Aplicação ao limite de sucessões
Relembre a definição de limite de uma função à Heine no guia de estudo da aula 13. Apliquemos essa definição a um limite tipo \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)\):
e com a sucessão \(\;x_n=n\to+\infty\;\):
\[\lim_{x\to + \infty}f(x)=b\qquad\Rightarrow\qquad \lim f(n)=b\,.\]
Aplicando este resultado ao exemplo 15:
\[\lim \sqrt[n]{n}=\lim n^{\frac{1}{n}}=1.\]
Outro exemplo:
Exemplo 18. Calcular, se existir, o limite da sucessão \(\displaystyle u_n=\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}n\right)^n.\quad\)
(indeterminação \(1^\infty\))
Calculemos
\[\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}x\right)^x=e^{\lim_{x\to +\infty}x\ln\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}x\right)}.\]
Como,
\[\lim_{x\to +\infty}x\ln\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}x\right)=
\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}x\right)}{\frac{1}{x}}\stackrel{RC}{=}
\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(\ln\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}x\right)\right)'}{\left(\frac{1}{x}\right)'}=
\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{\frac{1}{1+x^2}}{\operatorname{arctg}x}}{-\frac{1}{x^2}}
\]
\[=-\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)\operatorname{arctg}x}=-\frac{2}{\pi}\]
onde a regra de Cauchy foi usada para a indeterminação \(\frac{0}{0}\), resulta,
\[\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}x\right)^x=e^{-2/\pi}.\]
Conclusão,
\[\lim\left(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}n\right)^n=e^{-2/\pi}.\]
Aplicação da regra de Cauchy ao cálculo das derivadas laterais num ponto.
Começemos por clarificar um ponto muito importante. Estudámos atrás a definição de derivada de \(f\) num ponto \(a\):
\[f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
quando este limite existe. Outro conceito é o limite da função derivada em \(a\):
\[\lim_{x\to a}f'(x).\]
A questão que se põe é: serão a mesma coisa? A resposta em geral é NÃO! Para se convencerem deste facto, considerem o seguinte
Contraexemplo: Seja
\[f(x)=\begin{cases}
x^2\cos\frac{1}{x},&\text{ se } x\not=0\\
0,&\text{ se } x=0
\end{cases}\]
Para começar constate que \(f\) é contínua em \(\mathbb{R}\).
Em seguida veja que, em \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\), \(f\) é diferenciável com derivada
\[f'(x)=2x\cos\frac{1}{x}-\operatorname{sen}\frac{1}{x}.\]
Resta saber o que é que se passa em \(x=0\). Neste caso, o teorema que enuncia as regras de derivação não é aplicável devido ao denominador nulo no ponto \(0.\)
Temos então que recorrer à definição de derivada:
\[f'(0)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2\cos\frac{1}{x}-0}{x-0}=\lim_{x\to 0}x\cos\frac{1}{x}=0,\qquad\text{(por enquadramento)}\]
Conclusão: \(f\) é diferenciável em \(\mathbb{R}\) com função derivada
\[f'(x)=\begin{cases}
2x\cos\frac{1}{x}-\operatorname{sen}\frac{1}{x},&\text{ se } x\not=0\\
0,&\text{ se } x=0
\end{cases}\]
Vejamos agora o que é que se passa com \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f'(x)\).
Veja que este limite não existe recordando o argumento baseado na definição à Heine (relembre, usando as sucessões
\(x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+(2n+1)\pi}\) e \(y_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}\)).
Logo, em geral, \(f'(a)\) e \(\displaystyle\lim_{x\to a}f'(x)\) não têm que coincidir.
As observações acima são aplicáveis às derivadas laterais: Não confundir \(\displaystyle\;f'(a^+)=\lim_{x\to a^+}f'(x)\;\)
com \(\displaystyle f'_d(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\;\) De forma semelhante, não confundir \(f'(a^-)\) com \(f_e'(a).\)
Observação. Repare que dizer que \(\displaystyle\lim_{x\to a}f'(x)=f'(a)\) é o mesmo que afirmar que a função derivada \(f'\) é contínua em \(a\)
o que nem sempre acontece.
Definição. Uma função \(f\) diferenciável em \(D_f\) tal que a função derivada \(f´\) é contínua em \(D_f\) diz-se de classe \(C^1\).
A função \(f\) do contraexemplo atrás é um exemplo de uma função diferenciável mas não de classe \(C^1\).
Repare que no contraexemplo atrás verificámos também que para a derivada lateral direita se tem \(f'_d(0)=0\), enquanto que o limite lateral direito da derivada,\(f'(0+)\), não existe.
Importa, portanto, não confundir os conceitos. O mesmo se pode dizer de \(f'_e(0)\) e \(f'(0-)\). No entanto a regra de Cauchy, nos casos em que é aplicável, permite-nos
calcular a derivada lateral no ponto como o limite lateral da derivada. Terminamos com alguns exemplos nesse sentido:
Exemplo 19. \(\qquad f(x)=\begin{cases}\ln(1+x^2),&\text{ se }-1\lt x\leqslant 0 \\ x^2e^{1-x^2},&\text{ se }x\gt 0 \end{cases}\)
Veja que é contínua em \(\mathbb{R}\) e diferenciável em cada ponto \(x\not=0\). Vejamos o ponto \(x=0\):
\[f'_d(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x^2e^{1-x^2}-\ln 1}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}xe^{1-x^2}=0,\]
por aplicação directa da definição de derivada lateral direita. Para a derivada lateral esquerda, temos,
\[\begin{align}f'_e(0)&=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{\ln(1+x^2)-\ln 1}{x-0}\\&=\lim_{x\to 0^-}\frac{\ln(1+x^2)}{x}
\stackrel{RC}{=}\lim_{x\to 0^-}\frac{\left(\ln(1+x^2)\right)'}{(x)'}=\lim_{x\to 0^-}\frac{\frac{2x}{1+x^2}}{1}=0,\end{align}\]
onde a regra de Cauchy foi aplicada para levantar a indeterminação \(\frac{0}{0}\).
Repare que as condições de aplicação da regra de Cauchy são satisfeitas, neste caso, se \(f(a-)=f(a)\), ou seja, se \(f\) é contínua à esquerda e
se \(f\) é diferenciável num intervalo \(]b,a[\), o que é também o caso. Então, como existe existe \(f'(0-)\) vemos que este limite coincide com \(f'_e(0)\).
Conclusão: \(f'_e(0)=f'_d(0)=0\,\quad\Rightarrow\quad f'(0)=0\) e, logo, \(f\) é diferenciável em \(\mathbb{R}\).
Exemplo 20. \(\qquad f(x)=\begin{cases}\operatorname{arctg}\frac{1}{x^2},&\text{ se }x\not= 0 \\ \frac{\pi}{2},&\text{ se }x= 0 \end{cases}\)
Para \(x\not=0\),
\[f'(x)=\frac{-\frac{2}{x^3}}{1+\left(\frac{1}{x^2}\right)^2}=-\frac{2x}{x^4+1}\]
Como \(f\) é contínua em \(0\) (verifique!) e \(f'\) é diferenciável se \(x\not= 0\) temos, por aplicação da regra de Cauchy à indeterminação \(\frac{0}{0}\),
\[f_e'(0)=f_d'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg}\frac{1}{x^2}-\frac{\pi}{2}}{x}\stackrel{RC}{=}
\lim_{x\to 0}\frac{\left(\operatorname{arctg}\frac{1}{x^2}-\frac{\pi}{2}\right)'}{(x)'}=-\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x^4+1}=0\]
Logo, \(\;f'(0)=0\;\) e \(f\) é diferenciável em \(\;\mathbb{R}\).