Conclusão do estudo das propriedades das funções contínuas em intervalos:
O Teorema da continuidade da função inversa.
O Teorema de Weierstrass.
Início da Diferenciabilidade.
A definição de derivada.
A continuidade das funções diferenciáveis.
Material de estudo:
[AB] A. Bastos e A. Bravo, Cálculo Diferencial e Integral I.
Texto de apoio às aulas, 2010., páginas 59-66.
[CF] J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.
Na aula anterior demos os dois seguintes resultados:
\[
\left.
\begin{aligned}
&I \text{ é um intervalo}\\
&f \text{ é contínua em }I\quad
\end{aligned}
\right\}\quad\Rightarrow\quad
f(I) \text{ é um intervalo.}
\]
\[
\left.
\begin{aligned}
&I \text{ é um intervalo}\\
&f \text{ é estritamente monótona em }I\quad\\
&f(I) \text{ é um intervalo}\qquad
\end{aligned}
\right\}\quad\Rightarrow\quad
f \text{ é contínua em }I.
\]
Vejamos como combinando estas duas afirmações se obtem um resultado muito importante para o estudo da continuidade de algumas funções:
HIPÓTESES: \(f\) é contínua e estritamente monótona num intervalo \(I\)
Sendo a função \(f\) estritamente monótona em \(I\), ela é injectiva nesse intervalo e existe a função inversa \(f^{-1}\) definida no domínio \(J=f(I).\)
Sendo a função \(f\) contínua no intervalo \(I\), do resultado 1. acima, resulta que \(J=f(I)\) é um intervalo.
Então \(f^{-1}\) é uma função estritamente monótona que transforma o intervalo \(J\) no intervalo \(I\) e, portanto, por 2. acima, concluímos:
TESE: \(f^{-1}\) é uma função contínua em \(J=f(I).\)
Deduzimos então:
Teorema (da continuidade da função inversa):
Se \(f\) é contínua e estritamente monótona no intervalo \(I\) então \(f^{-1}\) é contínua no intervalo \(J=f(I).\)
Aplicações deste teorema:
Função logaritmo \(\ln x:\)
A função \(\;f(x)=e^x\;\) é contínua e estritamente crescente em \(\mathbb{R}.\quad\) Pelo teorema acima, \(f^{-1}(y)=\ln y\) é uma função contínua em \(\mathbb{R}^+=f(\mathbb{R}).\)
Raizes \(\sqrt[p]{y},\) com \(p\) ímpar:
A função \(\;f(x)=x^p\;\) é contínua e estritamente crescente em \(\mathbb{R}.\quad\) Pelo teorema acima, \(f^{-1}(y)=\sqrt[p]{y}\) é uma função contínua em \(\mathbb{R}=f(\mathbb{R}).\)
Raizes \(\sqrt[p]{y},\) com \(p\) par:
A função \(\;f(x)=x^p\;\) é contínua e estritamente crescente em \(\mathbb{R}_0^+.\quad\) Pelo teorema acima, \(f^{-1}(y)=\sqrt[p]{y}\) é uma função contínua em \(\mathbb{R}_0^+=f(\mathbb{R}_0^+).\)
Função \(\operatorname{arcsen}y:\)
A função \(f(x)=\operatorname{sen} x\) é contínua e estritamente monótona em \(\;\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].\quad\)
Pelo teorema acima, \(f^{-1}(y)=\operatorname{arcsen}y\) é uma função contínua em \([-1,1]=f\left(\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\right).\)
Função \(\arccos y:\)
A função \(f(x)=\cos x\) é contínua e estritamente monótona em \(\;\left[0,\pi\right].\quad\)
Pelo teorema acima, \(f^{-1}(y)=\arccos y\) é uma função contínua em \([-1,1]=f\left(\left[0,\pi\right]\right).\)
Função \(\operatorname{arctg}y:\)
A função \(f(x)=\operatorname{tg} x\) é contínua e estritamente monótona em \(\;\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[.\quad\)
Pelo teorema acima, \(f^{-1}(y)=\operatorname{arctg}y\) é uma função contínua em \(\mathbb{R}=f\left(\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\right).\)
Já falámos na potência \(x^a\) com \(a\) natural. O caso \(a\) racional positivo, ou seja, \(a=p/q\), com \(p,q\) naturais, pode ser definido por
\(x^{p/q}=\sqrt[q]{x^p}.\;\) Também fica definido para expoente racional negativo por \(x^{-a}=\dfrac{1}{x^a.}\,\) No entanto, fica por definir \(x^a\) quando
\(a\) é um número irracional. Uma forma de definir \(x^a\), para \(x\geqslant 0\) e \(a\in\mathbb{R}\) qualquer é
\[
x^a=e^{a\ln x}
\]
(Observação: A exponencial \(e^x\) pode ser definida pelo limite
\(e^x=\lim \left(1+\frac{x}{n}\right)^n.\))
Como, para qualquer \(a\in\mathbb{R},\) a definição dada de \(f(x)=x^a\) é através da composta da exponencial com o produto \(a\ln x\), ambas contínuas nos seus domínios,
concluímos que também
\(f(x)=x^a\) é contínua em \(D_f=\mathbb{R}_0^+\)
Se juntarmos estes resultados aos vistos nas últimas aulas, concluímos que
todas as funções elementares introduzidas neste curso: polinomiais, racionais,
exponencial, logaritmo, potências, trigonométricas e trigonométricas inversas são contínuas nos seus domínios.
A partir destas funções formam-se outras usando somas, diferenças, produtos, quocientes e composições daquelas funções. As novas funções assim obtidas são também
contínuas em virtude dos teoremas da aula anterior.
O Teorema de Weierstrass
Uma das aplicações importantes do Cálculo é o estudo de extremos (mínimos e máximos) de funções. Recordemos que, para uma função \(f\)
definida em \(I\) dizemos que:
\(f\) tem mínimo em \(c\in I\) sse \(f(c)=\min f(I)\)
\(f\) tem máximo em \(c\in I\) sse \(f(c)=\max f(I)\)
onde \(\min\) e \(\max\) referem-se ao mínimo e máximo de um conjunto como definidos nas primeiras aulas da disciplina. Da mesma forma, temos o supremo e ínfimo
da função \(f\), \(\sup f(I)\) e \(\inf f(I),\) respectivamente.
Exemplo 1.: \(\;f(x)=1+x^2\) com \(I=\mathbb{R}.\;\) \(f\) tem mínimo em \(x=0\): \(\min f(\mathbb{R})=f(0)=1.\) No entanto, não tem máximo, uma vez que a função não é majorada.
Exemplo 2.: Novamente \(\;f(x)=1+x^2\;\) mas agora com \(I=[-1,1].\;\) \(f\) tem mínimo em \(x=0\): \(\min f(I)=f(0)=1,\;\) e tem máximo em \(x=-1\)
e \(x=1\): \(\;\max f(I)=f(-1)=f(1)=2.\)
Exemplo 3.: \(\;f(x)=\dfrac{1}{x}\;\) em \(I=\mathbb{R}^+.\;\) \(f(I)=\mathbb{R}^+\) e, por isso, \(f\) não tem mínimo nem máximo em \(I.\)
Exemplo 4.: \(\;f(x)=\dfrac{1}{x}\;\) em \(I=]0,1].\;\) \(f(I)=[1,+\infty[\) e, por isso, \(f\) não tem máximo em \(I.\) Tem mínimo em \(x=1\):
\(\min f(I)=f(1)=1.\)
Exemplo 5.: \(\;f(x)=\dfrac{1}{x}\;\) em \(I=[1,2].\;\) \(f(I)=[\frac{1}{2},1]\) e \(f\) tem mínimo em \(x=2\): \(\min f(I)=f(2)=\frac{1}{2},\;\) e máximo
em \(x=1\): \(\max f(I)=f(1)=1\)
Exemplo 6.: \(\;f(x)=\operatorname{tg}x\;\) em \(I=\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[.\;\) Como \(f(I)=\mathbb{R},\;\) podemos concluir que \(f\)
não tem mínimo nem máximo em \(I.\)
Em cada um destes exemplos, a função \(f\) é contínua em \(I.\) No entanto, constatamos que, mesmo assim, tudo pode acontecer no que respeita à
existência de mínimo e máximo de \(f\) em \(I\). Vemos mesmo no exemplo 6. que \(I\) pode ser um intervalo limitado e, no entanto, \(f\) pode não possuir mínimo nem máximo
nesse intervalo.
Na realidade, o que é que podemos dizer, com o que foi visto até agora, sobre a relação entre continuidade e existência de minorantes e majorantes da função?
Apenas a seguinte afirmação, a qual resulta directamente da definição de limite e de continuidade (rever estas!):
Se \(f\) é contínua no ponto \(a,\) então, existe uma vizinhança de \(a,\;\) \(V_{\delta}(a),\;\) tal que \(f\) é limitada em \(\;V_{\delta}(a)\cap D_f\).
Mas se, por hipótese \(f\) é contínua num intervalo do tipo \(I=[a,b]\) com \(a,b\) finitos, podemos dizer mais.
Repare que nos exemplos 2. e 5. em que \(I=[a,b]\) com \(a,b\in\mathbb{R}\), a função \(f\) tem simultaneamente mínimo e máximo em \(I.\)
Isto não é por acaso. Na realidade temos o seguinte importante teorema:
Teorema de Weierstrass.Seja \(I\) um intervalo limitado e fechado, isto é, \(I=[a,b]\;\) com \(a\leqslant b\;\) finitos.
Se \(f\) é contínua em \(I\) então \(f\) tem máximo e mínimo em \(I\).
A demonstração consiste em duas partes distintas:
Parte 1: \(\;f(I)\;\) é um conjunto limitado (minorado e majorado)
Começemos por notar que, em virtude da afirmação atrás sobre a relação de continuidade num ponto e a limitação da função, sabemos que existe \(\delta>0\) tal que \(f\) é limitada em
\([a,a+\delta[\) e em \(]b-\delta,b].\;\) Provemos que também é limitada em \([a+\delta,b-\delta]:\)
É mais uma aplicação do Axioma do supremo. Considere o conjunto \(A\in I\) formado por todos os pontos \(x\in I\) tais que
\[f \text{ é limitada em } [a,x].\]
Então, \(A\not=\emptyset\) (\(a\in A\)), e \(A\) é majorado (\(b\) é um majorante). Logo, pelo Axioma do Supremo,
\[\text{existe }\, s=\sup A\in [a,b]\]
A estratégia da prova consiste em mostrar que \(s=b:\) se fizermos isto, provamos que \(f\) é limitada em \([a,b-\delta]\) e, portanto, em \([a,b]\), em virtude do que foi dito acima.
Façamo-lo por absurdo: vamos supôr que, contrariamente ao que queremos provar, \(s\lt b.\) Como \(s\in I\), \(f\) é contínua em \(s\) e, logo, existiria \(\varepsilon>0\) tal que
\(f\) era limitada em \(]s-\varepsilon,s+\varepsilon[\). Mas então \(f\) seria limitada em \([a,s+\varepsilon]\) o que é absurdo porque isto iria contradizer o facto de \(s\) ser o supremo de \(A.\)
Temos então, em virtude do Axioma do Supremo, que existem \(\inf f(I)\) e \(\sup f(I)\). Para provar que existe \(\min f(I)\) e \(\max f(I)\) temos que prosseguir para a:
Parte 2: \(\;\inf f(I)\in f(I)\;\) e \(\;\sup f(I)\in f(I).\;\)
Vamos apenas provar a existência do \(\max f(I).\) O caso do \(\min f(I)\) deixa-se como exercício.
Seja \(M=\sup f(I)\). Admitamos, por absurdo, que \(M\notin f(I)\).
Isto é equivalente a dizer que \(f(x)\not=M\), para todo \(x\in [a,b]\). Nesse caso, a função
\[g(x)=\frac{1}{M-f(x)}\]
é uma função contínua e estritamente positiva em \([a,b].\) Logo, é majorada em \([a,b],\) pela Parte 1. Ou seja, existe \(K>0\) tal que, para todo \(x\in[a,b]\)
\[g(x)\lt K\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{M-f(x)}\lt K\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)\lt M-\frac{1}{K}.\]
Mas isto é impossível, porque nesse caso \(M\) não seria o menor dos majorantes de \(f(I)\) o que iria contradizer a definição de supremo. Ora, esta contradicção
surgiu por admitirmos que \(M\notin f(I).\). Conclusão: \(\sup f(I)=M\in f(I).\)
∎
Exemplo 7. Consideremos a função \(f(x)=\ln(1+\frac{1}{x}).\;\) Se \(I=[a,b],\;\) com \(\;0\lt a\lt b\lt +\infty,\;\) então sabemos que existem \(\min f(I)\) e \(\max f(I),\) dado
que, nesses intervalos fechados e limitados, \(f\) é contínua (por ser a composta do logaritmo com uma função racional).
Exemplo 8. Neste exemplo abordamos um tipo de situação que se pode descrever da seguinte forma:
Suponhamos que é dito que uma função \(f\) é contínua num intervalo \(I\) que não é fechado ou/e limitado. Nada podemos então dizer sobre a existência de \(\min f(I),\) e \(\max f(I).\)
No entanto, é dada uma ou mais hipóteses suplementares que compensam, de alguma forma, o facto de \(I\) não cumprir as hipóteses do Teorema de Weierstrass e pede-se para provar
que existe \(\max f(I),\) por exemplo. Este problema resolve-se,
mostrando que é possível escolher um intervalo fechado e limitado \(I'\subset I\) tal que, para pontos \(x\) fora deste intervalo, \(f(x)\lt \max f(I')\) e, portanto, na realidade,
\(\max f(I)=\max f(I').\)
Um exemplo concreto: Seja \(\;I=[0,+\infty[\;\) e suponhamos que \(f:I\to \mathbb{R}\) é contínua e é dito que \(\;f(0)\gt 0\;\) e \(\;\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=0.\;\)
Questão: existirá necessariamente \(\max f(I)\)? A resposta é sim! Para o provar notemos que, pela definição de limite, existe \(R\gt 0\) tal que, para todo \(x\gt R\) se tem
\(f(x)\lt f(0).\) Apliquemos o teorema de Weierstrass ao intervalo fechado e limitado \(I'=[0,R]\) o qual garante a existência de \(\max f(I').\;\) Mas, como \(0\in I',\) temos que
para \(x\gt R,\) \(f(x)\lt f(0)\leqslant \max f(I').\;\) Fica provado que, de facto \(\max f(I')=\max f(I).\)
Diferenciabilidade. A derivada de uma função num ponto
Vamos definir um dos conceitos mais importantes desta disciplina: a derivada de uma função num ponto. Aliás, o próprio nome de "Cálculo Diferencial" está relacionado com este conceito,
uma vez que "diferencial" é um termo que aparece sempre associado ao conceito de derivada. Geometricamente, queremos determinar o declive da recta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abcissa \(a\),
ou seja, no ponto \((a,f(a))\). Também podemos interpretar como a velocidade instantânea em \(x=a\) se \(x\) representar o tempo e \(f(x)\) o deslocamento.
A razão incremental
\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
dá o declive da recta secante que passa pelos pontos do gráfico de abcissas \(x\) e \(a\), ou seja, os pontos \((x,f(x))\) e \((a,f(a))\). Interpretando novamente \(x\) como
o tempo e \(f(x)\) como o deslocamento, a razão incremental representa a velocidade média do corpo durante o tempo decorrido entre \(a\) e \(x\). Se quisermos passar à velocidade instantânea
em \(x=a\) não podemos obviamente substituir \(x\) por \(a\) na razão incremental: o resultado seria \(\frac{0}{0}.\) O processo correcto será o de passagem ao limite quando \(x\to a.\)
Para uma visualização geométrica de como neste processo de passagem ao limite as rectas secantes se vão aproximando da recta tangente em \(x=a\) aconselho que usem a App do Geo Gebra
no fim destas notas.
Na nossa definição vamos supôr que \(a\in D_f\) é tal que existe um intervalo \(]a-\varepsilon,a+\varepsilon[\subset D_f\). Neste caso diz-se que \(a\) é um ponto interior a \(D_f.\)
Por exemplo, o conjunto dos pontos interiores a \([-1,1]\) é \(]-1,1[.\)
Temos entãoa definição:
Definição: Seja \(f\) uma função de domínio \(D\) e \(a\) um ponto interior a \(D.\) Designa-se por derivada de \(f\) no ponto \(a\) o seguinte limite se este existir em \(\overline{\mathbb{R}}:\)
\[f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\]
Se a derivada \(f'(a)\) for finita (ou seja, \(f'(a)\in \mathbb{R}\)) diz-se que \(f\) é diferenciável em \(a\).
O conjunto \(D_1\subset D\) formado por todos os pontos nos quais
\(f\) é diferenciável, designa-se por domínio de diferenciabilidade de \(f\).
Fica definida a função \(f'\) de domínio \(D_1\) a qual designamos por função derivada de \(f\).
A seguinte expressão obtida por mudança de variável \(x=a+h\) é equivalente à definição em cima:
\[f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.\]
Vejamos uns primeiros exemplos de derivadas:
.
Exemplo 9:
\(\;f(x)=mx+b\;\) com \(m,b\) constantes. Então, em cada \(a\in\mathbb{R}:\)
\[f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{(mx+b)-(ma+b)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{m(x-a)}{x-a}=m\]
Logo, \(D_1=\mathbb{R}\) e a função derivada é dada por \(f'(x)=m,\) para todo \(x\in D_1.\)
Exemplo 10:
\(\;f(x)=x^2.\;\) Então, em cada \(a\in \mathbb{R},\)
\[f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{x^2-a^2}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{(x-a)(x+a)}{x-a}=\lim_{x\to a}(x+a)=2a.\]
Logo, \(D_1=\mathbb{R}\) e a função derivada é dada por \(f'(x)=2x,\) para cada \(x\in D_1.\)
Exemplo 11:
\(\;f(x)=\sqrt{x}.\;\) Então, em cada \(a\) interior ao domínio da raiz quadrada, isto é, \(a\in \mathbb{R}^+,\)
\[f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{x-a}{(x-a)(\sqrt{x}+\sqrt{a})}=\lim_{x\to a}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}=\frac{1}{2\sqrt{a}}.\]
Logo, \(D_1=\mathbb{R}^+\) e a função derivada é dada por \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}},\) para cada \(x\in D_1.\)
A seguir exemplifica-se um caso em que a derivada num ponto existe mas é infinita:
Exemplo 12:
\(\;f(x)=\sqrt[3]{x}.\;\) Vejamos a derivada no ponto específico \(a=0:\)
\[f'(0)=\lim_{x\to a}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{0}}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{x^{1/3}}{x}=\lim_{x\to a}\frac{1}{x^{2/3}}=+\infty.\]
Este resultado não é de estranhar, uma vez que a recta tangente na origem ao gráfico desta função é uma recta vertical.
Logo, \(0\notin D_1\) Veremos mais à frente que \(D_1=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) e daremos a regra de derivação que engloba esta função.
Uma propriedade muito importante das funções diferenciáveis é dada pelo seguinte
Teorema (da continuidade das funções diferenciáveis):
Se \(f\) é diferenciável em \(a\) então é contínua em \(a\)
Demonstração
Seja \(a\in D_1.\) Então, para cada \(x\in D\setminus\{a\}\) temos
\[f(x)=f(a)+\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a).\]
Mas,
\[\lim_{x\to a}\left(f(a)+\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)\right)=f(a)+f'(a)\cdot 0=f(a),\]
e, portanto,
\[\lim_{x\to a}f(x)=f(a),\]
donde se segue a continuidade de \(f\) em \(a\).
∎
Reparemos que este teorema afirma:
\[\hbox{diferenciabilidade em } a \quad\Rightarrow\quad \hbox{ continuidade em } a.\]
Portanto, não é uma equivalência como aliás se pode ver com o seguinte exemplo:
Exemplo 13
\(\;f(x)=|x|=\begin{cases}x,& x\geqslant 0\\ -x,& x\lt 0\end{cases}.\quad\) Trata-se de uma função contínua em \(\mathbb{R}.\)
Agora vejamos que
\[\lim_{x\to 0^-}\frac{|x|-0}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{-x}{x}=-1, \qquad \lim_{x\to 0^+}\frac{|x|-0}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{x}=1.\]
Logo, não existe \(f'(0)\) apesar de \(f\) ser contínua em \(0\).
Mas, usando as regras da lógica, o teorema anterior é equivalente afirmar
\[\hbox{não continuidade em } a \quad\Rightarrow\quad \hbox{ não diferenciabilidade em } a,\]
o que dá um método prático para estabelecer a não diferenciabilidade em muitos casos. Tome-se o seguinte exemplo:
Exemplo 14
A função de Heaviside \(\; H(x)=\begin{cases}0, & x\lt 0\\ 1, & x\geqslant 0 \end{cases}\quad\) não é contínua no ponto \(a=0.\) Concluímos imediatamente que
\(H\) não é diferenciável em \(a=0.\) Então, \(D_1=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) e a função derivada será \(H'(x)=0,\) para todo \(x\in D_1.\)
Visualização da definição de derivada
Veja na seguinte aplicação do GeoGebra como, quando o ponto do gráfico Q de coordenadas \((x,f(x))\) se aproxima do ponto P de coordenadas \((a,f(a))\) a recta secante que passa por P e Q,
representada a amarelo, se aproxima da recta
tangente ao gráfico no ponto P representada a verde. O comprimento do segmento vertical a azul dá o declive de cada uma das secantes. Veja como esse declive se aproxima do declive
da recta tangente, o qual é igual a \(f'(a).\)