Aula teórica 1

A base do Cálculo: Os números reais. As propriedades algébricas dos reais.

Material de estudo:

Introdução

A Matemática e, em particular o Cálculo, é uma disciplina lógico-dedutiva. Isto significa que toda a sua construção se baseia num conjunto de propriedades que estipulamos à partida serem verdadeiras sem necessidade de justificação (os princípios, postulados ou axiomas): são os "alicerces" da teoria.

Todas as outras propriedades do edifício que constitue a teoria são deduzidas a partir destes usando as ferramentas lógicas e a linguagem da teoria dos conjuntos.

Qualquer uma destas novas propriedades, para ser admitida como verdadeira e incorporada na teoria, tem que ser primeiro justificada, ou seja, tem que se mostrar que pode ser obtida dos axiomas e dos resultados já previamente obtidos com base naqueles axiomas. Tal propriedade designa-se por teorema e a referida justificação designa-se por prova ou demonstração do teorema.

Este rigôr na construção da teoria é a razão pela qual a Matemática é uma ferramenta robusta, fiável e indispensável nas ciências aplicadas e na engenharia. Pense-se, por exemplo, nas componentes de modelação matemática de um grande avião de passageiros de longo curso, do cálculo de esforços de uma estrutura de dimensões consideráveis como uma ponte, um arranha-céus ou uma barragem. Em todos estes casos está em causa a segurança de muitas vidas humanas o que comprova a confiança depositada nesta disciplina.

É claro que um engenheiro não tem que se procupar em fazer aquelas deduções teóricas. No entanto, é importante saber que os resultados que usa fazem parte de um edifício em que todos os resultados podem ser obtidos com rigor. Ter uma ideia como o processo de construção da teoria funciona é útil e pedagógico, contribuindo para a formação do raciocínio crítico. Assim, aprendemos que, por vezes, uma propriedade intuitiva que pensamos ser verdadeira pode eventualmente ser falsa à luz dos princípios (axiomas) estabelecidos. Pelo contrário, pode haver resultados notáveis profundamente contraintuitivos que resultam daqueles axiomas. Se consideramos razoáveis os axiomas teremos que admitir as suas consequências sejam elas quais forem.

A principal matéria prima do Cálculo são os números. Por isso, não é de espantar que os axiomas do Cálculo são os que estabelecem as propriedades dos números reais. O seu número é reduzido: 8. É então notável que todo o Cálculo seja uma consequência apenas desses 8 axiomas! Ainda por cima porque esses axiomas estipulam propriedades elementares (com exceção do oitavo) que todos conhecem... Esta propriedades básicas que definem completamente os números reais dividem-se em 3 tipos:

As propriedades algébricas dos números reais: os axiomas de corpo.

Considere-se um conjunto \(\mathbb{R}\), cujos elementos se designam por números reais, no qual estão definidas duas operações binárias: Estas satisfazem:

Axioma 1 (comutatividade): \(\quad x+y=y+x\quad\) e \(\quad xy=yx,\quad\) para quaisquer \(x,y\in \mathbb{R}\).

Axioma 2 (associatividade): \(\quad (x+y)+z=x+(y+z)\quad\) e \(\quad (xy)z=x(yz),\quad\) para quaisquer \(x,y,z\in\mathbb{R}\).

Axioma 3 (distributividade): \(\quad x(y+z)=xy+xz,\quad\) para quaisquer \(x,y,z\in\mathbb{R}.\)

Axioma 4 (elementos neutros): Existem dois reais diferentes, \(0\) e \(1\), tais que, \(\quad x+0=x1=x,\quad\) para qualquer \(x\in\mathbb{R}\).

Axioma 5 (simétrico e inverso): Dado um real \(x\), existe \(x'\) tal que \(x+x'=0.\quad\) Se \(x\not= 0\) então existe \(x''\) tal que \(xx''=1.\)

Qualquer conjunto com duas operações que satisfaçam estas propriedades diz-se um Corpo Algébrico. Todas as outras propriedades das operações de adição, multiplicação, subtração e divisão seguem destas e são teoremas. Um exemplo importante é o resultado seguinte bem vosso conhecido:

Teorema: (lei do corte): Dados \(x,y,a\),

A título de exemplo, vejamos como se provaria a primeira das implicações:
Seja \(a'\) tal que, de acordo com o Axioma 5, \(a+a'=0\). Usando os Axiomas 2 e 4, \[\begin{aligned}x+a=y+a&\;\Rightarrow\; (x+a)+a'=(y+a)+a'\\&\;\Rightarrow\; x+(a+a')=y+(a+a')\\&\;\Rightarrow\; x+0=y+0\\&\;\Rightarrow\; x=y.\end{aligned}\]

Este é um perfeito exemplo de como, partindo do que se supõe ser verdadeiro à partida (hipótese) se chega à conclusão que queremos provar (tese), usando diretamente os axiomas ou outros resultados já previamente provados.

Agora reparem que em lado nenhum foi ainda afirmado que só existe um elemento neutro quer para a adição quer para a multiplicação. O mesmo se pode dizer da unicidade dos elementos simétrico e inverso dado um real (diferente de \(0\) para o inverso). Vemos, no entanto, que estas propriedades decorrem dos axiomas e datalist lei do corte já estabelecido:

Unicidade dos elementos neutros:
Seja \(u\) um elemento neutro da adição. Então, \(x+u=x+0=x\). Da lei do corte, resulta \(u=0.\) Logo, \(0\) é o único elemento neutro da adição. Para o elemento neutro da multiplicação é idêntico e recomenda-se que o façam como exercício.

Unicidade dos elementos simétrico e inverso:
Seja \(x\) um real. Chamemos de \(-x\) a um seu simétrico. Suponhamos que \(x'\) é um simétrico qualquer de \(x\). Então, \(x+(-x)=x+x'=0\). Novamente da lei do corte, resulta \(x'=-x.\) Logo, \(-x\) é o único simétrico de \(x\). Para o inverso é idêntico e recomenda-se que o façam como exercício.

Depois de garantida a unicidade do elemento simétrico de \(x\), o qual se designa por \(-x\), e do elemento inverso de \(x\) (se \(x\not=0\)), o qual se designa por \(x^{-1}\), podemos definir as operações

Uma propriedade elementar que requer demonstração, uma vez que não faz parte dos axiomas, mas que resulta directamente destes:

Elemento absorvente da multiplicação: \(x\cdot 0=0.\)
De facto, como \(x\cdot 0=x\cdot (0+0)=x\cdot 0+x\cdot 0\), pela definição de elemento neutro e propriedade distributiva, resulta, \(x\cdot 0+0=x\cdot 0+x\cdot 0\) e, então, pela lei do corte, \(x\cdot 0=0.\)

As seguintes propriedades são cruciais para a manipulação algébrica dos reais e também têm que ser demonstradas mas não o faremos aqui:

Anulamento do produto: \(x\cdot y=0 \;\Leftrightarrow x=0\, \) ou \(y=0.\)

Regras de sinais: \[-(-x)=x\;,\quad -(x+y)=-x-y\;,\quad \left(x^{-1}\right)^{-1}=x\;,\quad (xy )^{-1}=x^{-1}y^{-1}\,,\] \[-(xy)=(-x)y=x(-y)\;,\quad (-x)(-y)=xy\;,\quad (-x)^{-1}=-x^{-1}\,.\]

Operações com fracções: \[\frac{x}{y}\pm\frac{z}{w}=\frac{xw\pm zy}{yw}\;,\quad \dfrac{x}{y}\dfrac{z}{w}=\frac{xz}{yw}\,,\quad \dfrac{\dfrac{x}{y}}{\dfrac{z}{w}}=\frac{x w}{yz}\,.\]

Casos notáveis: \((x-y)(x+y)=x^2-y^2\;,\quad (x\pm y)^2=x^2\pm 2xy+y^2\,.\)

Terminamos esta aula observando que estas propriedades não são exclusivas dos reais, isto é, existem outros conjuntos onde se definem prpriedades de adição e multiplicação com as mesmas propriedades enunciadas nos axiomas de corpo, mas têm propriedades muito diferentes de \(\mathbb{R}\). Voltaremos a este ponto mais tarde.