Aula teorica 2

Aula teórica 2

Ordenação dos números reais. Os axiomas de ordem. O módulo ou valor absoluto. Inequações.

Material de estudo:

[AB] A. Bastos e A. Bravo, Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas, 2010., Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas,.
[CF] J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.

Ordenação dos números reais. Os axiomas de ordem.

Na aula anterior foram apresentados os axiomas de corpo que são os que estabelecem as propriedades algébricas dos números reais (relativas às operações definidas em \(\mathbb{R}\)). Nesta aula será introduzida a ordenação dos números reais a qual fica caracterizada por dois axiomas, denominados por axiomas de ordem. Referiremos em seguida certas consequências que serão importantes do ponto de vista prático para a resolução de inequações.

Começemos por notar que, dados dois reais \(x\) e \(y\), dizer que \(y\) é maior que \(x\), é o mesmo que dizer que \(y\) está "à direita" de \(x\) na recta real. Ou seja, estamos a dividir a recta real em três subconjuntos: o constituido pelo próprio \(x\), a semi-recta à esquerda de \(x\) e a semi-recta à direita de \(x\). Dizer que \(y\) é menor que \(x\), ou que é igual a \(x\) ou que é maior que \(x\) corresponde a dizer em qual conjunto, pela mesma ordem, pertence \(y\). É nesta perspectiva que introduzimos a relação de ordem em \(\mathbb{R}\).

Axiomas de ordem: Existe um subconjunto de \(\mathbb{R}\), designado por \(\mathbb{R}^+\), dito dos números positivos, tal que

\(\mathbb{R}^+\) é fechado para a adição e multiplicação, isto é, \[x,y\in \mathbb{R}^+\quad\Longrightarrow\quad x+y\in\mathbb{R}^+\;\wedge\; xy\in\mathbb{R}^+ ;\]

É verdadeira a propriedade da Tricotomia, isto é, qualquer \(x\in\mathbb{R}\) verifica uma, e uma só, das condições seguintes: \[x\in\mathbb{R}^+\quad \text{ ou }\quad x=0\quad \text{ ou }\quad -x\in\mathbb{R}^+.\]

Os números negativos são definidos como \[\mathbb{R}^-=\{x\in\mathbb{R}\,:\,-x\in \mathbb{R}^+\}.\] Então, o segundo axioma de ordem é equivalente a \[\mathbb{R}=\mathbb{R}^+\cup\{0\}\cup\mathbb{R}^-\qquad \text{com}\qquad \mathbb{R}^+\cap\mathbb{R}^-=\emptyset,\quad\text{e}\quad 0\notin\mathbb{R}^+\cup\mathbb{R}^-.\]

Podemos então definir a relação de ordem entre reais:

Definição: Dados \(x,y\in \mathbb{R}\) escreve-se \(y\gt x\;\) (\(y\) "é maior que \(x\)"), ou, equivalentemente, \(x\lt y\;\) (\(x\) "é menor que \(y\)"), se e só \[y-x\in\mathbb{R}^+\]

A propriedade da tricotomia diz então que, dados dois reais arbitrários \(x,y\) ocorre um e apenas um dos seguintes casos: \[x\gt y\quad\text{ou}\quad x=y\quad\text{ou}\quad x\lt y.\] Em particular, isto diz que todos os elementos de \(\mathbb{R}\) são comparáveis o que concede a este conjunto a estrutura de uma recta orientada ("de menor para maior").

A primeira e fundamental consequência destes axiomas é o seguinte:

Teorema (propriedade transitiva): Dados \(x,y,z\in \mathbb{R}\) \[x\lt y\;\wedge\; y\lt z\quad\Rightarrow\quad x\lt z.\]

A justificação (demonstração) sai imediatamente da definição da relação de ordem e dos axiomas de ordem. De facto, se \(\,x\lt y\,\) e \(\,y\lt z\,\), ou seja, \(\,y-x\in \mathbb{R}^+\,\) e \(\,z-y\in\mathbb{R}^+,\,\) usando o primeiro axioma sabemos que \[(z-y)+(y-x)=z-x\in\mathbb{R}^+,\] e, portanto, \(x\lt z.\)

Exemplo. Como sabemos que \(3\lt 5\), temos que \(x\lt 3\;\Rightarrow \; x\lt 5.\) Obviamente que se trata de uma implicação e não de uma equivalência.

Enumeremos um conjunto de consequências importantes dos axiomas de ordem (e, portanto, são teoremas) que são já vossas conhecidas e que são fundamentais na resolução de inequações:

\(\;x\gt y\Leftrightarrow -x\lt -y\)

Regras de sinais:

\(\;xy\gt 0\Leftrightarrow (x\gt 0 \wedge y\gt 0)\vee (x\lt y\wedge y\lt 0)\)

\(\;xy\lt 0\Leftrightarrow (x\gt 0 \wedge y\lt 0)\vee (x\lt y\wedge y\gt 0)\)

Leis do corte:

\(\;x+c>y+c\Leftrightarrow x\gt y\)

\(\;xc\gt yc\Leftrightarrow (x\gt y\wedge c\gt 0)\vee (x\lt y \wedge c\lt 0)\)

Se, em 2. fizermos \(\;x=y\not=0,\;\) obtemos \(\;x^2=xx>0\;\) (porque obviamente ocorre o primeiro dos dois casos 2.) Esta observação tem várias consequências importantes:

como \(1=1^2\), concluímos que \(\;1\gt 0\;\) e, portanto \(2=1+1\gt 0,\; 3=2+1\gt 0,\; 4=3+1\gt 0,\dots.\)
\(\; x\;\) e \(\;x^{-1}\;\) têm o mesmo sinal, já que \(\;xx^{-1}=1\gt 0.\)
Da observação anterior podemos concluir que as regras de sinais 2. são válidas se substituirmos produtos por quocientes. Por exemplo, \[\frac{x}{y}\gt 0\;\Leftrightarrow\; (x\gt 0\vee y\gt 0) \vee (x\lt 0\vee y\lt 0).\]
Como exercício poderá ainda deduzir das propriedades anteriores: \[\;(a\gt b\gt 0\vee b\lt a\lt 0)\;\Rightarrow\; \dfrac{1}{a}\lt \dfrac{1}{b}\,,\qquad a\gt 0 \gt b\;\Rightarrow\; \dfrac{1}{a}\gt \dfrac{1}{b}.\]

Outras relações de ordem

Como sabem, define-se as relações de ordem \(\leqslant\) e \(\geqslant\) a partir das definidas atrás: \[x\leqslant y \quad \Leftrightarrow \quad x\lt y \vee x=y.\] \[x\geqslant y \quad \Leftrightarrow \quad x\gt y \vee x=y.\] É fácil obter para estas relações de ordem as propriedades correspondentes às consideradas anteriormente para \(\lt\) e \(\gt\).

Intervalos

São subconjuntos muito especiais de \(\mathbb{R}\) e desempenharão um papel importante ao longo de toda a disciplina. Podem ser definidos a partir do momento em que temos definida a relação de ordem em \(\mathbb{R}\). Para quaisquer reais \(a,b\) definimos: \[\left]a,b\right[=\{x\in\mathbb{R}\,:\, a\lt x\lt b\},\quad \left[a,b\right]=\{x\in\mathbb{R}\,:\, a\leqslant x\leqslant b\}\] \[\left[a,b\right[=\{x\in\mathbb{R}\,:\, a\leqslant x\lt b\},\quad \left]a,b\right]=\{x\in\mathbb{R}\,:\, a\lt x\leqslant b\}\]

Repare que se \(a\gt b\) todos estes intervalos se reduzem ao conjunto vazio. Se \(a=b\) temos \(\left[a,a\right]=\{a\}\) enquanto que todos os outros intervalos se reduzem ao conjunto vazio.

Os intervalos anteriores dizem-se intervalos limitados. Definem-se também os seguintes intervalos não limitados: \[\left]a,+\infty\right[=\{x\in\mathbb{R}\,:\, x\gt a\},\quad \left[a,+\infty\right[=\{x\in\mathbb{R}\,:\, x\geqslant a\}\] \[\left]-\infty,b\right[=\{x\in\mathbb{R}\,:\, x\lt b\},\quad \left]-\infty,b\right]=\{x\in\mathbb{R}\,:\, x\leqslant b\}\]

Atenção: uma união de intervalos em geral não é um intervalo. Exemplos: \([0,1]\cup[1,2]\), \(\{0\}\cup\left[1,2\right]\). No entanto, a intersecção de dois intervalos é sempre um intervalo (podendo eventualmente ser vazio).

Aplicação a inequações

Resolver uma inequação significa obter o seu conjunto solução através de uma cadeia de equivalências onde se usam as propriedades vistas atrás. Tomemos, por exemplo, a inequação \[\frac{1}{x}\lt 1.\] Usando sucessivamente a regra do corte, propriedades algébricas e regra de sinais, podemos escrever \[\frac{1}{x}\lt 1\Leftrightarrow \frac{1}{x}-1\lt 0\Leftrightarrow \frac{1-x}{x}\lt 0\Leftrightarrow (1-x\gt 0 \wedge x\lt 0)\vee (1-x\lt 0\wedge x\gt 0).\] \[\Leftrightarrow (x\lt 1\wedge x\lt 0)\vee(x\gt 1 \wedge x\gt 0)\] \[\Leftrightarrow x\in \left]-\infty,0\right[\cup\left]1,+\infty\right[.\] O que está errado na "resolução" seguinte: \[\frac{1}{x}\lt 1\Leftrightarrow 1\lt x\Leftrightarrow x\gt 1\Leftrightarrow x\in\left]1,+\infty\right[\text{?}\] Uma forma de facilitar estes cálculos será aplicar em alternativa a vossa bem conhecida "tabela de sinais".
Veja os seguintes exemplos como exercícios (de revisão):

\(\; x^2(1-x)\leqslant 0\Leftrightarrow x\in\{0\}\cup\left[1,+\infty\right[.\)
\(\; \dfrac{x^2}{1-x}\leqslant 0 \Leftrightarrow x\in\{0\}\cup\left]1,+\infty\right[\)
\(\;\dfrac{x^2}{x-2}\lt x\Leftrightarrow x\in \left]0,2\right[.\)

Módulo ou valor absoluto

Definição:: Dado \(x\in \mathbb{R}\) define-se módulo ou valor absoluto de \(x\) como \[|x|=\begin{cases} x,& x\geqslant 0\\ -x,& x\lt 0. \end{cases}\]

Geometricamente, \(|x|\) representa a distância de \(x\) a \(0\). De facto, para quaisquer \(x,y\in\mathbb{R},\;\) \(\;|x-y|\;\) representa a distância entre os pontos \(x\) e \(y\).

Propriedades importantes (pode obtê-las a partir da definição):

\(\; |x|\geqslant 0,\quad |x|=0\Leftrightarrow x=0\);

\(\;|-x|=|x|\);

\(\;|xy|=|x||y|,\quad \left|\dfrac{x}{y}\right|=\dfrac{|x|}{|y|}\);

\(\;|x|^2=|x^2|=x^2\);

Desigualdade triangular: \(\;|x+y|\leqslant |x|+|y|\);

\(\;|x|\lt |a|\Leftrightarrow x^2\lt a^2.\)

Por vezes, para resolver inequações com módulos, é útil pensar no módulo como distância. Dois exemplos:

\(\; |x|\lt 5\) significa que "a distância de \(x\) a \(0\) é menor que \(5\)." Obviamente estamos a dizer que \(x\in\left]-5,5\right[\).
\(\;|x-2|\gt |x-5|\) significa que "\(x\) está uma distância maior de \(2\) do que está de \(5\)." Facilmente se vê que isto é o mesmo dizer que \(x\) está à direita do ponto médio entre \(2\) e \(5\), isto é \(x\in\left]\frac{7}{2},+\infty\right[.\)

No entanto, no caso geral, pode não ser tão simples recorrer a argumentos simples deste tipo e é conveniente termos algumas regras gerais puranente analíticas a que recorrer. Duas são particularmente úteis:

Para qualquer \(a\in \mathbb{R},\)

\(\;|u|\lt a \;\Leftrightarrow\; u\gt -a \wedge u\lt a\,\) (que também se escreve \(-a\lt u \lt a\)).

\(\;|u|\gt a \;\Leftrightarrow\; u\lt -a \vee u\gt a\,\).

Justifiquemos a primeira das propriedades:
Se \(a\lt 0\), então \(-a\gt 0\) e não existe nenhum real \(u\) tal que \(u\gt -a\) e \(u\lt a\). Por sua vez, a desigualdade \(|u|\lt a\) também é impossível. Portanto fica provada a equivalência neste caso.
Suponhamos agora que \(a\geqslant 0.\;\) Então, \[\begin{aligned}|u|\lt a &\Leftrightarrow (u\lt a \wedge u\geqslant 0)\vee (-u\lt a\wedge u\lt 0)\\ &\Leftrightarrow (0\leqslant u\lt a)\vee (-a\lt u\lt 0)\\ &\Leftrightarrow -a\lt u\lt a\end{aligned}\]

justifiquemos agora a segunda:
Se \(a\lt 0,\;\) veja que ambos os membros da equivalência são satisfeitos por qualquer valor de \(u\).
Suponhamos agora que \(a\geqslant 0.\;\) Então, \[\begin{aligned}|u|\gt a &\Leftrightarrow (u\gt a \wedge u\geqslant 0)\vee (-u\gt a\wedge u\lt 0)\\ &\Leftrightarrow (u\gt a \wedge u\geqslant 0)\vee (u\lt -a\wedge u\lt 0)\\ &\Leftrightarrow u\gt a\vee u\lt -a\end{aligned}\]

Exemplo: Resolver \(|x^2-2x|\lt x\). Usemos a primeira das duas propriedades anteriores: \[|x^2-2x|\lt x\;\Leftrightarrow\; x^2-2x\lt x \wedge x^2-2x\gt -x.\] Como, \[x^2-2x\lt x\;\Leftrightarrow\; x^2-3x\lt 0\;\Leftrightarrow\; x(x-3)\lt 0 \;\Leftrightarrow\; x\in\left]0,3\right[\] e, \[x^2-2x\gt -x\;\Leftrightarrow\; x^2-x\gt 0\;\Leftrightarrow\; x(x-1)\gt 0\;\Leftrightarrow\; x\in \left]-\infty,0\right[\cup\left]1,+\infty\right[,\] concluímos que a solução da inequação é \[x\in \left]0,3\right[\cap (\left]-\infty,0\right[\cup\left]1,+\infty\right[)=\left]1,3\right[.\]

Exemplos: resolver em \(\mathbb{R}:\)

\(\; |x-1|\lt\frac{1}{2}\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\lt x-1\lt\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\lt x\lt\frac{3}{2}.\)
\(\; |2x+3|\gt 1\Leftrightarrow 2x+3\gt 1\vee 2x+3\lt -1\Leftrightarrow x\gt -1\vee x\lt -2.\)
\(\; |x-2|\lt |x+1|\Leftrightarrow x\gt \frac{1}{2}.\)
\(\;\dfrac{x^2-4}{|x+1|}\leqslant 0\Leftrightarrow -2\leqslant x\leqslant 2 \wedge x\not=-1\Leftrightarrow x\in [-2,-1[\cup]-1,2]\)
\(\;\dfrac{|x-1|-1}{|x|-1}\geqslant 0\;\Leftrightarrow\; x\in \left]-\infty,-1\right[\cup \left[0,1\right[\cup \left[2,+\infty\right[.\)

(Sugestão para 5.: resolva \(\;|x-1|-1=0\;\) e \(\;|x|-1=0\;\) e elabore a tabela de sinais).