Aula teórica 24

Cálculo integral (início). Primitivação.
Propriedades das primitivas.
O conjunto das primitivas de uma função.
Primitivação imediata e quase imediata.

Material de estudo:

Observação: O texto [AB] tem, na parte da primitivação, uma abordagem um pouco diferente da deste curso: a primitivação surge depois de introduzido o conceito de integral. No final, os conteúdos serão os mesmos.

Cálculo Integral (início). Primitivação.

Primitivar é reverter o processo de derivação: \[f'(x)\stackrel{P}{\longrightarrow} f(x).\] Por exemplo, dizemos que \(4x^3\) é primitiva de \(x^4\) porque \((x^4)'=4x^3\) e escrevemos \(P(4x^3)=x^4.\)

Definição. Uma função \(f\) diz-se primitivável num conjunto \(D\) sse existe uma função \(F\) tal que, para todo \(x\in D\), \[F'(x)=f(x).\] A função \(F\) designa-se por primitiva de \(f\) em \(D\) e representa-se por \[F(x)=Pf(x)\,\qquad \text{ou}\qquad F(x)=\int f(x)\,dx\]

A notação \(\int f(x)\,dx\) será explicada noutra aula em que se esclarecerá a relação entre primitiva e integral.

Assim, por exemplo, escreveremos \[P(4x^3)=x^4\qquad\text{ou}\qquad \int4x^3\,dx=x^4.\]

A primitiva não é única. Por exemplo, é tão correcto considerar-se a primitiva anterior como considerar \[P(4x^3)=x^4+1.\] Para o confirmar veja que se derivarem o lado direito obtêm a mesma função que se está a primitivar. Surge então a questâo: quais são todas as primitivas de uma função? Vejamos dois aspectos:

  1. Seja \(I\) um intervalo aberto e seja \(F(x)\) uma primitiva de \(f(x)\) em \(I\), ou seja, \(F'(x)=f(x)\) para \(x\in I\). Seja \(C\) uma constante. Então \((F(x)+C)'=F'(x)=f(x)\), e portanto \(F(x)+C\) é outra primitiva de \(f\) em \(I\). Ou seja,

    Somando uma constante arbitrária a uma primitiva de \(f\) em \(I\), obtemos outra primitiva de \(f\) em \(I\).

  2. Seja \(G(x)\) outra primitiva de \(f(x)\) em \(I\). Então, \((F(x)-G(x))'=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0\). Como consequência do teorema de Lagrange (relembre Corolário 3 da aula 21) temos então que, \(F(x)-G(x)\) é constante em \(I\), ou seja, \(G(x)=F(x)+C\). Conclusão:

    Não há mais primitivas em \(I\) do que aquelas que se obtêm somando uma constante arbitrária a \(F(x)\).

Juntando as duas conclusões anteriores:

Proposição. Seja \(I\) um intervalo aberto e \(f\) uma função primitivável em \(I\). Dada uma primitiva arbitrária de \(f\) em \(I\), \(Pf(x)\), as primitivas de \(f\) em \(I\) são todas as funções que se escrevem como \[Pf(x)+C,\] para todo \(x\in I\), com \(C\) constante. Esta expressão designa-se por primitiva geral de \(f\) em \(I\).

Por vezes, pode ser pedido que se determine \(C\), por forma a que seja satisfeita uma condição imposta como um limite ou o valor da primitiva num ponto dado.

Exemplos.

  1. \(f(x)=1\) (constante em \(I\)). Temos então \(P(1)=x\) e a primitiva geral de \(f\) em \(\mathbb{R}\) é \(F(x)=x+C.\)

    Questão: qual é a primitiva \(F\) que satisfaz \(F(1)=2\)? Temos então \(1+C=2\) e, portanto, \(C=1.\) Resposta: \(F(x)=x+1.\)

  2. Determinar \(F\) tal que, \(F'(x)=3x^2\) e \(F(0)=5\). Temos, \(P(3x^2)=x^3\) e, portanto, \(F(x)=x^3+C\) com \(F(0)=C=5\). Logo, \(F(x)=x^3+5.\)

  3. Calcular \(F\) tal que \(F'(x)=e^x\) e \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}F(x)=1\). É óbvio que \(P(e^x)=e^x\). Logo, \(F(x)=e^x+C\), com \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}F(x)=0+C=1\). Logo, \(F(x)=e^x+1.\)
No caso em que o domínio de \(f\) é uma união de intervalos abertos disjuntos, sabemos que, em cada um desses intervalos a primitiva geral é da forma \(Pf(x)+C.\) No entanto, a constante não tem que ser a mesma em todos os intervalos.

Exemplo:

Determinar a função \(F\) que satisfaz \(F'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\), para \(x\not=0\), \(F(-1)=2\) e \(F(1)=0\).

Como \(P(-\dfrac{1}{x^2})=\dfrac{1}{x}\), a expressão geral das primitivas \(F\) é \[F(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x}+C_1&\text{se }x\lt 0\\ \\ \dfrac{1}{x}+C_2&\text{se } x\gt 0, \end{cases}\] onde \(C_1,C_2\) são duas constantes arbitrárias.

De \(F(-1)=-1+C_1=2\) resulta \(C_1=3\) e de \(F(1)=1+C_2=0\) resulta \(C_2=-1\). Resposta: \[F(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x}+3&\text{se }x\lt 0\\ \\ \dfrac{1}{x}-1&\text{se } x\gt 0, \end{cases}\]

Propriedades gerais das primitivas

As propriedades das primitivas são consequências das propriedades das derivadas. Assim é fácil constatar, que, se \(f,g\) forem duas funções primitiváveis e \(c\) uma constante,

\[P(f(x)+g(x))=Pf(x)+Pg(x),\qquad P(cf(x))=cPf(x).\]

Exemplo:

Usando a notação de integral (convem habituarem-se a usar as duas notações) \[\int (5\cos x+2e^x)dx=5\int\cos x\,dx+2\int e^x\,dx=5\operatorname{sen}x+2e^x. \] Para confirmar que a expressão obtida é, de facto uma primitiva de \(5\cos x+2e^x\) basta derivá-la.

Primitivas imediatas

Uma lista de primitivas é uma lista de derivadas invertida. A seguinte lista contem as primitivas mais simples a partir das quais calcularemos outras usando os métodos que veremos nas próximas aulas. Aliás, nos exemplos anteriores já vimos algumas. Obtenha esta lista por derivação das expressões da direita. Veja, em especial que, \((\ln|x|)'=\dfrac{1}{x}\) (veja separadamente os casos \(x\lt 0\) e \(x\gt 0\)).

Exemplo:

\[\displaystyle\int\left(\frac{5}{\sqrt{x}}-\frac{3}{x}+\frac{2}{1+x^2}\right)\,dx= 5\displaystyle\int x^{-1/2}\,dx-3\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx+2\displaystyle\int\frac{1}{1+x^2}\\,dx \]\[=5\frac{x^{1/2}}{1/2}-3\ln|x|+2\operatorname{arctg}x=10\sqrt{x}-\ln|x|^3+2\operatorname{arctg}x.\]

Primitivas quase imediatas

Começe por relembrar a fórmula da derivação da função composta: \[\left(F(u(x))\right)'=F'(u(x))u'(x).\] Se \(F(x)=Pf(x)\), temos \(F'=f\) e a fórmula anterior escreve-se \[P\left(f(u(x))u'(x)\right)=F(u(x)),\quad\text{ou, na outra notação, }\quad \int f(u(x))u'(x)\,dx=F(u(x)).\] Numa forma mais sucinta, sem nos esquecermos que \(u\) é uma função de \(x\), podemos escrever:

Se \(\;\displaystyle\int f(x)\,dx=F(x)\;\) e \(\;u=u(x)\;\) é uma função diferenciável, então, \(\;\displaystyle\int f(u)u'\,dx=F(u).\)

Portanto, sabendo primitivar \(f\) sabemos como primitivar \(f(u)u'\). A primitivação baseada nesta fórmula aplicada às primitivas imediatas dadas na secção anterior designa-se por primitivação quase-imediata. Vamos classificar estas primtivas de acordo com a função \(F\):

Exemplos

Não vamos seguir a ordem em cima. Ao invés vamos começar pelos tipos mais fáceis de identificar:

Em cada caso pede-se o cálculo de uma primitiva.

Tipo exponencial

  1. \(\displaystyle\int e^{5x}\,dx=\frac{1}{5}\int(5x)'e^{5x}\,dx=\frac{1}{5}e^{5x}\)
  2. \(\displaystyle\int x^4e^{x^5}\,dx=\frac{1}{5}\int(x^5)'e^{x^5}\,dx=\frac{1}{5}e^{x^5}\)
  3. \(\displaystyle\int\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx=2\int\left(\sqrt{x}\right)'e^{\sqrt{x}}\,dx=2e^{\sqrt{x}}\)
  4. \(\displaystyle\int e^{\cos x}\operatorname{sen}x\,dx=-\displaystyle\int e^{\cos x}(\cos x)'\,dx=-e^{\cos x}\)
  5. \(\displaystyle\int\frac{e^{\operatorname{arctg} x}}{1+x^2}\,dx=\displaystyle\int e^{\operatorname{arctg} x}(\operatorname{arctg} x)'\,dx =e^{\operatorname{arctg} x}\)
  6. \(\displaystyle\int\frac{e^{\operatorname{arcsen} x}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\displaystyle\int e^{\operatorname{arcsen} x}(\operatorname{arcsen} x)'\,dx =e^{\operatorname{arcsen} x}\)

Observação importante: repare que enquanto, por exemplo, \(\displaystyle P(2xe^{x^2})=e^{x^2}\) é uma primitiva quase-imediata, \(P(e^{x^2})\) é uma primitiva impossível de calcular em termos das funções elementares que conhecem. Isto reflecte uma diferença importante entre a derivação e a primitivação: muitas vezes é muito mais fácil de primitivar expressões aparentemente mais complicadas. Outro exemplo: \(\displaystyle P\left(\frac{e^{\operatorname{arctg} x}}{1+x^2}\right)\) é quase-imediata (veja em cima), mas \(\displaystyle P\left(e^{\operatorname{arctg} x}\right)\) é muito difícil de calcular.

Tipos seno e cosseno

  1. \(\displaystyle\int\cos 5x\,dx=\frac{1}{5}\displaystyle\int(5x)'\cos 5x\,dx=\frac{1}{5}\operatorname{sen}5x\)
  2. \(\displaystyle\int x^3\operatorname{sen}(x^4)\,dx= \frac{1}{4}\displaystyle\int(x^4)'\operatorname{sen} (x^4)\,dx=-\frac{1}{4}\cos (x^4)\)
  3. \(\displaystyle\int e^x\operatorname{sen}(1+e^x)\,dx= \displaystyle\int(1+e^x)'\operatorname{sen} (1+e^x)\,dx=-\cos (1+e^x)\)
  4. \(\displaystyle\int\frac{\cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx=2\int\left(\sqrt{x}\right)'\cos\sqrt{x}\,dx=2\operatorname{sen}\sqrt{x}\)
  5. \(\displaystyle\int\frac{\cos (\ln x)}{x}\,dx=\displaystyle\int(\ln x)'\cos(\ln x)\,dx=\operatorname{sen} (\ln x)\)
  6. \(\displaystyle\int\frac{\operatorname{sen} (1+\operatorname{arctg}x)}{1+x^2}\,dx= \displaystyle\int(1+\operatorname{arctg}x)'\operatorname{sen}(1+\operatorname{arctg}x)\,dx=-\cos (1+\operatorname{arctg}x)\)

Tipo logaritmo

  1. \(\displaystyle\int\frac{2x+\operatorname{sen}x}{x^2-\cos x}\,dx =\int\frac{(x^2-\cos x)'}{x^2-\cos x}\,dx=\ln|x^2-\cos x|\)
  2. \(\displaystyle\int\operatorname{tg} x\,dx=\int\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\,dx= -\int\frac{(\cos x)'}{\cos x}\,dx=-\ln|\cos x|\)
  3. \(\displaystyle\int\frac{e^x}{1+e^x}\,dx=\int\frac{(1+e^x)'}{1+e^x}\,dx= \ln (1+e^x)\qquad\) (aqui é irrelevante considerar o módulo porque \(1+e^x\gt 0\))
  4. \(\displaystyle\int\frac{1}{x\ln x}\,dx= \int\frac{\frac{1}{x}}{\ln x}\,dx=\int\frac{(\ln x)'}{\ln x}\,dx=\ln|\ln x|\)
  5. \(\displaystyle\int\frac{1}{(1+x^2)\operatorname{arctg} x}\,dx= \int\frac{\frac{1}{1+x^2}}{\operatorname{arctg} x}\,dx= \int\frac{(\operatorname{arctg} x)'}{\operatorname{arctg} x}\,dx=\ln|\operatorname{arctg} x|\)
  6. \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}\operatorname{arcsen} x}\,dx= \int\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\operatorname{arcsen} x}\,dx= \int\frac{(\operatorname{arcsen} x)'}{\operatorname{arcsen} x}\,dx=\ln|\operatorname{arcsen} x |\)

Observação importante: Outra diferença entre derivação e primitivação é que os cálculos das primitivas de expressões muito parecidas têm muitas vezes que ser abordados por métodos diferentes. Veja os exemplos \(\;\dfrac{1}{1+x^2},\;\) \(\dfrac{x}{1+x^2},\;\) e \(\;\dfrac{x^2}{1+x^2}\): A primeira é imediata: \(\operatorname{arctg}x\). A segunda é tipo logaritmo e dá \(\frac{1}{2}\ln(1+x^2)\). A terceira é calculada através de uma técnica que iremos explorar na primitivação de funções racionais: \[P\left(\frac{x^2}{1+x^2}\right)=P\left(\frac{1+x^2}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right) =P(1)-P\left(\frac{1}{1+x^2}\right)=x-\operatorname{arctg}x\]

Tipo potência

Apesar da sua aparência elementar é contudo muitas vezes dos tipos de primitivas mais difíceis de identificar.
  1. \(\displaystyle\int\sqrt{1+6x}\,dx=\frac{1}{6}\int(1+6x)'(1+6x)^{1/2}\,dx =\frac{1}{6}\frac{(1+6x)^{3/2}}{3/2}=\frac{(1+6x)^{3/2}}{9}\)
  2. \(\displaystyle\int x(1+x^2)^{10}\,dx=\frac{1}{2}\int(1+x^2)'(1+x^2)^{10}\,dx=\frac{(1+x^2)^{11}}{22}\)
  3. \(\displaystyle\int\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx=\int(\ln x)'(\ln x)^2\,dx=\frac{(\ln x)^3}{3}\)
  4. \(\displaystyle\int\cos x\operatorname{sen}x \,dx=-\int(\cos x)'\cos x\,dx=-\frac{\cos^2 x}{2}\)
  5. \(\displaystyle\int\frac{\operatorname{sen}x}{\sqrt{\cos x}} \,dx=-\int(\cos x)'(\cos x)^{-1/2}\,dx=-\frac{(\cos x)^{1/2}}{1/2} =-2\sqrt{\cos x}\)
  6. \(\displaystyle\int\frac{\operatorname{arctg}x}{1+x^2} \,dx= \int(\operatorname{arctg}x)'\operatorname{arctg}x\,dx=\frac{\operatorname{arctg}^2x}{2}\)
  7. \(\displaystyle\int\frac{\operatorname{arctg}^2x}{1+x^2} \,dx= \int(\operatorname{arctg}x)'\operatorname{arctg}^2x\,dx=\frac{\operatorname{arctg}^3x}{3}\)

Tipo arcotangente

  1. \(\displaystyle\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx=\int\frac{(e^x)'}{1+(e^x)^2}\,dx =\operatorname{arctg}(e^x)\)
  2. \(\displaystyle\int\frac{x}{1+x^4}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{(x^2)'}{1+(x^2)^2}\,dx =\frac{1}{2}\operatorname{arctg}(x^2)\)
  3. \(\displaystyle\int\frac{x^2}{1+x^6}\,dx=\frac{1}{3}\int\frac{(x^3)'}{1+(x^3)^2}\,dx =\frac{1}{3}\operatorname{arctg}(x^3)\)
  4. \(\displaystyle\int\frac{1}{1+3x^2}\,dx=\frac{1}{\sqrt{3}}\int\frac{(\sqrt{3}x)'}{1+(\sqrt{3}x)^2}\,dx =\frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{arctg}(\sqrt{3}x)\)
  5. \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\,dx=2\int\frac{(\sqrt{x})'}{1+(\sqrt{x})^2}\,dx =\operatorname{arctg}(\sqrt{x})\)
  6. \(\displaystyle\int\frac{1}{x(1+(\ln x)^2)}\,dx=\int\frac{(\ln)'}{1+(\ln x)^2}\,dx =\operatorname{arctg}(\ln x)\)

Tipo arcoseno

  1. \(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{(2x)'}{\sqrt{1-(2x)^2}}\,dx= \frac{1}{2}\operatorname{arcsen}(2x)\)
  2. \(\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{1-x^4}}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{(x^2)'}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\,dx= \operatorname{arcsen}(x^2)\)
  3. \(\displaystyle\int\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}\,dx=\int\frac{(e^x)'}{\sqrt{1-(e^{x})^2}}\,dx= \operatorname{arcsen}(e^x)\)
  4. \(\displaystyle\int\frac{1}{x\sqrt{1-(\ln x)^2}}\,dx=\int\frac{(\ln x)'}{\sqrt{1-(\ln x)^2}}\,dx= \operatorname{arcsen}(\ln x)\)

Tipos seno e cosseno hiperbólicos

  1. \(\displaystyle \int\frac{\cosh (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx=2\int(\sqrt{x})'\cosh (\sqrt{x})\,dx=2\operatorname{senh}(\sqrt{x})\)
  2. \(\displaystyle \int\frac{\operatorname{senh} (\ln x)}{x}\,dx=\int(\ln x)'\operatorname{senh}(\ln x)\,dx =\cosh(\ln x)\)