Além dos exercícicios dos textos base utilizar-se-á o livro Exercícios de Análise Matemática I e II, ed. IST press. Parte destes exercícios serão objecto de estudo nas aulas práticas.

1. 28 Fev - Apresentação.  Cap.  I. Cálculo Integral em R. Primitivação: conceito de primitiva, propriedades gerais e exemplos.
2. 2 Mar - Propriedades gerais das primitivas (cont.). Exemplos de primitivação imediata.
3. 4 Mar - Primitivação por partes. Primitivação por substituição de variável (início).
4. 7 Mar - Primitivação por substituição de variável e primitivação de fracções racionais.
5. 9 Mar - Conclusão da aula anterior.
6. 11 Mar - Início do estudo do integral de funções limitadas em intervalos limitados. Motivação. Definição e propriedades de somas inferiores e superiores. Integrais inferior e superior.
   
7. 14 Mar - Definição do integral. Dois critérios necessários e suficientes  de integrabilidade. Exemplos. A integrabilidade das funções monótonas e das funções contínuas.
   
8. 16 Mar - Propriedades gerais do integral.
   
9. 18 Mar - Propriedades gerais do integral. Continuação.
10. 21 Mar - Conclusão do estudo das propriedades gerais do integral. Integrabilidade de funções contínuas excepto num conjunto finito de pontos. Teorema da média.
11. 30 Mar - O integral indefinido. O Teorema Fundamental do Cálculo.
12. 1 Abr - Continuação da aula anterior. A regra de Barrow. Exemplos.
    
13. 4 Abr - Regras de integração por partes e por substituição de variável.
14. 6 Abr - Aplicação do Cálculo Integral ao cálculo de àreas e de comprimentos de gráficos de funções.
15. 8 Abr - Definição alternativa do integral. Somas de Riemann. Considerações sobre a equivalência desta definição com a definição dada com base em somas superiores e inferiores (somas de Darboux). Cap. II. Análise  em Rⁿ.  Estrutura algébrica do Rⁿ.
16. 11 Abr - Sucessões em Rⁿ: definição de convergência, exemplos, equivalência entre a convergência de uma sucessão em Rⁿ e a convergência das sucessões coodenadas. Consequências: propriedades dos limites em Rⁿ.
17. 13 Abr - Sucessões em Rⁿ (conclusão): sucessões limitadas e o teorema de Bolzano-Weierstrass. Noções topológicas em Rⁿ:  interior, exterior, fronteira e aderência de um conjunto. Conjuntos abertos e conjuntos fechados.
18. 15 Abr - Noções topológicas em Rⁿ(continuação): caracterização de ponto aderente, conjunto fechado e conjunto compacto através de sucessões. Funções de Rⁿ em R^m. Definição e motivação (exemplos). Campos vectoriais e campos escalares.
    
19. 18 Abr - Funções de Rⁿ em R^m (continuação). Funções coordenadas. Gráficos. Alguns exemplos.
20. 20 Abr - Continuidade de funções de Rⁿ em  R^m . Definição e exemplos. Continuidade sequencial. Equivalência entre os dois conceitos de continuidade.
21. 22 Abr - Consequências da equivalência entre continuidade e continuidade sequencial: continuidade da soma e da função produto escalar de funções contínuas de Rⁿ em  R^m  e do produto e quociente de uma função contínua de  de Rⁿ em  R^m  por uma função escalar contínua em   Rⁿ. Continuidade da função composta de duas funções contínuas.
22. 27 Abr -  Limites de funções em  Rⁿ num ponto da aderência do domínio. Relação com continuidade ou com a existência de prolongamento por continuidade ao ponto. Propriedades dos limites como consequência desta relação e das propriedades da continuidade. Limite da função composta. Início do estudo de limites relativos a subconjuntos do domínio.
23. 29 Abr - Continuação do estudo de limites relativos a subconjuntos do domínio. Exemplos de estudo de limites num ponto com o auxílio de limites relativos.
    
24. 2 Mai - Teoremas globais  da continuidade.  Continuidade e compacidade. O teorema de Weierstrass.  Continuidade e conexidade. Conjuntos conexos.
25. 4 Mai -  Continuidade e conexidade (conclusão): o teorema do valor intermédio. Conjuntos conexos por arcos e sua relação com conjuntos conexos.
26. 6 Mai - Início do estudo do Cálculo Diferencial em Rⁿ .  Derivadas parciais e derivadas segundo vectores.
27. 9 Mai - Preparação da definição do conceito de derivada em   Rⁿ : a fórmula de Taylor de 1a. ordem para funções reais definidas num intervalo em  R. Interpretação geométrica.
28. 11 Mai - Diferenciabilidade de funções definidas em subconjuntos de Rⁿ . Interpretação geométrica no caso de funções escalares com domínio em R² . Plano tangente. A derivada como aplicação linear. Matriz jacobiana.
    
29. 13 Mai - Continuação da aula anterior. A derivada da soma, produto e quociente de funções escalares. Diferenciabilidade de funções vectoriais. Equivalência com a diferenciabilidade das funções coordenadas.
30. 16 Mai - Continuação da aula anterior. Exemplos. A existência de derivada não implica diferenciabilidade.
31. 18 Mai - Teorema da derivada da função composta. Regra da cadeia. Exemplos.
32. 20 Mai - Vector gradiante. Mais exemplos da derivada da função composta. Continuidade das derivadas parciais e diferenciabilidade.
33. 23 Mai - Resultados globais da diferenciabilidade: teorema do valor médio (teorema de Lagrange) para funções escalares em Rⁿ . Início do estudo da fórmula de Taylor de ordem superior para funções reais de variável real.
    
34. 25 Mai - Fórmula de Taylor de ordem superior. Fórmula do resto de Lagrange. Exemplos.
35. 27 Mai - Conclusão do estudo da fórmula de Taylor de ordem superior para funções reais de variável real: concavidades e extremos.
36. 30 Mai - Cálculo diferencial em Rⁿ  de ordem superior. Derivadas parciais de ordem superior e teorema de Schwarz.  Derivadas de 2ª. ordem segundo vectores. Matriz hessiana.
37. 1 Jun - A segunda derivada como uma aplicação bilinear. Dedução da fórmula de Taylor de 2ª ordem para funções escalares de classe  C².
38. 3 Jun - Aplicação da fórmula de Taylor ao estudo de pontos de estacionaridade de funções de classe C².
39. 6 Jun - Série de Taylor de funções reais de variável real.
40. 8 Jun - Aula prática sobre séries de Taylor.
    
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Fim das aulas.

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Last Update: 20 de Julho de 2005