Aula teórica 25

Primitivas.
Polinómios trigonométricos
Primitivação por partes

Material de estudo:

Nesta aula continuamos com métodos de primitivação, desta vez com uma aplicação da primitivação imediata a produtos de potências de seno e cosseno (polinómios trigonométricos) e, mais importante, o método de primitivação por partes.

É muito importante os alunos resolverem exercícios de forma autónoma. Só assim é que o aluno fica preparado para escolher as boas opções no cálculo de uma primitiva que use os métodos dados.

Sugere-se que depois de estudado o texto em baixo vejam os exercícios 1 a)-m) da lista [P], além de,claro está, resolver os exercícios das aulas de problemas.

Primitivas

Polinómios trigonométricos

Polinómios trigonométricos são somas de parcelas \(a\operatorname{sen}^nx\cos^mx\) com \(n,m\) naturais. Podemos usar primitivação quase-imediata para calcular as primitivas destas funções.

Caso 1. Funções tipo \(\;\cos^nx\operatorname{sen}x\;\) e \(\;\operatorname{sen}^n\cos x.\) São primitivas tipo potência:

Exemplo 1. \(\;\displaystyle \int\cos^5x\operatorname{sen}x\,dx=-\int\cos^5x(\cos x)'\,dx=-\frac{\cos^6x}{6}\)

Exemplo 2. \(\;\displaystyle \int\operatorname{sen}^7x\cos x\,dx=\int\operatorname{sen}^7x(\operatorname{sen} x)'\,dx =\frac{\operatorname{sen}^8 x}{8}\)

Em geral,

\[\int\cos^nx\operatorname{sen}x\,dx=-\frac{\cos^{n+1}x}{n+1}\qquad\qquad \int\operatorname{sen}^nx\cos x\,dx=\frac{\operatorname{sen}^{n+1}x}{n+1}\]

Caso 2. Funções tipo \(\;\cos^nx\operatorname{sen}^mx\;\) com \(n\) ou \(m\) ímpar. Reduz-se ao caso 1 usando a igualdade \[\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1.\]

Exemplo 3.

\(\begin{aligned}\displaystyle \int\operatorname{sen}^2x\cos^3 x\,dx&=\int\operatorname{sen}^2x\cos^2 x\cos x\,dx=\int\operatorname{sen}^2x(1-\operatorname{sen}^2 x)\cos x\,dx =\int\operatorname{sen}^2x\cos x\,dx-\int\operatorname{sen}^4x\cos x\,dx\\&=\frac{\operatorname{sen}^3x}{3}-\frac{\operatorname{sen}^5x}{5}\end{aligned}\)

Exemplo 4.

\(\begin{aligned}\displaystyle \int\operatorname{sen}^5x\cos^4 x\,dx&=\int\operatorname{sen}^4x\cos^4x\operatorname{sen}x\,dx =\int(1-\cos^2x)^2\cos^4 x\operatorname{sen}x\,dx\\ &=\int(1-2\cos^2x+\cos^4 x)\cos^4 x\operatorname{sen}x\,dx\\ &=\int\cos^4x\operatorname{sen}x\,dx-2\int\cos^6x\operatorname{sen}x\,dx+\int\cos^8x\operatorname{sen}x\,dx\\ &=-\frac{\cos^5x}{5}+2\frac{\cos^7x}{7}-\frac{\cos^9x}{9} \end{aligned}\)

Caso 3. Funções tipo \(\;\cos^nx\operatorname{sen}^mx\;\) com ambos \(n\) e \(m\) pares. Reduz-se ao caso 2 usando a igualdades \[\operatorname{sen}^2x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)\qquad\qquad \cos^2x=\frac{1}{2}(1+\cos 2x),\] que resultam da igualdade \(\cos 2x=\cos^2x-\operatorname{sen}^2x.\)

Exemplo 5.

\(\displaystyle \int\operatorname{sen}^2x\,dx=\int\left(\frac{1}{2}(1-\cos 2x)\right)\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\operatorname{sen}2x}{4} \)

Note que esta primitiva pode ser obtida de outra forma usando o método de primitivação por partes que irá ser dado nesta aula. Veja a esse respeito o exercício resolvido 1.e) da lista [P].

Exemplo 6.

\(\displaystyle \int\operatorname{sen}^2x\cos^2x\,dx=\frac{1}{4}\int\left(1-\cos 2x)(1+\cos 2x\right)\,dx=\frac{1}{4}\int\left(1-\cos^22x\right)\,dx= \frac{1}{4}\int\left(1-\frac{1}{2}(1+\cos 4x)\right)\,dx=\frac{x}{8}-\frac{\operatorname{sen}4x}{32} \)

Primitivação por partes

O método de primitivação por partes é uma consequência da regra de derivação do produto. Relembrem: \[(fg)'=f'g+fg'\,,\] ou seja, \[fg=P(f'g+fg')=P(f'g)+P(fg')\]

donde resulta:
Fórmula de primitivação por partes: \[P(f'g)=fg-P(fg')\qquad\text{ ou, na notação de integral, }\qquad\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx\]

Para este método ser aplicado é preciso identificar a função a integrar como o produto de duas funções:

Aplicações típicas deste método:

Exemplo 1.

\(\displaystyle\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x=(x-1)e^x,\\ \)

onde se fez a escolha \(f'(x)=e^x\), \(g(x)=x\). Reparem que se fizessem a escolha \(f'(x)=x\), \(g(x)=e^x\), obteriam \(\int xe^x\,dx=\frac{x^2}{2}e^x-\int\frac{x^2}{2}e^x\,dx,\) a qual, sendo uma expressão verdadeira nada adianta, contudo, relativamente ao cálculo da primitiva. A escolha correcta era óbvia neste caso, mas não o é noutros, onde a prática em resolver exercícios é um factor determinante. Pode constatar este facto através dos exemplos que serão dados nesta aula.

Exemplo 2.

\(\displaystyle\int x\cos x\,dx=x\operatorname{sen}x-\int\operatorname{sen}x\,dx=x\operatorname{sen}x+\cos x \)

onde se fez a escolha \(f'(x)=\cos x\), \(g(x)=x\).

Exemplo 3.

\(\displaystyle\int x\operatorname{sen} x\,dx=-x\cos x+\int \cos x\,dx=-x\cos x+\operatorname{sen} x \)

onde se fez a escolha \(f'(x)=\operatorname{sen}x\), \(g(x)=x\). (Atenção aos sinais!)

Exemplo 4.

\(\begin{aligned}\displaystyle\int x^3\operatorname{sen} x\,dx&=-x^3\cos x+3\int x^2\cos x\,dx\\&=-x^3\cos x+ 3\left[x^2\operatorname{sen}x-2\int x\operatorname{sen}x\,dx\right]\\ &= -x^3\cos x+3x^2\operatorname{sen}x-6\left[-x\cos x+\int\cos x\,dx\right]\\&= -x^3\cos x+3x^2\operatorname{sen}x+6x\cos x-6\operatorname{sen}x\end{aligned}\)

Exemplo 5.

\(\displaystyle\int x^3e^{x^2}\,dx=\; ?\)

Se escolhermos \(f'(x)=x^3\) e \(g(x)=e^{x^2}\) vejam que \(f(x)g'(x)\) fica ainda mais complicada: temos que primitivar \(x^5e^{x^2}\) e não adiantámos nada \(\dots\).
Por outro lado, está fora de questão a escolha \(f'(x)=e^{x^2}\), \(g(x)=x^3\) uma vez que, nesse caso, não podemos determinar \(f(x)\) explicitamente.
Então, a escolha que temos que fazer é \(f'(x)=xe^{x^2}\) e \(g(x)=x^2\). Como \(\int xe^{x^2}\,dx=\frac{e^{x^2}}{2}\) (primitiva quase-imediata), temos:

\(\displaystyle \int x^3e^{x^2}\,dx=\int x^2(xe^{x^2})\,dx =\frac{1}{2}x^2e^{x^2}-\int 2x.\frac{e^{x^2}}{2}\,dx=\frac{1}{2}x^2e^{x^2}-\frac{1}{2}e^{x^2}=\frac{1}{2}(x^2-1)e^{x^2}\)

Exemplo 6.

\(\displaystyle \int x^3\ln x\,dx=\frac{1}{4}x^4\ln x-\int\frac{x^4}{4}.\frac{1}{x}\,dx =\frac{1}{4}x^4\ln x-\frac{1}{4}\int x^3\,dx=\frac{1}{4}x^4\ln x-\frac{1}{16}x^4=\frac{x^4}{16}(4\ln x-1)\)

Exemplo 7.

\(\displaystyle \int x\operatorname{arctg}x\,dx=\frac{x^2}{2}\operatorname{arctg}x-\int \dfrac{x^2}{2}\dfrac{1}{1+x^2}\,dx =\frac{x^2}{2}\operatorname{arctg}x-\frac{1}{2}P\left(1-\dfrac{1}{1+x^2}\right) =\frac{x^2}{2}\operatorname{arctg}x-\frac{1}{2}(x-\operatorname{arctg}x)\)

Reparem que em cima usámos a seguinte igualdade (já usada num exemplo da aula anterior) a qual será usada com frequência no cálculo de primitivas: \[\frac{u}{1+u}=1-\frac{1}{1+u}.\]

Exemplo 8.

\(\displaystyle \int\ln x\,dx=\int 1\cdot\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx=x\ln x-\int 1\,dx=x\ln x-x\)

Exemplo 9.

\(\displaystyle \int\operatorname{arctg} x\,dx=\int 1\cdot\operatorname{arctg} x\,dx= x\operatorname{arctg} x-\int x\cdot\frac{1}{1+x^2}\,dx=x\operatorname{arctg} x-\frac{1}{2}\int\frac{(1+x^2)'}{1+x^2}\,dx= x\operatorname{arctg} x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)\qquad\) (o módulo é irrelevante porque \(1+x^2\gt 0\))

Exemplo 10.

\(\displaystyle \int\operatorname{arcsen} x\,dx=\int1\cdot\operatorname{arcsen} x\,dx= x\operatorname{arcsen} x-\int x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx= x\operatorname{arcsen} x+\frac{1}{2}\int(1-x^2)'(1-x^2)^{-1/2}\,dx= x\operatorname{arcsen} x+\sqrt{1-x^2}\qquad\)

Exemplo 11.

\(\begin{aligned} \int e^x\cos x\,dx&=e^x\operatorname{sen}x-\int e^x\operatorname{sen}x\,dx\qquad\qquad\qquad\quad\;\;(\text{ fazendo }g(x)=e^x,\; f'(x)=\cos x)\\ &=e^x\operatorname{sen}x-\left[-e^x\cos x+\int e^x\cos x\,dx\right]\qquad(\text{ fazendo }g(x)=e^x,\; f'(x)=\operatorname{sen} x)\\ &=e^x\operatorname{sen}x+e^x\cos x-\int e^x\cos x\,dx \end{aligned}\)

Reparem que neste ponto vemos que não vale a pena fazer outra primitivação por partes porque vemos que, de cada vez que fizermos, vai sempre aparecer \(\int e^x\operatorname{sen }x\,dx\) ou \(\int e^x\cos x\,dx\). No entanto, vejam que a expressão anterior equivale a

\(\displaystyle 2\int e^x\cos x\,dx=e^x\operatorname{sen}x+e^x\cos x\qquad\qquad\) e, logo, \(\displaystyle\qquad\qquad \int e^x\cos x\,dx=\frac{e^x}{2}(\operatorname{sen}x+\cos x).\)

Exemplo 12.

\(\begin{aligned} \int \cos(\ln x)\,dx&=\int 1\cdot\cos(\ln x)\,dx=x\cos(\ln x)+\int x\cdot\frac{1}{x}\operatorname{sen} (\ln x)\,dx =x\cos(\ln x)+\int 1\cdot\operatorname{sen} (\ln x)\,dx\\ &=x\cos(\ln x)+\left[x\operatorname{sen} (\ln x)-\int x\cdot\frac{1}{x}\cos (\ln x)\, dx\right] =x\cos(\ln x)+x\operatorname{sen} (\ln x)-\int \cos (\ln x)\,dx \end{aligned}\)

Como no exemplo anterior temos

\(\displaystyle 2\int \cos(\ln x)\, dx=x\cos(\ln x)+x\operatorname{sen} (\ln x)\qquad\qquad\) e, logo, \(\displaystyle\qquad\qquad \int\cos(\ln x)\,dx=\frac{x}{2}\left(\cos(\ln x)+\operatorname{sen} (\ln x)\right).\)

Exemplo 12.

\(\displaystyle \int \frac{1}{x^2}\operatorname{arctg}x\,dx =-\frac{1}{x}\operatorname{arctg}x+\int\frac{1}{x(1+x^2)}\,dx\)

Na próxima aula vamos estudar um método que permite calcular a última primitiva dado que ela é um função racional.

Resumindo:

O método de primitivação por partes serve para transformar a primitiva pedida numa primitiva imediata ou quase-imediata ou na primitiva de uma função racional.