Aula teórica 11

Indeterminações (conclusão).
Comparação do crescimento de sucessões positivas. Um critério baseado no estudo de \(\lim\frac{u_{n+1}}{u_n}\).
Funções reais de variável real (início).

Material de estudo:

• [AB] A. Bastos e A. Bravo, Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas, 2010.,  páginas 27-30.
• [CF] J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.
  

Indeterminações (conclusão). Comparação do crescimento de sucessões positivas.

Nesta aula vamos considerar algumas indeterminações do tipo \(\dfrac{\infty}{\infty}.\;\) Mais precisamanente, vamos estudar a convergência de \(\dfrac{u_n}{v_n}\,\;\) para certas sucessões positivas \(u_n,\;v_n\) tais que \(\lim u_n=\lim v_n=+\infty.\) Para isso, vamos comparar a "rapidez" do crescimento das sucessões \(u_n\) e \(v_n\). Introduzimos a seguinte notação:

Sejam \(u_n,\, v_n\) duas sucessões positivas, isto é, \(u_n,v_n\gt 0\), para todo \(n\in\mathbb{N}.\) Se \[\lim\frac{v_n}{u_n}=+\infty, \quad \text{ ou, equivalentemente, }\quad \lim\frac{u_n}{v_n}=0,\] escreve-se \[u_n\lt\lt v_n\] e dizemos que "\(u_n\) é muito menor que \(v_n.\)" ou que "\(v_n\) é muito maior que \(u_n.\)"

Exemplo

\(\lim\dfrac{100^n}{1000^n}=\lim 10^n =0.\;\) Logo, \[100^n\lt\lt 1000^n.\] Mais geralmente, \[a^n\lt\lt b^n,\quad \text{ se }a\lt b.\] Agora pretendemos comparar sucessões de tipos diferentes. Para isso, o seguinte resultado será de grande utilidade:

Proposição. Seja \(a_n\) uma sucessão positiva e tal que \(\;\lim\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L\;\) em \(\;\overline{\mathbb{R}}.\) Então,

• se \(L\gt 1,\) então \(\lim a_n=+\infty,\)
• se \(L\lt 1,\) então \(\lim a_n=0,\)
  
  

Se \(L=1\) nada podemos concluir deste critério.

Demonstração

Começemos por observar que, se \(\lim a_n\) existe e é um número real (ou seja, \(a_n\) é convergente em \(\mathbb{R}\)), e se esse real não é zero, então \(\lim\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1\;\) (porquê?). Logo, se \(\lim\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\not=1\;\) necessariamente ocorre uma das três possibilidades seguintes:
1. Não existe \(\lim a_n\) em \(\overline{\mathbb{R}};\)
2. \(\lim a_n=0\)
3. \(\lim a_n=+\infty.\)

Suponhamos agora que \(L\gt 1.\) Então, existe \(p\) tal que, para todo \(n\gt p,\) \(\;\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\gt 1,\;\) e logo, \(\;u_{n+1}\gt u_n.\;\) Portanto, sabemos que \(\;u_n\;\) será convergente em \(\overline{\mathbb{R}}\) (porque coincidirá com uma sucessão monótona excepto possivelmente para os primeiros \(p\) termos). Logo terá de ocorrer a possibilidade 3 porque \(u_n\) será crescente a partir de certa ordem.

Suponhamos agora que \(L\lt 1.\) Então, existe \(p\) tal que, para todo \(n\gt p,\) \(\;\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\lt 1,\;\) e logo, \(\;u_{n+1}\lt u_n.\;\) Portanto, sabemos que \(\;u_n\;\) será convergente em \(\overline{\mathbb{R}}\) (porque coincidirá com uma sucessão monótona excepto possivelmente para os primeiros \(p\) termos). Logo terá de ocorrer a possibilidade 2 porque \(u_n\) será decrescente a partir de certa ordem.

Isto prova o resultado.
∎

Aplicações desta proposição: Todos os casos seguintes são do tipo \(\frac{\infty}{\infty}.\)

• \(\lim\dfrac{n^p}{c^n},\;\) com \(\;p\gt 0\;\) e \(\;c\gt 1.\; \))
  
  Seja \(a_n=\dfrac{n^p}{c^n}.\;\) Então, \[\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{\dfrac{(n+1)^p}{c^{n+1}}}{\dfrac{n^p}{c^n}}=\lim\frac{1}{c}\left(\frac{n+1}{n}\right)^p=\frac{1}{c}\lt 1.\] Conclusão: \(\lim\dfrac{n^p}{c^n}=0.\;\)
• \(\lim\dfrac{c^n}{n!},\;\) com \(\;c\gt 1.\; \))
  
  Seja \(a_n=\dfrac{c^n}{n!}.\;\) Então, \[\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{\dfrac{c^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{c^n}{n!}}=\lim\frac{c}{n+1}=0\lt 1.\] Conclusão: \(\lim\dfrac{c^n}{n!}=0.\;\)
• \(\lim\dfrac{n!}{n^n},\;\)
  
  Seja \(a_n=\dfrac{n!}{n^n}.\;\) Então, \[\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\dfrac{n!}{n^n}}=\lim\frac{\dfrac{n!}{(n+1)^{n}}}{\dfrac{n!}{n^n}}= \lim\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\lim\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{1}{e}\lt 1.\] Conclusão: \(\lim\dfrac{n!}{n^n}=0.\;\)
Estes três resultados provam o seguinte:

Escala de sucessões: \[n^p\lt\lt c^n\lt\lt n!\lt\lt n^n,\] com \(p\gt 0\;\) e \(\;c\gt 1.\)

Exemplos

• \(\lim\dfrac{n^{1000000}}{1,00001^n}=0,\;\) porque \(\;n^{1000000}\lt\lt 1,00001^n.\)
  
  
• \(\lim\dfrac{2^n+n^{10}+n!}{1+n^5+n^n}=\lim \dfrac{\dfrac{2^n}{n^n}+\dfrac{n^{10}}{n^n}+\dfrac{n!}{n^n}}{\dfrac{1}{n^n}+\dfrac{n^5}{n^n}+1}=\dfrac{0+0+0}{0+0+1}=0\)
  
  
• \(\lim(n^n-n!-n^9)=n^n\left(1-\dfrac{n!}{n^n}-\dfrac{n^{9}}{n^n}\right)=(+\infty)\cdot (1-0-0)=+\infty.\)
No seguinte exemplo, a escala de sucessões não nos ajuda: vejam que, embora saibamos que \(3^n\lt\lt n^n\) e que \(n!\lt\lt n^n\), isto não nos permite obter nenhuma relação entre \(3^nn!\) e \(n^n.\) Nestes casos, usamos directamente a proposição atrás:

Exemplo

• \(\lim \dfrac{3^nn!}{n^n}.\)
  
  Seja \(a_n=\dfrac{3^nn!}{n^n}.\;\) Então, \[\lim\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\dfrac{\dfrac{3^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\dfrac{3^nn!}{n^n}}=\lim 3\cdot\dfrac{ \dfrac{n!}{(n+1)^n}}{\dfrac{n!}{n^n}}= \lim\dfrac{3}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\dfrac{3}{e}\gt 1.\] Conclusão: \(\lim \dfrac{3^nn!}{n^n}=+\infty.\)
• Exercício: deduza, usando a mesma proposição, \(\lim \dfrac{2^nn!}{n^n}=0.\)

Outras indeterminações

Além das indeterminações anteriores, existem outras 3: \[1^{\infty}\,,\qquad 0^0\,,\qquad \infty^0\,.\] De momento não nos debruçaremos sobre elas mas é importante saberem que, de facto, se tratam de indeterminações. De importância fundamental é o caso \(1^\infty\). Para mostrar que se trata de uma indeterminação, basta ver que, para dois exemplos com \(\lim u_n=1\) e \(\lim v_n=+\infty,\) os limites de \(u_{n}^{v_{n}}\) resultam diferentes. Ou seja, só os limites não chegam para prever o limite da sucessão resultante. Esses exemplos poderão ser: \begin{align*} u_n=1\,, \text{ (sucessão constante) }\qquad v_n=n\,,\qquad &\lim u_n^{v_n}=\lim 1=1\,,\\ u_n=1+\frac{1}{n}\,,\qquad v_n=n\,,\qquad &\lim u_n^{v_n}=\lim\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\,, \end{align*} onde \(e=2.71828\dots\), é um número irracional conhecido como número de Neper.
A Proposição 2.3.42 de [AB], a qual está excluida da matéria da disciplina neste semestre, serve precisamente para resolver algumas indeterminações tipo \(0^0\) e \(\infty^0\,.\) Veremos que, no contexto dos limites de funções, poderemos lidar com indeterminações deste tipo usando a regra de Cauchy.

Funções reais de variável real (início)

As notas seguintes servem de guia de estudo para reverem pontos importantes sobre funções dados no Ensino Secundário.

Todo o conteúdo desta aula encontra-se exposto e muito bem explicado no livro [CF] acima, nas páginas 231-239. Para rever os conceitos de função, domínio, contradomínio, soma, produto, quociente e composta de funções, em alternativa, veja a referência [AB] acima. Aconselha-se também que vejam as aulas em vídeo do Prof. Miguel Abreu respeitantes às funções elementares (aulas 5.1 e 5.2 e ínicio da 6.) disponíveis no link acima em [MA].

Consideremos uma função \(f:D_f\to\mathbb{R}\). Estamos a dizer que o conjunto de reais \(D_f\) é o domínio da função \(f\), e que o seu contradomínio, \(C_f\), é um subconjunto de \(\mathbb{R}\). Dado \(A\subset D_f\) designamos por \(f(A)\) o conjunto das imagens por \(f\) dos objectos em \(A\), isto é: \[f(A)=\{f(x):\;x\in A\}\,.\] É óbvio que \(f(A)\subset C_f\) e que, em particular, \(C_f=f(D_f)\).
Exemplo: Se \(f(x)=|2x|\), com \(D_f=\mathbb{R}\) e \(C_f=[0,+\infty[\), então \(f([-1,2])=[0,4]\).

• Gráfico de \(f\): é o seguinte conjunto de pares ordenados \[G(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; x\in D_f \wedge y=f(x)\}.\] O eixo horizontal, onde está representada a variável \(x\) designa-se por eixo das abcissas e o eixo vertical, onde está representada a variável \(y\) designa-se por eixo das ordenadas.
• A função \(f\) diz-se minorada, majorada ou limitada sse o conjunto \(C_f\) fôr, respectivamente, minorado, majorado ou limitado. Em particular, \(f\) é limitada sse existem dois reais \(m\) e \(M\) tais que \[\forall x\in D_f\,,\quad m \leqslant f(x)\leqslant M\,.\] Em termos do gráfico de \(f\), isto significa que \(f\) é limitada sse \(G(f)\) está compreendido numa faixa entre duas rectas horizontais \(y=m\) e \(y=M\).
  Define-se, quando existam, \(\sup f=\sup C_f,\,\) \(\inf f=\inf C_f,\,\) \(\min f=\min C_f,\,\) \(\max f=\max C_f,\).
  Exemplo: Seja \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dada por \(f(x)=1-x^2\). A função \(f\) é majorada, não minorada e, logo, não limitada e, \(\sup f=\max f=1\), não existindo (em \(\mathbb{R}\)), nem \(\inf f\), nem \(\min f\).
• Seja \(A\subset D_f\).
  A função \(f\) diz-se crescente em \(A\) sse, para quaisquer \(x_1,x_2\in A\), \[x_1>x_2\;\Rightarrow\; f(x_2)\geqslant f(x_1)\,.\] A função \(f\) diz-se decrescente em \(A\) sse, para quaisquer \(x_1,x_2\in A\), \[x_1>x_2\;\Rightarrow\; f(x_2)\leqslant f(x_1)\,.\] A função \(f\) diz-se monótona em \(A\) sse é crescente ou decrescente em \(A\).
  Se \(A=D_f\) nos casos anteriores, diz-se simplesmente que \(f\) é, respectivamente, crescente ou decrescente. Em qualquer desses casos diz-se, simplesmente, que \(f\) é monótona.
  Se a relação \(\geqslant\), no caso crescente (em \(A\)), ou \(\leqslant\), no caso decrescente (em \(A\)), fôr substituida, respectivamente, por \(>\) ou por \(<\), diz-se que \(f\) é, respectivamente, estritamente crescente (em \(A\)) ou estritamente decrescente (em \(A\)) e, em qualquer um destes casos, diz-se estritamente monótona (em \(A\)).
  Relembre que uma função é injectiva sse, para quaisquer \(x_1,x_2\in D_f\), \[f(x_1)=f(x_2)\,\quad \text{sse}\quad x_1=x_2\,.\] Logo, é fácil verificar a implicação \[f \text{ é estritamente monótona }\quad \Rightarrow\quad f \text{ é injectiva}.\] Observe que a implicação recíproca (\(\Leftarrow\)) é falsa. Como contraexemplo pode considerar a função \(f:[-1,1[\to\mathbb{R}\) dada por, \[ f(x)=\begin{cases} x+1, & \text{ se }\;-1\leqslant x\leqslant 0,\\ x-1, & \text{ se }\; \,0< x< 1. \end{cases} \] Trata-se de uma função injectiva mas não monótona. Exercício: esboçe o gráfico.
• A função \(f\) diz-se par sse \(f(-x)=f(x)\), e ímpar sse \(f(-x)=-f(x)\), para todo \(x\in D_f\), assumindo que o domínio \(D_f\) é simétrico relativamente à origem.
  Exemplos: \(f(x)=x^2\) é par, e \(f(x)=x^3\) é ímpar, ambas em \(\mathbb{R}\). Já \(f(x)=x+1\) não é nem par nem ímpar.

Mais exemplos:

1) \(f(x)=x^2+1\) é par, minorada, \(\min f=1\) (minimizante em \(x=0\)), não majorada, decrescente em \(]-\infty,0]\), crescente em \([0,+\infty[\), \(C_f=f(\mathbb{R})=[1,+\infty[.\)

2) \(f(x)=(x-1)^3\) não é par nem ímpar, (no entanto, é simétrica relativamente a \(x=1\)), não minorada nem majorada, crescente, \(C_f=f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\).

3) \(f(x)=\dfrac{1}{x}\), \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), é ímpar, não majorada, não minorada, decrescente em \(]-\infty,0[\) e em \(]0,+\infty[,\) não monótona (!), \(C_f=f(\mathbb{R}\setminus\{0\})=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Observação importante: Veja que, no caso 3), a função é decrescente em cada um dos intervalos \(]-\infty,0[\) e \(]0,+\infty[,\) mas não decrescente em \(]-\infty,0[\cup]0,+\infty[.\) Ou seja, pelo facto de uma função ser decrescente (ou crescente) em dois conjuntos, não se depreende que o mesmo seja verdade na sua união.

• A grande maioria das funções que consideraremos neste curso serão dadas por somas, produtos, quocientes e composição das chamadas funções elementares:
  • polinomiais e racionais,
  • exponenciais e logarítmicas,
  • trigonométricas
  e suas inversas.

• Funções polinomiais: são funções do tipo \[f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n\,\] onde \(a_0,a_1,\dots,a_n\) são constantes reais. Relembre que \(D_f=\mathbb{R}\) e veja que, no caso de \(n\) ímpar, \(C_f=\mathbb{R}\) (justificaremos este facto rigorosamente). Relembre que \(f\) pode ter, no máximo, \(n\) zeros diferentes. Relembre a factorização polinomial e o gráfico das funções \(f(x)=x^p,\; p\) par e \(p\) ímpar. Sobreponha, no mesmo gráfico, os casos \(p=1,2,3,4\).
• Funções racionais: são do tipo \(f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}\), onde \(p(x)\) e \(q(x)\) são polinomiais. O seu domínio é dado por \(D_f=\{x\,:\; q(x)\not=0 \}\). Represente num mesmo desenho, os gráficos sobrepostos de \(\dfrac{1}{x^p},\) para \(p=1,2,3,4.\)

Reparem que, exceptuando os casos das polinomiais e racionais (que só envolvem somas, produtos e quocientes) não sabemos defini-las, nem calculá-las rigorosamente, ainda.

NOTA: Assumiremos conhecidas as principais propriedades destas classes de funções, algumas delas veremos / justificaremos ao longo do semestre. É IMPORTANTE reverem estas classes e relembrarem os seu gráficos.