Aula teórica 15

Limites n recta acabada \(\overline{\mathbb{R}}\).
Limites infinitos.
Operações algébricas com limites em \(\overline{\mathbb{R}}\)
Limites notáveis.

Material de estudo:

• [CF] J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.
  
• [Co] Exercícios resolvidos: Continuidade.
• [LF] Exercícios resolvidos: Limites de funções

Limites na recta acabada \(\overline{\mathbb{R}}\). Limites infinitos.

Relembremos que a recta acabada \(\overline{\mathbb{R}}\) é,

Reveja a definição de \(b=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) dada na aula teórica 13 (ver guia de estudo), usando vizinhanças:

dado um \(\varepsilon>0\) qualquer, existe \(\delta>0\), tal que, para \(x\in D_f,\) \[x\in V_{\delta}(a)\;\Rightarrow\; f(x)\in V_{\varepsilon}(b).\]

Caso \(a=+\infty,\; b\in\mathbb{R}\): \(\;\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=b,\;\) sse, dado \(\varepsilon>0\), existe \(R\gt 0\), tal que, para \(x\in D_f\), \[x\gt R\;\Rightarrow\; |f(x)-b|<\varepsilon.\]

Caso \(a=-\infty,\; b\in\mathbb{R}\): \(\;\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=b,\;\) sse, dado \(\varepsilon>0\), existe \(R\gt 0\), tal que, para \(x\in D_f\), \[x\lt -R\;\Rightarrow\; |f(x)-b|<\varepsilon.\]

Caso \(a\in\mathbb{R},\; b=+\infty\): \(\;\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty,\;\) sse, dado \(K \gt 0\), existe \(\delta\gt 0\), tal que, para \(x\in D_f\), \[|x-a|<\delta\;\Rightarrow\; f(x)\gt K.\]

Caso \(a\in\mathbb{R},\; b=-\infty\): \(\;\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=-\infty,\;\) sse, dado \(K \gt 0\), existe \(\delta\gt 0\), tal que, para \(x\in D_f\), \[|x-a|<\delta\;\Rightarrow\; f(x)\lt -K.\]

Caso \(a=+\infty,\; b=+\infty\): \(\;\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,\;\) sse, dado \(K \gt 0\), existe \(R\gt 0\), tal que, para \(x\in D_f\), \[x\gt R\;\Rightarrow\; f(x)\gt K.\]

Caso \(a=-\infty,\; b=+\infty\): \(\;\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty,\;\) sse, dado \(K \gt 0\), existe \(R\gt 0\), tal que, para \(x\in D_f\), \[x\lt -R\;\Rightarrow\; f(x)\gt K.\]

Caso \(a=+\infty,\; b=-\infty\): \(\;\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,\;\) sse, dado \(K \gt 0\), existe \(R\gt 0\), tal que, para \(x\in D_f\), \[x\gt R\;\Rightarrow\; f(x)\lt -K.\]

Caso \(a=-\infty,\; b=-\infty\): \(\;\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty,\;\) sse, dado \(K \gt 0\), existe \(R\gt 0\), tal que, para \(x\in D_f\), \[x\lt -R\;\Rightarrow\; f(x)\lt -K.\]

Observação: Para que as definições anteriores façam sentido, é necessário pressupor, em cada caso, hipóteses sobre a relação entre \(a\in\overline{\mathbb{R}}\) e o domínio \(D_f.\) Assim, já vimos que, se \(a\) é finito (\(a\in\mathbb{R}\)) essa condição é \(a\) ser um ponto aderente a \(D_f\). Nos casos \(a=\pm\infty,\) essa condição pode ser generalizada considerando, em coerência com as definições de aderência e das vizinhanças do infinito, que em \(\overline{\mathbb{R}}\), \(\;+\infty\in\overline{D_f}\;\) sse \(D_f\) não é majorado. De igual modo, consideramos que em \(\overline{\mathbb{R}}\), \(\;-\infty\in\overline{D_f}\;\) sse \(D_f\) não é minorado. Assim, pressupõe-se sempre que \(a\in\overline{D_f}\) em \(\overline{\mathbb{R}}.\)

Exemplo 7. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x^2}=0,\;\) já que, fazendo \(\;f(x)=\dfrac{1}{x^2},\;\) para todo \(x\gt 0,\) \[|f(x)-b|<\varepsilon\;\Leftrightarrow\;\dfrac{1}{x^2}\lt \varepsilon\;\Leftrightarrow\;x^2\gt \frac{1}{\varepsilon}\;\Leftrightarrow\;x\gt \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\] e, portanto, dado \(\varepsilon\gt 0\), basta considerar \(R=\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}.\)

Exemplo 8. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}=+\infty,\;\) já que, fazendo \(\;f(x)=\dfrac{1}{x^2},\;\) para todo \(x\not= 0,\) \[f(x)\gt K\;\Leftrightarrow\;\dfrac{1}{x^2}\gt K\;\Leftrightarrow\;x^2<\frac{1}{K}\;\Leftrightarrow\;|x-0|<\dfrac{1}{\sqrt{K}}\] e, portanto, dado \(K\gt 0,\) basta considerar \(\varepsilon=\dfrac{1}{\sqrt{K}}.\)

Exemplo 9. \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} x^2=+\infty,\;\) já que, fazendo \(\;f(x)=x^2,\;\) para todo \(x\gt 0,\) \[f(x)\gt K\;\Leftrightarrow\;x^2\gt K\;\Leftrightarrow\;|x|>\sqrt{K}\;\Leftarrow\;x\lt -\sqrt{K}\] e, portanto, basta considerar \(R=\sqrt{K}.\)

Limites laterais em \(\overline{\mathbb{R}}\)

Combinando as definições de limites laterais com limites na recta acabada, temos também limites laterais em \(\overline{\mathbb{R}}\). Por exemplo, se \(a\in\overline{D_f\cap \left]a,+\infty\right[}\), dizemos que \[\lim_{x\to a^+}f(x)=+\infty\] sse, dado \(K\gt 0\), existe \(\delta\gt 0\), tal que, \[0\lt x-a\lt \delta\quad\Rightarrow\quad f(x)>K\,.\]

Exemplo 11. \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty,\;\) já que, fazendo \(\;f(x)=\dfrac{1}{x},\;\) para todo \(x\gt 0,\) \[f(x)\gt K\;\Leftrightarrow\;\dfrac{1}{x}\gt K\;\Leftrightarrow\;x<\frac{1}{K}\;\Leftrightarrow\;0\lt x-0<\dfrac{1}{K}.\] e, portanto, basta considerar \(\delta=\dfrac{1}{K}.\)

Definição à Heine em \(\overline{\mathbb{R}}\)

A definição à Heine pode ser transcrita também para limites em \(\overline{\mathbb{R}}\) uma vez que sabemos definir limites de sucessões em \(\overline{\mathbb{R}}\). Por seu lado, a equivalência entre a definição dada (à Cauchy) e a definição à Heine é também válida em \(\overline{\mathbb{R}}\)

Exemplo 12. \(f(x)=\cos x\). Vejamos que \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \cos x\) não existe. Para isso, consideremos as duas sucessões seguintes:

teremos assim, \[\lim x_n=\lim y_n=+\infty\quad\text{ e, no entanto, }\quad\lim f(x_n)=1\not=\lim f(y_n)=0.\]

Por sua vez, como alternativa à definição à Cauchy, podemos usar os limites à Heine e as propriedades já conhecidas das sucessões, para obter os seguintes resultados (faça como exercício!), os quais passaremos a usar, sem necessidade de justificação, cada vez que são usados:

1. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^p=+\infty,\quad p\gt 0\)

2. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x^p}=0,\quad p\gt 0\)

3. \(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to -\infty}x^p=-\infty, \qquad &\text{ quando \(p\) é um natural ímpar}\\ \displaystyle\lim_{x\to -\infty}x^p=+\infty, \qquad &\text{ quando \(p\) é um natural par}\end{aligned}\)

(Observação: se \(p\) não é um número inteiro, não definimos, em geral \(x^p\), quando \(x\lt 0\).)

4. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{-x}=\lim_{x\to -\infty}e^{x}=0,\)

5. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{x}=\lim_{x\to -\infty}e^{-x}=+\infty,\)

6. Vejamos o que se passa com \(f(x)= e^{\frac{1}{x}}\), quando \(x\to 0\). Usando a substituição \(y=\dfrac{1}{x}\), \[f(0^-)=\lim_{x\to -\infty}e^{y}=0,\qquad f(0^+)=\lim_{x\to +\infty}e^{y}=+\infty,\] e, logo, não existe \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\) (neste caso, \(f\) tem uma assíntota vertical à direira em 0).

Operações algébricas com limites em \(\overline{\mathbb{R}}\)

Vejamos agora resultados que nos permitem calcular facilmente limites e estabelecer a continuidade de várias funções. No resultado seguinte, assumimos as convenções já vistas para as operações algébricas em \(\overline{\mathbb{R}}\), excluindo as indeterminações \[\infty-\infty,\quad 0\cdot\infty,\quad \frac{0}{0},\quad\frac{\infty}{\infty}.\]

Demonstração

Fazemos aqui a demonstração apenas para a soma. Para os outros casos deixa-se como exercício. Seja \(x_n\) uma sucessão arbitrária de termos em \(\;D_f\cap D_g,\)

Observações:

Observação 1. Se \(c=0\) e \(g(x)>0\) numa vizinhança de \(a\), então \(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\pm \infty\), dependendo de \(b\gt 0\) ou \(b \lt 0\). Simbolicamente na prática, para simplificar, podemos usar os símbolos \(0^+\) e \(0^-\) neste contexto, tendo em atenção que não são números mas sim símbolos que traduzem que \(g(x)\to 0\) por valores positivos. Por exemplo,

Exemplo 13. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^4}=\dfrac{1}{0^+}=+\infty.\)

Observação 2. Se \(b=c=0\) o limite \(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}\), dá-nos uma comparação da ordem dos infinitésimos \(f(x)\) e \(g(x)\), quando \(x\to a\).

Observação 3. Se \(b=c=+\infty\) o limite \(\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}\), dá-nos uma comparação da ordem dos infinitamente grandes \(f(x)\) e \(g(x)\), quando \(x\to a\).

Alguns limites notáveis:

EXEMPLOS:

Exemplo 14. \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x-2}{\sqrt{x}}=\dfrac{-2}{0^+}=-2\cdot(+\infty)=-\infty.\)

Exemplo 15. \(\displaystyle\lim_{x\to 2^+}\dfrac{2+\sqrt{x-2}}{\operatorname{sen}(\pi x/4)}=\dfrac{2}{1}=2.\)

Exemplo 16. Funções hiperbólicas: \[\begin{aligned} \lim_{x\to +\infty}\operatorname{senh}x&=\lim_{x\to +\infty}\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{+\infty-0}{2}=+\infty,\\ \lim_{x\to -\infty}\operatorname{senh}x&=\lim_{x\to -\infty}\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{0-(+\infty)}{2}=-\infty,\\ \lim_{x\to +\infty}\cosh x&=\lim_{x\to +\infty}\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{+\infty+0}{2}=+\infty,\\ \lim_{x\to -\infty}\cosh x&=\lim_{x\to -\infty}\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{0+\infty}{2}=+\infty. \end{aligned}\]

Exemplo 17. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{arctg}^2x}{2x^2}=\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{2\cos^2x}\left(\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\right)^2=\dfrac{1}{2}.\)

Exemplo 18. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}}=e^1=e.\)

Aconselha-se veementemente o estudo dos exercícios resolvidos das listas [Co] e [LF].