Aula teórica 19

Regras de derivação.
Derivadas de algumas funções elementares.
Derivadas de operações algébricas com funções.
Derivada da função composta.

Material de estudo:

Regras de derivação

Derivadas de algumas funções elementares

Apresentam-se aqui algumas deduções. Repare que as derivadas da exponencial, logaritmo e funções trigonométricas são consequência dos limites notáveis introduzidos numa aula anterior. Na realidade esses limites notáveis não são mais do que derivadas em determinados pontos: \[\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1\quad\Leftrightarrow\quad f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{0+h}-e^0}{h}=1,\quad\text{ com }f(x)=e^x.\] \[\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1\quad\Leftrightarrow\quad f'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)-\ln 1}{h}=1,\quad\text{ com }f(x)=\ln x.\] \[\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen} h}{h}=1\quad\Leftrightarrow\quad f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen} (0+h)-\operatorname{sen} 0}{h}=1,\quad\text{ com }f(x)=\operatorname{sen} x.\]

  • Derivada da função exponencial: \(f(x)=e^x\), com \(D=\mathbb{R}\). Fixe-se \(a\in\mathbb{R}\). Então, \[\lim_{h\to 0}\frac{e^{a+h}-e^a}{h}=e^a\cdot\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=e^a\] Logo, para qualquer real \(a\), \[f'(a)=e^a.\] Logo, o domínio de diferenciaabilidade de \(f\) é \(\mathbb{R}\) e a sua função derivada \(f'\) coincide com a própria função \(f\): \(f'(x)=f(x)=e^x\), para todo \(x\in\mathbb{R}\).

  • Derivada da função logaritmo: \(f(x)=\ln x\), com \(D=\mathbb{R}^+\). Fixe-se \(a\gt 0.\) Então, \[ \lim_{h\to 0}\frac{\ln(a+h)-\ln a}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\ln\left(\frac{a+h}{a}\right)}{h} =\frac{1}{a}\lim_{h\to 0}\frac{\ln\left(1+\frac{h}{a}\right)}{\frac{h}{a}}=\frac{1}{a}\,. \] Logo, para qualquer real \(a\), \[f'(a)=\dfrac{1}{a}.\] Logo, o domínio de diferenciabilidade de \(f\) é \(\mathbb{R}^+\) e \((\ln x)'=\dfrac{1}{x}\), para todo \(x\in\mathbb{R}^+\).

  • Derivada da função seno: seja \(f(x)=\operatorname{sen} x\) com domínio \(D=\mathbb{R}\). Então, para um real arbitrário \(a\), usando igualdades trigonométricas: \[\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)-\operatorname{sen} a}{x-a} =\lim_{x\to 0}\frac{2\operatorname{sen}\left(\frac{x-a}{2}\right)\cos\left(\frac{x+a}{2}\right)}{x-a}=\cos a.\] Logo, para qualquer real \(a\), \[f'(a)=\cos a.\] Ou seja, o domínio de diferenciabilidade de \(\operatorname{sen} x\) é \(\mathbb{R}\) e \((\operatorname{sen}x)'=\cos x\).

  • Derivada da função cosseno: seja \(f(x)=\cos x\) com domínio \(D=\mathbb{R}\). Então, para um real arbitrário \(a\), pode-se provar de uma forma semelhante: \[f'(a)=-\operatorname{sen}a\,.\] Ou seja, o domínio de diferenciabilidade de \(\cos x\) é \(\mathbb{R}\) e \((\cos x)'=-\operatorname{sen}x\).

    • Derivadas da soma, diferença, produto e quociente

    As regras de derivação para operações algébricas entre funções estão sintetizadas no seguinte teorema:
    Teorema (derivadas de operações algébricas com funções) Sejam \(f,g\) duas funções diferenciáveis no ponto \(a\). Então \(\;f\pm g,\;\) \(\;fg,\;\) \(\;\dfrac{f}{g}\;\) (se \(g(a)\not=0\)), são diferenciáveis em \(a\) e,

    Observação: uma consequência deste teorema é que ficamos a saber que somas, diferenças, produtos, quocientes de funções diferenciáveis nos seus domínios são funções diferenciáveis, excepto para o quociente em que é preciso excluir os pontos onde o denominador se anaula.
    A demonstração decorre faciçmente da definição de derivada.

    Saem deste teorema, como casos particulares, as regras seguintes,

    Exemplo 1. Se \(\;f(x)=x^2+\operatorname{sen}x,\;\) então, \(\;f'(x)=2x+\cos x,\;\) com \(\;D_1=D=\mathbb{R}.\)

    Exemplo 2. Se \(\;f(x)=x^2\operatorname{sen}x\cos x,\;\) então \[f'(x)=2x\operatorname{sen}x\cos x+x^2(\operatorname{sen}x\cos x)'=2x\operatorname{sen}x\cos x+x^2(-\operatorname{sen}^2x+\cos^2 x)\] com \(\;D_1=D=\mathbb{R}.\)

    Exemplo 3. Se \(\;f(x)=\displaystyle\frac{1}{\ln x},\;\) então, \(\;\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{x\ln^2 x}\;\) com \(\;D_1=D=\mathbb{R}^+\setminus\{1\}\)

    Como consequência das derivadas vistas na aula anterior e do teorema acima, resulta a regra de derivação de mais uma função elementar importante:

    Exemplo 4. Regra de derivação da função tangente

    Para todo o \(\;x\in D_1=D_{\operatorname{tg}}=\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi : k\in\mathbb{Z}\},\;\) temos, \[(\operatorname{tg}x)'=\left(\frac{\operatorname{sen }x}{\cos x}\right)'=\frac{(\operatorname{sen }x)'\cos x-\operatorname{sen }x (\cos x)'}{\cos^2 x} =\frac{\cos^2 x+\operatorname{sen }^2x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}.\] Alternativamente, da penúltima expressão podemos também obter a seguinte igualdade que irá ser fundamental mais à frente: \[(\operatorname{tg}x)'=1+\operatorname{tg}^2 x\,.\] Como as outras funções elementares que temos vindo a estudar o domínio de diferenciabilidade da função tangente coincide com o próprio domínio da função.

    Outras funções trigonométricas:

    Exemplo 5. cotangente: Para todo o \(x\in D_1=D=\mathbb{R}\setminus\{k\pi : k\in\mathbb{Z}\},\) \[(\operatorname{cotg}x)'=\left(\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\right)'=-\frac{1}{\operatorname{sen}^2 x}=-(1+\operatorname{cotg}^2x)\]

    Exemplo 6. secante: Para todo \(x\in D_1=D=\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi : k\in\mathbb{Z}\},\;\) temos, \[(\operatorname{sec}x)'=\left(\frac{1}{\cos x}\right)'=\frac{\operatorname{sen }x}{\cos^2 x} =\operatorname{tg}x\sec x.\]

    Exemplo 7. cossecante: Para todo \(x\in D_1=D=\mathbb{R}\setminus\{\frac{k\pi : k\in\mathbb{Z}\},\;\) temos, \[(\operatorname{cosec}x)'=\left(\frac{1}{\operatorname{sen} x}\right)'=-\frac{\cos x}{\operatorname{sen}^2x}=-\operatorname{cotg}x\operatorname{cosec}x.\]

    Derivada da função composta

    Esta regra é um resultado extremamente importante para o cálculo de derivadas. Na realidade, todos as funções que aparecem ao longo desta disciplina serão construidas à custa das funções elementares dadas, não só através de somas, diferenças, produtos e quocientes entre essas funções, mas também através de suas compostas e funções inversas.

    Relembrando que, para cada \(x\in D_g\) tal que \(g(x)\in D_f\) se tem, por definição de função composta \[(f\circ g)(x)=f(g(x)),\] temos o seguinte teorema:

    Teorema (derivada da função composta)

    Se \(g\) é diferenciável em \(a\) e \(f\) é diferenciável em \(b=g(a),\) então, \(f\circ g\) é diferenciável em \(a\) e \[(f\circ g)'=f'(g(a))g'(a).\]

    Não apresentaremos aqui a demonstração completa deste teorema, a qual pode ser vista nas referências no início deste guia de estudo, mas sim uma dedução simples para o caso em que \(g(x)\not= g(a)\) numa vizinhança de \(a:\)
    Da seguinte expressão evidente, \[\frac{f(g(x))-f(g(a))}{x-a}=\frac{f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}\cdot\frac{g(x)-g(a)}{x-a},\] fazendo \(x\to a\), atendendo à continuidade de \(g\), temos \(g(x)\to b=g(a),\) e uma vez que, \[\lim_{x\to a}\frac{f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}=\lim_{y\to b}\frac{f(y)-f(b)}{y-b}=f'(b)=f'(g(a)),\] temos o resultado pretendido.

    Muitas vezes aplica-se este resultado nos domínios respectivos:

    Se \(g\) é diferenciável em \(D_g\) e \(f\) diferenciável em \(D_f\), então \(f\circ g\) é diferenciável em \(D_{f\circ g}\) e \[(f(g(x))'=f'(g(x))g'(x).\]

    Exemplo 8. Se \(f(x)=\operatorname{sen}x\) e \(g(x)\) uma função diferenciável em \(D_g\), temos que \(D_{f\circ g}=D_g\), e o domínio de diferenciabilidade de \(f\circ g\) coincide com \(D_g\). \[(\operatorname{sen}g(x))'=\cos g(x)g'(x)\]

    Por exemplo, se \(g(x)=x^3\), teremos \[(\operatorname{sen} (x^3))'=\cos(x^3)(x^3)'=\cos(x^3)3x^2.\]

    Exemplo 9. Seja \(f\) uma função positiva e diferenciável em \(x\). Então, dado que \((\ln x)'=\frac{1}{x},\) temos que, \[(\ln(f(x)))'=\frac{f'(x)}{f(x)}.\]

    Exemplo 10. Usando o teorema da função composta de forma iterada: \[(\operatorname{sen}(e^{x+\ln x}))'=\cos(e^{x+\ln x})(e^{x+\ln x})'=\cos(e^{x+\ln x})e^{x+\ln x}(x+\ln x)'=\cos(e^{x+\ln x})e^{x+\ln x}\left(1+\frac{1}{x}\right).\]

    Terminamos a aula com uma consequência do teorema da função composta e das derivadas da exponencial e logaritmo:

    Exemplos 11. Derivadas das funções hiperbólicas:

    Do teorema da derivada da função composta temos: \((e^{-x})'=e^{-x}(-x)'=-e^{-x}.\;\) Com esta derivada e o teorema das derivadas das operações algébricas com funções, deduzimos: \[(\operatorname{senh}x)'=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)'=\cosh x,\qquad (\operatorname{cosh}x)'=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)'=\operatorname{senh}x.\]

    Derivada de \(f(x)^{g(x)}\):

    Seja \(f\) é uma função positva. Relembremos que,
    \[f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln(f(x))}.\]
    e estamos em condições de calcular \(\left(f(x)^{g(x)}\right)'\):

    Exemplo 12. \[\begin{aligned}\left((1+\operatorname{sen}x)^{\cos x}\right)'&=\left(e^{\cos x \ln(1+\operatorname{sen} x)}\right)'= e^{\cos x \ln(1+\operatorname{sen} x)}(\cos x \ln(1+\operatorname{sen} x))'\\ &=(1+\operatorname{sen}x)^{\cos x}\left(-\operatorname{sen}x \ln(1+\operatorname{sen} x)+\frac{\cos^2 x}{1+\operatorname{sen} x}\right)\end{aligned}\]

    Podemos então demonstrar o seguinte resultado bem vosso conhecido:

  • Derivada da potência: Seja \(f(x)=x^a\) onde \(a\) é um real qualquer e \(x>0\). Então, \[f'(x)=(x^a)'=(e^{a\ln x})'=e^{a\ln x}(a\ln x)'=x^a \frac{a}{x}=ax^{a-1}.\]

    Observação: este resultado, no caso de \(a=n\) ser um número natural, pode ser obtido por indução. Para \(n=1\), temos \(x'=1\). Agora, admitamos a hipótese, \(\;(x^n)'=nx^{n-1}\;\). Então, \[(x^{n+1})'=(xx^{n})'=x^{n}+x(x^{n})'=x^n+xnx^{n-1}=(n+1)x^n,\] que é precisamente a tese de indução.

    • Mais exemplos de derivadas de funções compostas:

    Exemplos 13. \(\displaystyle\left(e^{1+\operatorname{tg}x}\right)'=\frac{e^{1+\operatorname{tx}x}}{\cos^2 x}\;,\qquad \left(e^{\frac{1}{x}}\right)'=-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}.\)

    Exemplos 14. \(\displaystyle\left(a^x\right)'=\left(e^{x\ln a}\right)'=(\ln a)e^{x\ln a}=(\ln a)a^x\;,\quad a>0\;,\qquad \left(\log_a x\right)'=\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)'=\frac{1}{(\ln a)x}\,.\)

    Exemplos 15. \(\displaystyle\left(\operatorname{sen}(x^2)\right)'=2x\cos(x^2)\;,\qquad\left(\cos\frac{1}{x^2}\right)'=\frac{2}{x^3}\operatorname{sen}\frac{1}{x^2}\;.\)

    Exemplos 16. \(\displaystyle\left(\operatorname{senh}(\ln x)\right)'=\cosh(\ln x)\frac{1}{x}\;,\qquad \left(\cosh(\operatorname{sen}^2 x)\right)'=\operatorname{senh}(\operatorname{sen}^2x)2\operatorname{sen}x\cos x.\)

    Exemplos 17. Ilustrações da derivada da composta da potência \(x^a\) com uma função \(u(x)\), \[\left(u^a\right)'=au^{a-1}u'.\]

    Por exemplo:

    \[\left(\operatorname{sen}^3(\sqrt{x})\right)'=3\cos^2(\sqrt{x})\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{3\cos^2\left(\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x}},\] \[\left(\operatorname{tg}^4(\cos x)\right)'=4\operatorname{tg}^3(\cos x)\left(\operatorname{tg}(\cos x)\right)'= 4\operatorname{tg}^3(\cos x)\left(1+\operatorname{tg}^2(\cos x)\right)(-\operatorname{sen}x),\] \[\left(\sqrt{1+\ln^2x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{1+\ln^2x}}(1+\ln^2x)'=\frac{1}{2\sqrt{1+\ln^2x}}\frac{2\ln x}{x}=\frac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln^2x}}.\]

    Exemplos 18. Casos \(\left(f(x)^{g(x)}\right)'\): \[(x^x)'=\left(e^{x\ln x}\right)'=e^{x\ln x}(x\ln x)'=x^x(\ln x+1)\,.\] \[\left((\sqrt{x})^{x^5}\right)'=\left(e^{x^5\ln \sqrt{x}}\right)'=e^{x^5\ln \sqrt{x}}\left(x^5\ln \sqrt{x}\right)'= (\sqrt{x})^{x^5}\frac{1}{2}(x^5\ln x)'=(\sqrt{x})^{x^5}\frac{5x^4\ln x+x^4}{2}\,.\]