Aula teórica 35

Séries:
critérios de convergência (conclusão)
Séries de termo geral não negativo (conclusão):
O critério do integral. Uma aplicação: a prova da convergência/divergência das séries de Dirichlet.
Séries de termo geral sem sinal determinado: Séries absolutamente convergentes. O critério da convergência absoluta.
Séries alternadas. O critério de Leibniz.
Séries de potências.

Material de estudo:

• [AB] A. Bastos e A. Bravo, Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas, 2010.,   Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas, páginas 168-170.,.
• [S] Exercícios resolvidos:  Séries: secção 5.1. exercício 3..
• [CF] J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.
  

Parte 1.

Em seguida, completamos a apresentação dos critérios de convergência com dois critérios para séries em que o sinal do termo geral não é fixo: o da convergência absoluta e o de Leibniz (para séries alternadas).

Voltamos a sublinhar o facto de que não existe um critério que sirva para estudar todas as séries (se houvesse, bastaria estudar esse critério!). É muito importante fazer exercícios para treinar a identificação do tipo de série e aplicação do critério mais correcto para esse tipo.

Temos então como principais objectivos no estudo dos conteudos referidos:

• Perceber o critério do integral e as situações em que tem que se usar.
• Saber o critério da convergência absoluta e determinar se uma série é ou não absolutamente convergente
• Perceber o critério de Leibniz e determinar se uma série alternada não absolutamente convergente é simplesmente convergente.

Material de estudo: além deste texto, pode consultar [AB] nas páginas indicadas no link. Note contudo que esse texto não considera o critério de Leibniz que se apresenta neste guia de estudo.
É muito importante, além dos exemplos dados neste guia de estudo, estudarem os exercícios resolvidos 3 da secção 5.1 da lista [S] .

Parte 2.

Os objecivos principais do estudo deste material são:

• Compreendam o conceito de representação de uma função por uma série
• Dada uma série de potências, saber calcular o seu raio de convergência, e estudando os extremos do intervalo de convergência saber escrever os conjuntos de pontos onde a série é absolutamente convergente, simplesmente convergente e divergente.

Material de estudo: além deste texto, pode consultar [AB] nas páginas indicadas no link.
É muito importante, além dos exemplos dados neste guia de estudo, estudarem os exercícios resolvidos 1 e 2 da secção 5.2 da lista [S] .

Séries: critérios de convergência (conclusão)

Séries de termo geral não negativo (conclusão):
O Critério do integral

Na aula anterior começámos a estudar critérios de convergência para as séries de termo geral não negativo (STNN). Relembremos o que foi dito nessa aula: os critérios específicos para STNN baseiam-se na seguinte propriedade:

Propriedade das séries de termos não negativos (STNN)

Uma STNN é convergente sse a sucessão das somas parciais \((s_n)\) é majorada.

Critério 6: critério do integral

Seja \(\;f:\left[1,+\infty\right[\to\mathbb{R}\;\) decrescente e positiva. Então, \[\sum_{n=1}^\infty f(n)\; \text{ é convergente }\quad \Longleftrightarrow\quad \lim_{p\to +\infty}\int_1^p f(x)\,dx <+\infty.\]

Demonstração:

Sendo \(f\) decrescente, temos para \(\;x\in[k,k+1],\;\) com \(\;k\in\mathbb{N},\) \[f(k)\geqslant f(x)\geqslant f(k+1).\] Integrando neste intervalo de comprimento 1, e dado que \(\,\int_{k}^{k+1}c\,dx=c\,\) para qualquer constante \(c\), obtemos \[f(k)\geqslant \int_k^{k+1}f(x)\,dx\geqslant f(k+1)\,.\] (relembrar que qualquer função limitada e monótona é integrável). Somando para \(\;k=1,2,\dots,p-1\;\) ficamos com, \[f(1)+f(2)+\dots+f(p-1)\geqslant \int_1^2 f(x)\,dx+\int_2^3 f(x)\,dx+\dots+\int_{p-1}^p f(x)\,dx\geqslant f(2)+f(3)+\dots+f(p)\,,\] ou seja, \[\sum_{n=1}^{p-1}f(n)\geqslant \int_1^p f(x)\,dx\geqslant \sum_{n=2}^p f(n)\,,\] e podemos concluir,

• \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty f(n)\) é convergente \(\;\Rightarrow\;\) a sucessão \(\;S_p=\displaystyle\sum_{n=1}^{p-1}f(n)\;\) é majorada \(\;\Rightarrow\;\) \(\displaystyle\lim_{p\to +\infty}\int_1^p f(x)\,dx <+\infty.\)
• \(\displaystyle\lim_{p\to +\infty}\int_1^p f(x)\,dx <+\infty\) \(\;\Rightarrow\;\) a sucessão \(\;s_p=\displaystyle\sum_{n=2}^{p}f(n)\;\) é majorada\(\;\Rightarrow\;\) \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty f(n)\) é convergente

Observação. Também se usa a notação \[\int_1^{+\infty} f(x)\,dx=\lim_{p\to +\infty}\int_1^p f(x)\,dx,\] designando-se este objecto por integral impróprio de \(f\) em \([1,+\infty[\).

Aplicação: as séries de Dirichlet

• Caso \(\alpha=1:\;\) série harmónica \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}.\;\) Apliquemos o critério do integral: neste caso, \(f(x)=\dfrac{1}{x},\;\) e \[\lim_{p\to +\infty}\int_1^p f(x)\,dx=\lim_{p\to +\infty}\int_1^p \frac{1}{x}\,dx=\lim_{p\to +\infty}\left[\ln |x|\right]_1^p =\lim_{p\to +\infty}\ln p=+\infty,\] donde concluimos que a série harmónica é divergente.

  Observação: já tínhamos chegado a esta conclusão por outro método (rever aula teórica 34), mostrando que por vezes podemos usar mais do que um método para obter a convergência/divergência de uma série.

• Caso \(\alpha\not=1.\quad\) Neste caso, \(\;f(x)=\dfrac{1}{x^\alpha},\;\) e \[\lim_{p\to +\infty}\int_1^p f(x)\,dx=\lim_{p\to +\infty}\int_1^p\frac{1}{x^\alpha}\,dx= \lim_{p\to+\infty}\left[\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right]_1^p= \frac{1}{\alpha-1}\left(1-\lim_{p\to+\infty} p^{1-\alpha}\right)= \begin{cases} \dfrac{1}{\alpha-1}&\text{ se }\alpha \gt 1\\ & \\ +\infty &\text{ se } 0\lt \alpha \lt 1, \end{cases}\] e, portanto, a série é divergente se \(\;\alpha\lt 1\;\) e convergente se \(\;\alpha \gt 1\).

Exemplos:

• São divergentes: \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 1 \quad (\alpha=0),\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n,\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^2,\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^{\sqrt{2}},\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sqrt{n},\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}},\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}. \;\)
• São convergentes: \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}, \;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}, \;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\sqrt{2}}, \;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^3}}. \;\)

Observação: sem o critério do integral poderíamos justificar a divergência das séries de Dirichlet com \(\alpha\lt 1\) comparando (critério 2) com a série harmónica (\(\alpha=1\)) a qual mostrámos atrás poder ser estudada por outro meio através da sucessão das somas parciais.

Exemplo 1.\(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\ln n}=\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}+\dots\;\) Comparando com a série harmónica, usando o critério 2: \[ \ln n \lt n \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\ln n}\gt \frac{1}{n}.\] Então, como sabemos que \(\displaystyle\sum\frac{1}{n}\) é divergente, concluimos que a série dada é divergente. Não precisámos portanto do critério do integral.

Exemplo 2.\(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}=\frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{3\ln 3}+\dots\;\) Tentemos, como no exemplo anterior, usar o critério de comparação 2. Como, qualquer que seja \(\alpha\gt 0\), \(\;\displaystyle\lim\frac{\ln n}{n^\alpha}=0,\;\) concluimos que, para \(n\) a partir de alguma ordem, \(\;\dfrac{1}{\ln n}\gt \dfrac{1}{n^\alpha},\;\) ou seja, \(\;\dfrac{1}{n\ln n}\gt \dfrac{1}{n^{\alpha+1}}.\;\;\) Mas, nós sabemos que as séries \(\displaystyle\sum\frac{1}{n^{\alpha+1}}\;\) são convergentes e então nada podemos concluir daqui, uma vez que a desigualdade tem o sentido oposto ao que nos permitiria usar o critério 2.

Usemos então o critério do integral. Consideremos então \(\;f(x)=\dfrac{1}{x\ln x},\;\) para \(\;x\geqslant 2:\) \[\lim_{p\to +\infty}\int_2^p f(x)\,dx=\lim_{p\to +\infty}\int_2^p \frac{1}{x\ln x}\,dx =\lim_{p\to +\infty}\bigl[\ln |\ln x|\bigr]_2^p =\lim_{p\to +\infty}\bigl(\ln|\ln p|-\ln|\ln 2|\bigr)=+\infty,\] e, portanto, a série dada é divergente.

Exemplo 3.\(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}=\frac{1}{2\ln^2 2}+\frac{1}{3\ln^2 3}+\dots\;\) Pela mesma razão que no exemplo anterior, o critério de comparação nada nos vai permitir concluir neste caso. Pelo critério do integral \[\lim_{p\to +\infty}\int_2^p f(x)\,dx=\lim_{p\to +\infty}\int_2^p \frac{1}{x\ln^2 x}\,dx =\lim_{p\to +\infty}\left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^p =\lim_{p\to +\infty}\left(-\frac{1}{\ln p}+\frac{1}{\ln 2}\right)=\frac{1}{\ln 2}, \] e, portanto, a série dada é convergente.

Exemplo 4.\(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2\ln n}=\frac{1}{4\ln^2 2}+\frac{1}{9\ln^2 3}+\dots\;\) Desta vez podemos usar o critério de comparação: para \(n\geqslant 3\), temos \(\ln n\gt 1\) e \[n^2\ln n\gt n^2\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{n^2\ln n}\lt \frac{1}{n^2},\] e como sabemos que a série \(\displaystyle\sum\frac{1}{n^2}\) é convergente, concluimos que a série dada é convergente.

Observação. Reparem que a aplicação do critério da raiz e do d'Alembert nunca foi sequer considerada nestes exemplos: seria pura perca de tempo! A razão disso é que estes critérios têm construido dentro de si uma comparação com a série geométrica e, por esse motivo, se o termo geral da série dada cresce ou decresce "muito mais devagar que \(c^n\)" (qualquer \(c\)), então os limites a calcular para aplicar aqueles dois critérios dão exactamente \(r=1\) que é a situação em que esses critérios nada permitem concluir. Constate este facto nos exemplos acima.

Séries de termo geral sem sinal determinado

Já observámos que não há nenhum critério que nos permita tirar conclusões em todas as séries e que, no caso das séries de termos não negativos (STNN), dispomos de mais critérios que no caso mais geral. A primeira questão natural que se pôe ao abordar séries que podem ter termos negativos é: o que é que ainda podemos dizer sobre essas séries usando, de alguma forma, o conhecimento adquirido até agora sobre STNN?

• A resposta a essa questão é trivial no caso em que todos os termos são não positivos: \(\;a_n\leqslant 0,\;\) para todo o \(n\). Neste caso a série \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-a_n)\;\) é de termos não negativos e as suas propriedades de convergência/divergência são as mesmas que as da série dada e podemos aplicar os critérios para STNN.

A questão atrás será relevante no caso em que a série dada é de sinal não determinado, ou seja, tem uns termos positivos e outros negativos.

Séries absolutamente convergentes

Introduzimos aqui essa classe de séries

Definição (série absolutamente convergente)

Diz-se que uma série dada \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\;\) é absolutamente convergente sse "a sua série dos módulos" \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |a_n|\;\) é convergente.

Para já, trata-se apenas de uma definição, não estabelecendo à partida nehnuma relação entre os factos de uma série ser convergente e ela ser absolutamente convergente. Essa relação é estabelecida com o seguinte

Critério 7: critério da convergência absoluta

Se uma série é absolutamente convergente, então ela é convergente.

Demonstração

Seja \(\;\sum a_n\;\) uma série absolutamente convergente, ou seja, tal que \(\;\sum|a_n|\;\) é convergente. Escrevemos agora esta série como a diferença entre duas STNN. Para isso introduzimos notação. Seja \(c\) um número real qualquer. A sua parte positiva, \(c^+\), e a sua parte negativa, \(c^-\) são: \[c^+=\max(0,c),\qquad c^-=\max(0,-c).\] Por exemplo, \(5^+=5,\;\) \(5^-=0,\;\) \((-5)^+=0,\;\) \((-5)^-=5.\) Então, é fácil ver que \(\;c ^+,c^-\geqslant 0,\;\) que \[c=c^+-c^-,\quad\text{ e que }\quad |c|=c^++c^-.\] Agora reparem que \(\sum (a_n)^+\) é simplesmente a STNN que se obtem de \(\sum a_n\) substituindo os termos negativos por \(0\). Analogamente, \(\sum(a_n)^-\) é a STNN obtida de \(\sum a_n\) substituindo por \(0\) os termos positivos e considerando o módulo dos outros.

Como, para cada \(n\), se tem \(\;(a_n)^+\leqslant |a_n|\;\) e \(\;(a_n)^-\leqslant |a_n|,\;\) pelo critério de comparação de STNN (critério 2) e como \(\sum|a_n|\) é convergente por hipótese, podemos dizer que ambas as séries \(\sum (a_n)^+\) e \(\sum(a_n)^+\) são convergentes. Como, pela propriedade da linearidade das séries a diferença entre duas séries convergentes é convergente (guia de estudo da aula teórica 33), podemos escrever, \[\sum (a_n)^+-\sum (a_n)^-=\sum\bigl[(a_n)^+-(a_n)^-\bigr]=\sum a_n,\] ficando provado que a série \(\sum a_n\) é convergente.

Exemplo 5.\(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^5}=-\frac{1}{1^5}+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{3^5}+\dots\quad\) A sua série dos módulos é \[\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{n^5}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^5},\] a qual é uma série de Dirichlet convergente (\(\alpha=5\gt 1\)). Logo, a série dada é absolutamente convergente e, pelo critério 7 é uma série convergente.

Exemplo 6. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nn^2}{3n^5-2}.\quad\) É uma série de termos sem sinal determinado e, por isso, não podemos usar directamente os critérios dados para STNN. Consideremos então a sua série dos módulos: \[\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^nn^2}{3n^5-2}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2}{3n^5-2}\] Esta última é uma STNN que pode ser comparada com a série de Dirichlet convergente \(\;\displaystyle\sum_ {n=1}^\infty\frac{1}{n^3}.\;\) Usando o critério 3 (faça-o!) concluimos que se trata de uma STNN convergente. Por outras palavras, a série dada é absolutamente convergente e portanto, pelo critério 7, é convergente.

Exemplo 7. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-2)^nn!}{n^n}.\quad\) Trata-se de uma série de termos sem sinal determinado, pelo que não podemos usar directamente os critérios dados para STNN. Consideremos a sua série dos módulos: \[\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-2)^nn!}{n^n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^nn!}{n^n}\] Apliquemos o critério de d'Alembert a esta STNN. Seja \(\;a_n=\frac{2^nn!}{n^n}.\;\) Então \[\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{(n+1)}}\cdot\frac{n^n}{2^nn!} =\lim\frac{2(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}}=2\lim\left(\frac{n}{n+1}\right)^n =2\lim\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{2}{e}\lt 1.\] Concluimos que a série dos módulos é uma STNN convergente. Pelo critério 7, a série dada é convergente.

O critério 7 estabelece a classe das séries absolutamente convergentes como uma subclasse das séries convergentes. Poderá uma série convergente não ser absolutamente convergente? Não podemos dar ainda um exemplo, o que ficará para a próxima secção, mas desde já ficam com a noção de que isso é possível. Ou seja, existem séries na classe seguinte:

Definição (série simplesmente convergente).

Uma série convergente que não seja absolutamente convergente designa-se por simplesmente convergente.

Ou seja, uma série \(\sum a_n\) é simplesmente convergente se \(\sum a_n\) é convergente mas \(\sum|a_n|\) é divergente.

Existem vários critérios para essa situação mas, nesta disciplina só vamos considerar o caso quando a série é do tipo dado na secção seguinte:

Séries alternadas: o critério de Leibniz

Definição (séries alternadas).

Designamos por série alternada qualquer série da forma \[\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n=-a_1+a_2-a_3+a_4-\dots\qquad\text{ou}\qquad \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}a_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\dots\] onde \(\;a_n\geqslant 0,\;\) para todo o \(n\in\mathbb{N}.\)

O seguinte critério aplica-se a estas séries

Critério 8: critério de Leibniz para séries alternadas

Se a sucessão \(\;(a_n)\;\) é decrescente e \(\lim a_n=0\), então, a série alternada \[\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}a_n\] é convergente.

Demonstração:

Por hipótese, temos \(a_{n+1}\leqslant a_n\). Seja \((s_n)\) sucessão das somas parciais da série alternada dada. Então, \[\begin{aligned} s_1&=a_1\gt 0\\ s_2&=a_1-a_2\\ s_3&=a_1-a_2+a_3\leqslant a_1=s_1, \quad \text{porque}\quad -a_2+a_3\leqslant 0,\\ s_4&=a_1-a_2+a_3-a_4\gt s_2,\quad\text{porque}\quad a_3-a_4\geqslant 0,\\ \end{aligned}\] Em geral: \(s_{2n}\) é crescente, \(s_{2n-1}\) é decrescente e como são ambas limitadas, são convergentes. Mas como \(s_{2n}-s_{2n-1}=a_{2n}\rightarrow 0,\) conclui-se que \(\lim s_{2n}=\lim_{2n-1}\) e segue-se que a sucessão das somas parciais \((s_n)\) é convergente, ou seja, a série alternada converge.

Exemplo 8. A série harmónica alternada: \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\dots\;\)
A sua série dos módulos é a série harmónica a qual sabemos ser divergente. Logo, a série harmónica alternada não é absolutamente convergente. Vamos aplicar o critério de Leibniz. Não há dúvida que a sucessão \((1/n)\) é decrescente e \(\lim \frac{1}{n}=0.\) Então, pelo critério 8, concluimos que a série é convergente.
Conclusão: a série harmónica alternada é simplesmente convergente.

Exemplo 9. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}\)

Em geral:

Séries de Dirichlet alternadas

São séries do tipo \[\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^\alpha}=\frac{1}{1^\alpha}-\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{3^\alpha}-\dots\] Se \(\alpha\leqslant 0\) então o termo geral da série não tende para 0 e a série é divergente, pelo critério 1.
Se \(\alpha \gt 1\), então a série dos módulos será a série de Dirichlet com \(\alpha\gt 1\) a qual é convergente. Neste caso a série de Dirichlet alternada é absolutamente convergente.
Para \(0\lt\alpha\leqslant 1\) procede-se como nos exemplos 8 e 9 e concluimos que a série é simplesmente convergente.

Resumindo:

Convergência absoluta/simples/divergência das séries de Dirichlet alternadas:

Considere-se a série de Dirichlet alternada \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^\alpha}.\;\) Então:

• Se \(\;\alpha\leqslant 0,\;\) então a série é divergente
• Se \(\;0\lt \alpha\leqslant 1,\;\) então a série é simplesmente convergente
• Se \(\;\alpha \gt 1,\;\) então a série é absolutamente convergente

Mais exemplos:

Exemplo 10. \(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{\ln n}\;\)
Vejamos a série dos módulos: \(\;\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{\ln n}\right|=\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\ln n}.\)
Por comparação com a série harmónica esta série é divergente (ver exemplo 1 desta aula). Por outro lado, a sucessão \(\frac{1}{\ln n}\) é claramente decrescente e tende para 0. Logo, pelo critério de Leibniz, esta série é convergente mas não é absolutamente convergente. Logo, é simplesmente convergente.

Exemplo 11. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2+\ln n}.\;\) Estudemos a série dos módulos: \[\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{n^2+\ln n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+\ln n}.\]
Trata-se de uma STNN que pode ser estudada comparando com a série de Dirichlet \(\sum\frac{1}{n^2}:\) \[\lim\frac{\frac{1}{n^2+\ln n}}{\frac{1}{n^2}}=\lim\frac{1}{1+\frac{\ln n}{n^2}}=1\not=0,\infty.\] Concluimos que a série dos módulos tem a mesma natureza que a série de Dirichlet com \(\alpha=2\), ou seja, é convergente.
Conclusão: a série é absolutamente convergente.

Exemplo 12. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nn}{n^2+\ln n}.\;\) Estudemos a série dos módulos: \[\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^nn}{n^2+\ln n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n^2+\ln n}.\]
Trata-se de uma STNN que pode ser estudada comparando com a série de Dirichlet \(\displaystyle\sum\frac{n}{n^2}=\sum\frac{1}{n}:\) \[\lim\frac{\frac{n}{n^2+\ln n}}{\frac{1}{n}}=\lim\frac{n^2}{n^2+\ln n}=\lim\frac{1}{1+\frac{\ln n}{n^2}}=1\not=0,\infty.\] Concluimos que a série dos módulos tem a mesma natureza que a série de Dirichlet com \(\alpha=1\), ou seja, é divergente.
Então a série dada não é absolutamente convergente. Resta saber se é divergente ou simplesmente convergente.
Para isso constatemos que a série dada é alternada do tipo \[\displaystyle\sum (-1)^na_n,\quad\text{com}\quad a_n=\frac{n}{n^2+\ln n}\] Verifique que \(a_{n+1}-a_n\lt 0\), para todo \(n\in\mathbb{N}\). Além disso, \(\lim a_n=0\) e concluimos, pelo critério de Leibniz, que a série é convergente.

Observação importante: Repare na estratégia seguida nos exercícios 11 e 12. Se queremos classificar uma série alternada como absolutamente convergente, simplesmente convergente ou divergente, começamos por estudar a série dos módulos. Se esta for convergente, concluimos imediatamente que a série é absolutamente convergente e o problema fica resolvido: ainda que a série seja alternada, o critério de Leibniz não necessita de ser utilizado.
Se, pelo contrário, a série dos módulos é divergente, vamos ter que verificar a convergência da série usando o critério de Leibniz. No entanto, se tivéssemos começado com este critério, teríamos ainda assim, que fazer o estudo da série dos módulos.
Conclusão: há toda a conveniência em iniciar o estudo de uma série alternada com o estudo da convergência absoluta

Séries de potências

Definição. Série de potências

Designamos por série de potências uma série da forma \[\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+c_3(x-a)^3+\dots\] em que \(c_n,\;\) \(n=0,1,2,\dots\;\) e \(\;a\;\) são constantes reais dadas e \(\;x\;\) é uma variável real.

Trata-se da generalização do conceito de polinómio para um número infinito de potências de \(x\). Poderíamos então afirmar que se trata de um "polinómio de grau infinito". No entanto, pelo facto de termos uma soma de infinitos termos haverá uma diferença substancial relativamente aos polinómios: enquanto um polinómio é uma função definida em \(\mathbb{R}\), uma série de potências só estará definida para os valores de \(x\) em que a série é convergente (isto é, para os quais está definida a sua soma).

Outra questão é se as propriedades das operações em \(\mathbb{R}\), da derivada e do integral aplicadas aos polinómios e que são consequência das propriedades elementares dessas operações (comutatividade, associatividade, distributividade, linearidde da derivada e do integral,...) são também observadas pelas séries de potências. Esta questão não é trivial e para outros tipos de séries em que os termos são de outro tipo, a resposta poderá ser negativa. No entanto, para séries de potências veremos que poderão ser enunciadas propriedades que directamente generalizam a dos polinómios.

Exemplos. As seguinte séries de potências assumirão uma importância e \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+\dots\;\qquad (c_n=1,\; a=0)\)

A série geométrica já é nossa conhecida. As designações das outras serão justificadas mais à frente.

Texto complementar: Motivação - Representação de funções por séries (série de Taylor)

Da fórmula da soma da série geométrica quando \(\; -1\lt x\lt 1\;\) (relembre!), podemos escrever: \[f(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+\dots\] onde, \[f(x)=\frac{1}{1-x}.\] Isto é o exemplo da representação de uma função por uma série de potências. Mas muitas outras funções podem ser escritas como a soma de uma série de potências o que poderá ser extremamente útil na prática.

Para esse fim relembre (ver guia de estudo da aula teórica 23) que uma função \(\;f\;\) que tenha as derivadas de todas as ordens em torno do ponto \(a\) se pode escrever, para cada \(\;k\in\mathbb{N},\;\) como, \[f(x)=P_k(x)+R_k(x)\] onde \(P_k(x)\) é o polinómio de Taylor de ordem \(k\) em torno do ponto \(x=a,\) \[P_k(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^2+\dots+\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k =\sum_{n=0}^k\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\] e \(R_k(x)\) é o resto de ordem \(k\) (erro cometido na aproximação polinomial) para o qual dispomos da fórmula de Lagrange: \[R_k(x)=\frac{f^{k+1}(c)}{(k+1)!}(x-a)^{k+1}\,,\quad \text{ para algum }c\text{ entre }a\text{ e }x, \; \text{dependente de }k.\] Vamos ver o seguinte exemplo: \[f(x)=e^x,\qquad a=0.\] Então, \[e^x=P_k(x)+R_k(x)=\sum_{n=0}^k \frac{1}{n!}x^n+\frac{e^{c(k,x)}}{(k+1)!}x^{k+1}.\]

Tomemos o limite quando \(k\to\infty.\;\) Como \(c(k,x)\leqslant |x|,\;\) temos \(\;e^{c(k, x)}\leqslant e^{|x|}\;\) e, portanto, \[0\lt |R_k(x)|\lt e^{|x|}\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\to 0\] (relembre a escala de sucessões!). Logo, por enquadramento, \(\;\displaystyle\lim_{k\to\infty}R_k(x)=0,\;\) e, portanto, \[P_k(x)=e^x-R_k(x)\quad \Rightarrow \quad\lim_{k\to\infty}P_k(x)=e^x-\lim_ {k\to \infty}R_k(x)=e^x.\] Conclusão: \[e^x=\lim_{k\to\infty}P_k(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!},\] para qualquer \(x\in\mathbb{R}.\) Repare que a soma desta série dá exactamente o valor de \(e^x\) enquanto que o polinómio de Taylor fornece apenas uma aproximação quando \(x\) está próximo do ponto \(a=0\).

A identidade anterior justifica o nome de série exponencial atribuida àquela série. Procedendo da mesma forma quanto às séries 3 e 4 dos exemplos atrás, e relembrando os polinómios de Taylor das funções seno e cosseno, obtemos, para todo \(x\in\mathbb{R}\), \[\operatorname{sen}x=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!},\qquad \cos x=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!},\] justificando as designações dadas àquelas séries.

Proposição (série de Taylor)

Seja \(f\) uma função de classe \(C^\infty\) tal que, para \(x\) numa vizinhança de \(a\), as derivadas de todas a ordens \(\;f^{(n)}(x)\;\) são majoradas por uma constante. Então, para todo \(x\) nessa vizinhança, \(f(x)\) é dada pela soma da seguinte série de potências designada por série de Taylor: \[f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n,\] onde, para \(n=0,1,2,\dots, \) \[c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,.\]

Intervalo de convergência

Questão: Para que valores de \(x\) é a série anterior uma série absolutamente convergente, simplesmente convergente e divergente?

Proposição (existência do raio de convergência)

Sejam \(\;c_n\;\) \((n=0,1,2,\dots)\;\) e \(\;a\;\) constantes reais dadas. Então, existe um \(\;R\geqslant 0\;\) em \(\;\overline{\mathbb{R}}\;\) tal que a série de potências \[\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\]

• é absolutamente convergente se \(\;|x-a|\lt R;\)
• é divergente se \(\;|x-a|\gt R.\)

\(R\;\) designa-se por raio de convergência.

Reparem que nada é dito quando \(\;|x-a|=R\;\) ou seja, quando \(\;x=a-R\;\) ou \(\;x=a+R.\;\) Veremos nos exemplos que nestes pontos tudo pode acontecer relativamente à convergência da série de potências. Em particular veja que apenas nestes pontos a série de potências poderá eventualmente ser simplesmente convergente.

O seguinte resultado é menos geral que o anterior mas fornece duas fórmulas para o cálculo do raio de convergência em muitas situações relevantes:

Proposição (fórmulas para o raio de convergência)

• É válida a seguinte fórmula para o raio de convergência \(\;R\;\) se o limite indicado existir em \(\;\overline{\mathbb{R}}:\;\) \[R=\frac{1}{\lim \sqrt[n]{|c_n|}}\]
• É válida a seguinte fórmula para o raio de convergência \(\;R\;\) se, para \(\;n=0,1,2,\dots\;\) \(c_n\not=0\) e o limite indicado existir em \(\;\overline{\mathbb{R}}:\;\) \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|.\]

Demonstração

Fazemos a demonstração da segunda fórmula, o que também constituirá uma demonstração para a proposição geral anterior no caso em que ela é válida.

Sob a hipótese de existência do limite em causa, defina-se \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|\] Designemos \(\;a_n=c_n(x-a)^n.\;\) A série de potências será então a série \(\;\sum a_n.\;\) Para estudar a sua convergência absoluta consideremos a série dos módulos \(\;\sum|a_n|\;\) e apliquemos o critério de d'Alembert a esta STNN: \[\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} =\lim_{n\to\infty}\frac{|c_{n+1}(x-a)^{n+1}|}{|c_n(x-a)^n|} =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right||x-a|=\frac{|x-a|}{R}\]

Temos então,

• \(\displaystyle |x-a|\lt R \;\Rightarrow \; \lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\lt 1,\;\) e o critério de d'Alembert assegura que a série \(\;\sum|a_n|\;\) é convergente, ou seja, a série de potências é absolutamente convergente.
• \(\displaystyle |x-a|\gt R \;\Rightarrow \; \lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\gt 1.\;\) Aqui, o critério de d'Alembert apenas diz que a série \(\;\sum|a_n|\;\) é divergente, ou seja, a série de potências não é absolutamente convergente. No entanto podemos afirmar mais: a desigualdade anterior mostra que, para \(n\) suficientemente grande, \(\;\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|}>1\;\) e, portanto, \(\;|a_{n+1}|\gt|a_n|\;\) e, nesse caso, é impossível que \(\;\lim|a_n|=0.\;\) Logo, é impossível que \(\lim a_n=0\). Conclusão: pelo critério suficiente de convergência (critério 1), a série de potências \(\;\sum a_n\;\) é divergente.

A demonstração da outra fórmula para \(\;R\;\) segue os mesmos passos mas usando o critério da raiz em vez do critério de d'Alembert. Sugere-se que o façam como exercício.

Observação: Como foi afirmado atrás, o raio de convergência existe sempre, ainda que nenhum dos limites da proposição anterior exista. Embora saindo do âmbito desta disciplina, indica-se uma fórmula geral que é sempre válida: \[R=\frac{1}{\overline{\lim} \sqrt[n]{|c_n|}}\] Aqui, o símbolo \(\;\displaystyle\overline{\lim}\;\) designado por limite superior, é o maior dos sublimites da sucessão. Existe sempre em \(\overline{\mathbb{R}}.\)

Designamos por intervalo de convergência o intervalo \(I\) tal que a série de potências \[\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\] é convergente sse \(\;x\in I.\;\)

Esse intervalo é de uma das seguintes formas: \(\;\left]a-R,a+R \right[,\;\)\(\;\left]a-R,a+R\right],\;\) \(\;\left[a-R,a+R\right[\;\) ou \(\;\left[a-R,a+R\right].\;\)

Se \(\;x\in\left]a-R,a+R\right[,\;\) a série é absolutamente convergente.

Se \(\;x\in\left]-\infty,a-R\right[\cup\left]a+R,+\infty\right[,\;\) a série é divergente.

Exemplos

Para todos os exemplos que se seguem a questão é: determine os conjuntos de valores de \(x\) tais que a série dada é absolutamente convergente, simplesmente convergente e divergente. Indicar o intervalo de convergência

1. \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+\dots\;\) \(\quad (c_n=1,\; a=0)\)
   Trata-se da série geométrica que já conhecemos mas que revemos neste contexto para comparar com os outros casos. \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{1}{1}=1\] Em \(\;x=a+R=1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n=\sum_{n=0}^\infty 1\;\) é divergente.
   Em \(\;x=a-R=-1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\;\) é divergente (o termo geral não tende para 0).
   
Conclusão:
• \(x\in\left]-1,1\right[\quad\Rightarrow \quad\) a série é absolutamente convergente;
• \(x\in\left]-\infty,-1\right]\cup\left[1,+\infty\right[\quad\Rightarrow \quad\) a série é divergente.
Não existe, portanto nenhum valor de \(x\) para o qual a série é simplesmente convergente.

Intervalo de convergência: \(I=\left]-1,1\right[\)

2. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}=\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots\;\) \(\quad (c_n=\dfrac{1}{n},\; a=0)\)
   \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{n+1}{n}=1\] Em \(\;x=a+R=1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}\;\) é divergente (série harmónica).
   Em \(\;x=a-R=-1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\;\) é simplesmente convergente (série harmónica alternada ou critério de Leibniz).
   

Conclusão:
• \(x\in\left]-1,1\right[\quad\Rightarrow \quad\) a série é absolutamente convergente;
• \(x\in\left]-\infty,-1\right[\cup\left[1,+\infty\right[\quad\Rightarrow \quad\) a série é divergente.
• \(x=-1 \quad\Rightarrow \quad\) a série é simplesmente convergente.

Intervalo de convergência: \(I=\left[-1,1\right[\)

3. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}=\frac{x}{1}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{9}+\dots\;\) \(\quad (c_n=\dfrac{1}{n^2},\; a=0)\)
   \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{(n+1)^2}{n^2}=1\] Em \(\;x=a+R=1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}\;\) é absolutamente convergente (série de Dirichlet com \(\alpha=2\gt 1\)).
   Em \(\;x=a-R=-1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}\;\) é absolutamente convergente (série de Dirichlet alternada com \(\alpha=2\gt 1\)).
   

Conclusão:
• \(x\in\left[-1,1\right]\quad\Rightarrow \quad\) a série é absolutamente convergente;
• \(x\in\left]-\infty,-1\right[\cup\left]1,+\infty\right[\quad\Rightarrow \quad\) a série é divergente.
Não existem valores de \(x\) para os quais a série é simplesmente convergente.

Intervalo de convergência: \(I=\left[-1,1\right]\)

4. \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\dots\;\) \(\quad (c_n=\dfrac{1}{n!},\; a=0)\)
   \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{(n+1)!}{n!}=\lim (n+1)=+\infty\] Conclusão:
   \(\forall x\in\left]-\infty,+\infty\right[=\mathbb{R},\quad\) a série é absolutamente convergente.
   Não existem valores de \(x\) para os quais a série é simplesmente convergente ou divergente.

   Intervalo de convergência: \(I=\mathbb{R}\)

5. \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n!x^n=1+1!x+2!x^2+\dots\;\) \(\quad (c_n=n!,\; a=0)\)
   \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{n!}{(n+1)!}=\lim \frac{1}{n+1}=0\]

   Conclusão:
   • \(x=0\quad\Rightarrow \quad\) a série é absolutamente convergente (trivial);
   • \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\quad\Rightarrow \quad\) a série é divergente.

   Intervalo de convergência: \(I=\{0\}\)

6. \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^2}(x-1)^n\) \(\quad (c_n=\dfrac{1}{(n+1)^2},\; a=1)\)
   \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{(n+1)^2}{n^2}=1\] Em \(\;x=a+R=2:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^2}(x-1)^n =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^2}\;\) é absolutamente convergente (é uma STNN que se compara (critério 3) com a série de Dirichlet com \(\alpha=2\gt 1\)).
   Em \(\;x=a-R=0:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^2}(x-1)^n =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^2}(-1)^n\;\) é absolutamente convergente (veja que a série dos módulos coincide com a série quando \(x=2\)).
   

   Conclusão:

   • \(x\in\left[0,2\right]\quad\Rightarrow \quad\) a série é absolutamente convergente;
   • \(x\in\left]-\infty,0\right[\cup\left]2,+\infty\right[\quad\Rightarrow \quad\) a série é divergente.

   Intervalo de convergência: \(I=\left[0,2\right]\)

7. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n2^n}(x+1)^n\) \(\quad (c_n=\dfrac{1}{n2^n},\; a=-1)\)
   \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{(n+1)2^{n+1}}{n2^n}=2\lim\frac{n+1}{n}=2.\] Em \(\;x=a+R=1:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n2^n}(x+1)^n =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}\;\) é divergente (série harmónica).
   Em \(\;x=a-R=-3:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n2^n}(x+1)^n =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n};\) é simplesmente convergente (série harmónica alternada ou critério de Leibniz).
   

   Conclusão:

   • \(x\in\left]-3,1\right[\quad\Rightarrow \quad\) a série é absolutamente convergente;
   • \(x\in\left]-\infty,-3\right[\cup\left[1,+\infty\right[\quad\Rightarrow \quad\) a série é divergente.
   • \(x=-3\quad\Rightarrow \quad\) a série é simplesmente convergente;

   Intervalo de convergência: \(I=\left[-3,1\right[.\)

8. \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(2+\frac{1}{n}\right)^nx^n\) \(\displaystyle\quad (c_n=\left(2+\frac{1}{n}\right)^n,\; a=0)\)
   \[R=\frac{1}{\lim \sqrt[n]{|c_n|}}=\frac{1}{\lim\left(2+\frac{1}{n}\right)}=\frac{1}{2}\,.\] Em \(\;x=a+R=\dfrac{1}{2}:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(2+\frac{1}{n}\right)^nx^n =\sum_{n=1}^\infty \left(1+\frac{1}{2n}\right)^n\;\).
   Em \(\;x=a-R=-\dfrac{1}{2}:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(2+\frac{1}{n}\right)^nx^n =\sum_{n=1}^\infty \left(-1-\frac{1}{2n}\right)^n.\)
   

   Como, \[\lim \left(1+\frac{1/2}{n}\right)^n=e^{1/2}\not=0,\] e \[\left(-1-\frac{1/2}{n}\right)^n=(-1)^n\left(1+\frac{1/2}{n}\right)^n\] tem sublimites \(\;e^{1/2}\;\) e \(\;-e^{1/2}\;\), e logo não tem limite, concluimos que em \(x=\pm\dfrac{1}{2}\) a série é divergente.

   Conclusão:

   • \(x\in\left]-1/2,1/2\right[\quad\Rightarrow \quad\) a série é absolutamente convergente;
   • \(x\in\left]-\infty,-1/2\right]\cup\left[1/2,+\infty\right[\quad\Rightarrow \quad\) a série é divergente.

   Intervalo de convergência: \(I=\left]-1/2,1/2\right[.\)

9. \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{1+4^n}=\frac{1}{2}+\frac{x^2}{5}+\frac{x^4}{17}+\dots\;\) \(\quad (c_n=0\;\) se \(n\) é ímpar, \(\;c_{2k}=\dfrac{1}{1+4^k},\) \(\; a=0)\)
   Como, para infinitos valores de \(n\) temos \(c_n=0,\) não podemos usar directamente a fórmula do raio de convergência baseada no critério de d'Alembert. No entanto, fazendo a mudança de variável \(y=x^2\), ficamos com outra série de potências, \[\sum_{n=0}^\infty \frac{y^{n}}{1+4^n}\qquad (c_n=\frac{1}{1+4^n})\] à qual já podemos aplicar essa fórmula: \[R=\lim\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\lim\frac{1+4^{n+1}}{1+4^n}=4\lim\frac{\frac{1}{4^{n+1}}+1}{\frac{1}{4^n}+1}=4.\] Em \(\;x=a+R=4:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{1+4^n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{4^n}{1+4^n}\;\)
   Em \(\;x=a-R=-4:\;\) \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{1+4^n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^n}{1+4^n}.\)
   Veja que o termo geral da primeira série tende para \(1\not=0\) e a sucessão do termo geral da segunda não tem limite pelo que, a série de potências é divergente em \(x=\pm 4\)

   Então, para \(y\):

   • \(y\in\left]-4,4\right[\quad\Rightarrow \quad\) a série é absolutamente convergente.
   • \(y\in\left]-\infty,-4\right]\cup\left[4,+\infty\right[\quad\Rightarrow \quad\) a série é divergente;

   Mas \[-4\lt y\lt 4\; \Leftrightarrow\; -4\lt x^2\lt 4\; \Leftrightarrow\; x^2\lt 4\; \Leftrightarrow\; -2\lt x\lt 2.\]

   Conclusão:
   • \(x\in\left]-2,2\right[\quad\Rightarrow \quad\) a série é absolutamente convergente;
   • \(x\in\left]-\infty,-2\right]\cup\left[2,+\infty\right[\quad\Rightarrow \quad\) a série é divergente.

   Intervalo de convergência: \(I=\left]-2,2\right[.\)

10. \(\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.\;\) Exercício: Faça \(y=x^2\) e proceda como no exemplo anterior.
    Resposta: Intervalo de convergência \(I=\mathbb{R}.\)