Análise Matemática I
1º. semestre 2005-6
Eng. Electrotécnica e de Computadores (LEEC)

Professor Responsável: João Teixeira Pinto


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Avisos
 Programa, bibliografia e avaliação
 Horários e corpo docente
 Textos e exercícios
 Sumários
 Práticas
 Testes e exames
 Elementos auxiliares de estudo
 Arquivo de fichas, testes e exames


Avisos (Nesta secção serão divulgadas informações relevantes para a disciplina. É muito importante consultá-la regularmente!)

  • Programa, bibliografia e avaliação (pdf).

  • Horários e corpo docente (teóricas, práticas e de dúvidas)
    •

  • Textos e exercícios

    • [1] Introdução à Análise Matemática, Jaime Campos Ferreira, Fundação Calouste Gulbenkian.
    [2] Elementos de Lógica Matemática e Teoria de Conjuntos, Jaime Campos Ferreira (para fazer download destas notas em formato .pdf, clique aqui) ).
    [3] Exercícios de Análise Matemática I e II, Departamento de Matemática do IST, IST Press.

     O livro [1] será seguido como texto base do curso.

    A familiaridade dos alunos com alguns fundamentos de lógica e teoria dos conjuntos é um dos requisitos deste curso. Como este tópico não pode ser considerado coberto pelos actuais programas do ensino secundário, ele será abordado abreviadamente nas primeiras aulas. Sugere-se como referência o texto [2].

    Um curso como este pressupõe um trabalho contínuo de compreensão da matéria leccionada nas aulas teóricas e que tem como suporte formal o texto base. Além disso, a aprendizagem de Matemática passa pela resolução de exercícios não necessariamente triviais ou repetitivos. Para esse fim, em [3] é disponibilizada uma colectânea de exercícios (muitos deles com as respectivas resoluções) retirados de exames efectuados no IST.

  • Sumários das aulas teóricas (os números a vermelho referem-se aos textos mencionados no ponto anterior)
    1. 26 Set. Apresentação. Considerações gerais sobe a disciplina.
    2. 28 Set. Elementos de lógica e teoria de conjuntos ([2], pags. 5-21). Designações e proposições. Operações lógicas.
    3. 30 Set. Continuação da aula anterior. Expressões com variáveis. Quantificadores.
    4. 3 Out. Alguns elementos da teoria de conjuntos.
    5. 7 Out. Cap. I. Axiomática dos números reais. Os axiomas de corpo (axiomas 1-10). Algumas consequências: propriedades algébricas dos números reais como consequência dos axiomas de corpo ( [1], pags. 17-23).
    6. 10 Out. Os axiomas de ordem (axiomas 11, 12). Consequências: propriedades tricotómica, transitividade e compatibilidade da relação de ordem < com as operações de adição e multiplicação ( [1], pags. 23-27).
    7. 12 Out.  Continuação da aula anterior. Majorantes, minorantes, máximo, mínimo, supremo e ínfimo de conjuntos de números reais: definições, exemplos e propriedades importantes ( [1], pags. 31-36). 
    8. 14 Out. Enunciado do axioma do supremo (axioma 13). Definição do conjunto dos números naturais N. O príncipio de indução matemática ( [1], pags. 27-30).  
    9. 17 Out. Os conjuntos Z e Q. Consequências do axioma do supremo: a não majoração do N, a propriedade arquimediana, a existência de números irracionais e a possibilidade da radiciação dos positivos,  a densidade de Q e de R\Q em R ([1], pags. 36-41, enunciado do teor. 16, pag. 47, e teor. 18, pag.49).  
    10. 19 Out. Cap. II. Sucessões reais. Revisão do conceito de função e do conceito de sucessão. Ordens e termos de uma sucessão. Distinção entre sucessão e conjunto dos termos da sucessão. Gráfico de uma sucessão. Definição de convergência. ([1], pags. 81-87. Ler também I.2.1. de [1], pags. 59-66).
    11. 21 Out.  Exemplos de aplicação da definição de convergência. Limites. Unicidade do limite. Relação entre sucessões limitadas e sucessões convergentes ([1], pags. 91-95).
    12. 24 Out. Operações algébricas com sucessões convergentes. O limite e a relação de ordem. O teorema das sucessões enquadradas. Aplicação à sucessão c^n ([1], pags. 96-101).
    13. 26 Out. O teorema da convergência das sucessões simultaneamente monótonas e limitadas. O conceito de subsucessão ([1], pags. da aula anterior + pags. 104-106 + pags. 87-90.
    14. 28 Out.  Subsucessões de sucessões convergentes. Teorema de Bolzano-Weierstrass. O conjunto dos sublimites de uma sucessão ([1], pags. 90-91 + pag. 95, teorema 4 + pag. 115 + pag. 120, teorema 19).
    15. 31 Nov. Sucessões de Cauchy e equivalência entre  uma sucessão ser de Cauchy e ser convergente  A recta acabada. Limites na recta acabada ([1], pags. 122-123, e pags. 124-129).
    16. 2 Nov.  Limites na recta acabada (continuação). Conceito de indeterminação. Alguns exemplos ([1], pags. 129-132 e pags. 135-143 e pags. 152-158).
    17. 4 Nov. Conclusão da aula anterior. Cap. III. Séries. Noção de série. Somas parciais e noção de convergência de séries. Exemplos: séries geométricas e séries de Mengoli (pags.: v. aula anterior e [1], pags. 159-170, excluindo os teoremas 1, 3 e 4).     
    18. 7 Nov. Teoremas gerais sobre séries ([1], o que na aula anterior ficou excluido das pags. 159-170 + pags. 171-174).
    19. 9 Nov. Séries de termos não negativos. Os critérios de comparação ([1], pags. 174-179. Obs.: atenda apenas aos critérios que foram dados na aula teórica).
    20. 11 Nov. Séries de termos não negativos (conclusão). Os critérios de Cauchy e de d'Alembert ([1], pags. 180-186 Obs.: a mesma da aula anterior).
    21. 14 Nov.  Conclusão da aula anterior. Critério de Leibnitz para séries alternadas. Séries absolutamente convergentes e séries simplesmente convergentes. Critério da convergência absoluta. (v. aula anterior e [1], pags. 195-198 e pag. 200-202).
    22. 16 Nov. As propriedades comutativa e associativa das séries absolutamente convergentes. Reordenações e reagrupamentos de séries. O teorema de Riemann ([1], pags. 204-213 - ver exemplos e enunciados). Séries de potências (início). Exemplos.
    23. 18 Nov. Séries de potências (continuação da aula anterior). Raio de convergência. Exemplos. ([1], pags. 216-221).
    24. 21 Nov. Estudo da exponencial. Funções trigonométricas.
    25. 23 Nov. Continuação da aula anterior. Revisão de conceitos gerais sobre funções. Funções injectivas, sobrejectivas e função inversa. A função logaritmo.
    26. 25 Nov.  Cap. IV. Continuidade. Noção de continuidade de uma função num ponto. Definição e exemplos. Noção de continuidade à Heine e equivalência com a definição dada ([1], pags. 270-277).
    27. 28 Nov. Exemplos de aplicação da continuidade à Heine.  A continuidade da soma, produto e quociente de funções contínuas.  A continuidade de funções dadas por somas de séries de potências. Aplicação ao estudo da continuidade de algumas funções importantes A continuidade da função composta de duas funções contínuas ([1], pags. 278-283).
    28. 30 Nov. Introdução ao conceito de limite de uma função num ponto. Noção de ponto aderente e de aderência de um conjunto. Definição de limite. Relação com continuidade. Prolongamento por continuidade de uma função a um ponto. Exemplos de aplicação  ([1], pags. 283-297).
    29. 2 Dez. Continuação da aula anterior. Propriedades dos limites. Limite da função composta ([1], v. aula anterior).
    30. 5 Dez. Limites relativos a conjuntos. Casos particulares: limite excluindo o ponto e limites laterais. Relações com a continuidade e prolongamento por continuidade. Limites na recta acabada. ([1], pags. 299-303 e 309-314).
    31. 7 Dez.  Resultados globais sobre a continuidade de funções contínuas em intervalos: o teorema do valor intermédio, a continuidade da função inversa com aplicação ao logaritmo e trigonométricas inversas e o teorema de Weierstrass. ([1], teorema 15 da pag. 303 e pags. 314-320).
    32. 9 Dez. Conclusão da aula anterior (turma das 11:00). Cap. V. Diferenciabilidade. Definição de derivada e derivadas laterais. Derivabilidade e diferenciabilidade. Relação entre diferenciabilidade e continuidade. ([1], pags. 347-360).
    33. 12 Dez. Diferenciabilidade da soma, diferença, produto e quociente de funções diferenciáveis. O teorema da derivação da função  inversa. Diferenciabilidade do logaritmo e das funções inversas trigonométicas. ([1], v. aula anterior e 360-369).
    34. 14 Dez. O teorema da derivação da função composta. Exemplos. Extremos relativos e diferenciabilidade. ([1], v. aula anterior e 360-369 e pags. 373-375)
    35. 16 Dez. Teoremas fundamentais do Cálculo Diferencial: os teoremas de Rolle e de Lagrange e respectivos corolários. ([1], pags. 375-377 e pags. 380-383 sem o corolário 4).
    36. 19 Dez. Teoremas fundamentais do Cálculo Diferencial: o teoremas de Cauchy e aplicação: a regra de Cauchy para o levantamento de indeterminações. Levantamento de indeterminações de vários tipos. Exemplos. Funções de classe  Cn([1], pags. 385(teor.10)-396(noção de função de classe Cn))
    37. 21 Dez. Referência à notação de Leibnitz. Revisões: resolução de exercícios.
    Fim das aulas teóricas

  • Aulas Práticas

    • Lista de exercícios para as aulas práticas: ficheiro em formato .pdf.

  • Testes e Exames

    • 1º Teste: 12 de Novembro de 2005, 9:00.  Enunciado,      Enunciado com resolução,  Pauta,

    2º Teste/1º Exame:     9 de Janeiro de 2006, 9:00.     Enunciado,  Enunciado com resolução,  Pauta,

    2º Exame: 23 de Janeiro de 2006, 9:00. Enunciado, Enunciado com resolução, Pauta

  • Elementos auxiliares de estudo

    • Páginas de outros professores de Análise Matemática I (procure aqui)

    Alguns arquivos de fichas e provas de Análise Matemática I

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    Last Update:  6 de Fevereiro de 2006