Aula teórica 10

Limites em \(\overline{\mathbb{R}}\).
Propriedades da convergência em \(\overline{\mathbb{R}}\).
Propriedades algébricas dos limites em \(\overline{\mathbb{R}}\) Indeterminações (início).

Material de estudo:

• [AB] A. Bastos e A. Bravo, Cálculo Diferencial e Integral I. Texto de apoio às aulas, 2010.,  páginas 27-30.
• [CF] J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.
  

A recta acabada \(\overline{\mathbb{R}}.\) Limites infinitos (continuação)

Em aulas anteriores foi definida a noção de limite de uma sucessão. Nesta aula generaliza-se esse conceito a certas sucessões sem limite no sentido dado anteriormente.

Tal como referido no final da aula anterior, o conjunto de possíveis limites passa a incluir \(-\infty\) e \(+\infty\). Relembremos que designamos por recta acabada o conjunto, \[\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}\,.\]

Definição (limites infinitos): Seja \(u_n\) uma sucessão. Diz-se que

• \(\;\lim u_n=+\infty,\;\) ou \(\;u_n\to +\infty\) em \(\overline{\mathbb{R}},\) se dado qualquer \(R\gt 0\), existe um natural \(p\) tal que \[n\gt p\quad\Rightarrow\quad u_n\gt R.\]
• \(\;\lim u_n=-\infty,\;\) ou \(\;u_n\to -\infty\) em \(\overline{\mathbb{R}},\) se dado qualquer \(R\gt 0\), existe um natural \(p\) tal que \[n\gt p\quad\Rightarrow\quad u_n\lt -R.\]

A sucessão \(u_n\) diz-se convergente em \(\overline{\mathbb{R}}\) se é convergente (em \(\mathbb{R},\;\) no sentido dado anteriormente), ou se \(\lim u_n=+\infty,\;\) ou se \(\;\lim u_n=-\infty.\)

Exemplos:

• Provemos que \(\lim (1+2n)=+\infty.\)
  Para isso, vejamos que \[u_n\gt R\quad\Leftrightarrow\quad 1+2n\gt R\quad\Leftrightarrow\quad n\gt\frac{R-1}{2}.\] Logo, para \(R>0\) arbitrário, se \(p\) for um natural maior que \(\frac{R-1}{2}\), então \(n\gt p\Rightarrow u\gt R,\;\) e temos o pretendido.
• Provemos que \(\lim \sqrt[3]{1-n}=-\infty.\)
  Para isso, vejamos que \[u_n\lt -R\quad\Leftrightarrow\quad \sqrt[3]{1-n}\lt -R\quad\Leftrightarrow\quad 1-n\lt -R^3\quad\Leftrightarrow\quad n\gt 1+R^3.\] Logo, para \(R>0\) arbitrário, se \(p\) for um natural maior que \(1+R^3\), então \(n\gt p\Rightarrow u\lt -R,\;\) e temos o pretendido.
Observa-se que formalmente pode-se relacionar a definição dos limites infinitos com a de limites reais vista anteriormente se usarmos a notação de vizinhanças. Para isso definem-se as vizinhanças dos infinitos: \(V_{R}(+\infty)=\left]R,+\infty\right[,\;\) \(V_{R}(-\infty)=\left]-\infty,-R\right[,\;\) Como exercício, veja que usando esta notação a definição dos limites infinitos fica semelhante à de limite real.

Propriedades gerais dos limites em \(\overline{\mathbb{R}}\)

A seguinte propriedade generaliza de uma forma natural o resultado visto na aula passada sobre a relação entre subsucessões e convergência:

Teorema: Uma sucessão \(u_n\) é convergente em \(\overline{\mathbb{R}}\) \(\,\Longleftrightarrow\, u_n\,\) tem um único sublimite em \(\overline{\mathbb{R}}.\)

Tal como na convergência em \(\mathbb{R}\), também para estudar a convergência em \(\overline{\mathbb{R}}\), podemos considerar as subsucessões das ordens pares e das ordens ímpares:

Uma sucessão \(u_n\) é convergente em \(\overline{\mathbb{R}}\) \(\,\Longleftrightarrow\, u_n\,\) sse as sucessões \(u_{2k}\) e \(u_{2k-1}\) são convergentes em \(\overline{\mathbb{R}}\) e têm o mesmo limite.

Exemplos:

1. \(\;u_n=(-n)^n.\)
   Para \(n\) par: subsucessão \(u_n=n^n\to+\infty,\)
   Para \(n\) ímpar: subsucessão \(u_n=-n^n\to-\infty.\)
   Assim, \(u_n\) tem dois sublimites diferentes em \(\overline{\mathbb{R}}\): \(-\infty\) e \(+\infty.\) Logo, é divergente em \(\overline{\mathbb{R}}\).
   
   
2. \(\;u_n=n^{1+(-1)^n}.\)
   Para \(n\) par: subsucessão \(u_n=n^2\to+\infty,\)
   Para \(n\) ímpar: subsucessão \(u_n=n^0=1\to 1.\)
   Assim, \(u_n\) tem dois sublimites diferentes em \(\overline{\mathbb{R}}\): \(0\) e \(1.\) Logo, é divergente em \(\overline{\mathbb{R}}\).
   
   
3. \(\;u_n=2n+(-1)^n.\)
   Para \(n\) par: subsucessão \(u_n=2n+1\to+\infty,\)
   Para \(n\) ímpar: subsucessão \(u_n=2n-1\to+\infty.\)
   Assim, \(u_{2k}\) e \(u_{2k-1}\) têm o mesmo sublimite: \(+\infty\) Logo, \(\lim u_n=+\infty\).
   
   
O resultado seguinte é o correspondente ao teorema das sucessões monótonas e limitadas do estudo da convergência das sucessões em \(\mathbb{R}.\) Repare que não aparece a condição "limitada" porque, na realidade, todas as sucessões são limitadas em \(\overline{\mathbb{R}}\). Esta condição que era precisa para provar a existência de supremo, usando o axioma do supremo, no caso de \(\overline{\mathbb{R}}\) o supremo existe sempre.

Teorema: Qualquer sucessão monótona é convergente em \(\overline{\mathbb{R}}.\)

Em particular, veja que,


• \(\;u_n\) crescente e não majorada \(\quad\Rightarrow\quad \lim u_n=+\infty.\)
• \(\;u_n\) decrescente e não minorada \(\quad\Rightarrow\quad \lim u_n=-\infty.\)
  
  
De facto, suponhamos o primeiro caso. Dado \(R\gt 0\), como \(u_n\) não é majorada, existe um natural \(p\) tal que \(u_p\gt R.\) Mas, como \(u_n\) é crescente, para todo \(n\gt p\) temos \(u_n\geqslant u_p\gt R,\) como pretendido.

Exemplos: As sucessões \(\quad\ln n,\quad n^p,\;p\gt 0,\quad a^n,\; n\gt 1,\quad n!,\quad n^n\quad\) são todas crescentes e não majoradas, logo tendem todas para \(+\infty.\)

Podemos, neste ponto, enunciar todos os casos relativos à progressão geométrica \(c^n:\)

• Se \(|c|\lt 1,\;\) então \(c^n\) é convergente e \(\lim c^n=0.\)
• Se \(c=1\;\) então \(c^n\) é convergente e \(\lim c^n=1.\)
• Se \(c\gt 1\;\) então \(c^n\) é divergente em \(\mathbb{R}\) mas convergente em \(\overline{\mathbb{R}},\;\) com \(\lim c^n=+\infty.\)
• Se \(c\leqslant -1 \;\) então \(u_n\) é divergente em \(\overline{\mathbb{R}},\;\) (logo, também em \(\mathbb{R}\)).
Outro resultado útil, que nos permite tirar conclusões comparando sucessões é o seguinte:

Teorema: Sejam \(u_n,\;v_n\) duas sucessões. Então:



• \(\;\forall n,\, u_n\geqslant v_n\quad\) e \(\quad\lim v_n=+\infty\quad\Rightarrow\quad\lim u_n=+\infty.\)
• \(\;\forall n,\, u_n\leqslant v_n\quad\) e \(\quad\lim v_n=-\infty\quad\Rightarrow\quad\lim u_n=-\infty.\)

Exemplos

• \(u_n=(n+e^{-n+\sqrt{n}})^2.\;\)
  
  Como \(e^{-n+\sqrt{n}}\gt 0; \) temos que \(u_n\gt n^2\). Como \(\lim n^2=+\infty,\) concluimos que \(\lim u_n=+\infty.\)
  
  
• \(u_n=\dfrac{(2n)!}{n!}.\) Notando simplesmente que \(u_n=(n+1)(n+2)\dots(n+n)\gt n\) obtemos \(\lim u_n=+\infty.\)

Propriedades algébricas dos limites em \(\overline{\mathbb{R}}.\;\) Indeterminações.

As propriedas algébricas vistas numa aula anterior para os limites em \(\mathbb{R}\) da soma, diferença, produto e quociente de sucessões mantêm-se válidas em \(\overline{\mathbb{R}}\) se admitirmos as seguintes regras envolvendo limites infinitos:

• \(\;a+(\pm \infty)=\pm\infty,\;\forall a\in\mathbb{R};\)
• \(\;(+\infty)+(+\infty)=+\infty,\quad (-\infty)+(-\infty)=-\infty;\)
• \(\;a\cdot(\pm\infty)=\begin{cases}\pm\infty,&\text{ se }a\gt 0,\\ \mp\infty,& \text { se }a\lt 0;\end{cases}\)
• \(\;(\pm\infty)\cdot(+\infty)=\pm\infty,\quad (\pm\infty)\cdot(-\infty)=\mp\infty;\)
• \(\;\dfrac{a}{\pm\infty}=0,\;\forall a\in\mathbb{R},\quad \dfrac{1}{0^+}=+\infty,\quad \dfrac{1}{0^-}=-\infty.\)

Observação: Os símbolos \(0^-\) e \(0^+\) não representam dois números diferentes: significam apenas que as sucessões associadas a esses símbolos tendem para zero por valores negativos e por valores positivos, respectivamente.

Exemplos

• \(\; \lim \left(\sqrt[3]{1-n}-n^2\right)=(-\infty)+(-\infty)=-\infty.\)
  
  
• \(\lim\left(\dfrac{1}{n}-2\right)\left(n^2+1\right)=-2\cdot(+\infty)=-\infty.\)
  
  
• \(\lim \dfrac{2^{-n}}{n}=\dfrac{0}{+\infty}=0.\)

Estes exemplos inserem-se nos casos enumerados na caixa anterior. Para todos esses casos, o conhecimento de \(\lim u_n\) e \(\lim v_n\) permite-nos imediatamente dizer o que se passa com \(\lim(u_n+v_n),\; \lim u_n\cdot v_n,\;\) e \(\;\lim \frac{u_n}{v_n}.\;\) Estes casos são os denominados por "casos determinados." Agora, reparem que, entre os casos determinados não constam os seguintes: \[\infty-\infty,\quad 0\cdot\infty,\quad \frac{\infty}{\infty},\quad\frac{0}{0}.\] A estes casos, conhecidos por casos indeterminados ou indeterminações não se podem atribuir regras de cálculo como aos outros casos. Perceba o que está em jogo: Por exemplo, quando, entre os casos determinados, se diz que \(a+\infty=+\infty\) está-se apenas a afirmar que, para qualquer sucessão \(u_n\) com limite real \(a\) e para qualquer sucessão \(v_n\) com limite\(+\infty\) tem-se sempre, \(u_n+v_n\to +\infty.\) Quando se diz que \(\infty-\infty\) é uma indeterminação estamos apenas a dizer que sabendo apenas que \(\lim u_n=+\infty\) e \(\lim v_n=-\infty\) nada podemos dizer sobre o limite de \(u_n+v_n,\) nem sequer sobre a sua existência: "tudo pode acontecer". No entanto, se soubermos as sucessões concretas envolvidas a tal "indeterminação" deixa evidentemente de existir.

Vejamos exemplos que mostram que "tudo pode acontecer" com o caso \(\infty-\infty.\;\) Em cada caso, \(\;\lim u_n= +\infty,\;\lim v_n= -\infty:\) \begin{align*} u_n=n^2\,,\qquad v_n=-n\,,\qquad &\lim(u_n+ v_n)=+\infty\,,\\ u_n=n\,,\qquad v_n=-n^2\,,\qquad &\lim(u_n+ v_n)=-\infty\,,\\ u_n=n+a\,,\qquad v_n=-n\,,\qquad &\lim(u_n+ v_n)=a\,,\text { com \(a\) real }\\ u_n=n+(-1)^n\,,\qquad v_n=-n\,,\qquad &\lim(u_n+v_n) \text{ não existe}\,. \end{align*}

Vejamos os seguintes exemplos que correspondem ao caso indeterminado \(0\cdot\infty.\;\) Em cada caso, \(\;\lim u_n=0\;\) e \(\;\lim v_n=+\infty:\;\) \begin{align*} u_n=\frac{1}{n}\,,\qquad v_n=n\,,\qquad &\lim(u_n\cdot v_n)=1\,,\\ u_n=\frac{1}{n^2}\,,\qquad v_n=n\,,\qquad &\lim(u_n\cdot v_n)=0\,,\\ u_n=\frac{1}{n}\,,\qquad v_n=n^2\,,\qquad &\lim(u_n\cdot v_n)=+\infty\,,\\ u_n=\frac{(-1)^n}{n}\,,\qquad v_n=n\,,\qquad &\lim(u_n\cdot v_n) \text{ não existe}\,. \end{align*}

Exercício: dê exemplos que mostrem que realmente "tudo pode acontecer" no caso \(\dfrac{\infty}{\infty}.\)

É claro que o conhecimento das sucessões permite-nos "levantar a indeterminação" como se pode ver pelos seguintes exemplos:


• \(\lim(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}),\;\) (é do tipo \((\infty-\infty)\))
  
  \(\;=\lim\dfrac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{+\infty}=0.\)
• \(\;\lim\dfrac{4^n+3^n}{3^n+2^n},\;\) (é do tipo \(\dfrac{\infty}{\infty}\))
  
  \(\;=\lim\dfrac{1+\left(\dfrac{3}{4}\right)^n}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+\left(\dfrac{2}{4}\right)^n}=\dfrac{1}{+\infty}=0.\)

Na próxima aula veremos como poderemos lidar com várias indeterminações do tipo \(\dfrac{\infty}{\infty},\) nomeadamente as que envolvem tipos de sucessões diferentes no numerador e no denominador, por exemplo, \(\dfrac{2^n}{n!}.\)