Análise Matemática I
1º. semestre 2004-5
Eng. Informática e de Computadores (campus da Alameda)

Professor Responsável: João Teixeira Pinto

Avisos (Nesta secção serão divulgadas informações relevantes para a disciplina. É muito importante consultá-la regularmente!).


Esta página não sofrerá mais alterações passando, a partir de agora, ao estatuto de arquivo.


3 Fev - Já pode consultar a Pauta Final. Esta pauta é a definitiva.

3 Fev- Resultados das revisões de provas. A pauta da 2a. data já está actualizada com os resultados das revisões de provas. Faltam ainda as notas das orais que serão publicadas depois de realizada a última.

30 Jan - Já pode consultar a Pauta da 2ª data. Alunos marcados com "Oral" deverão contactar-me, de preferência, durante a revisão de provas. Relembra-se a estes alunos que a não efectuação  da oral implica a descida da nota para 17 (ver  regras de avaliação).

26 Jan - As pautas contendo as classificações do 2º exame sairão aqui até ao próximo sábado. Para já fica marcada  a revisão de provas para segunda-feira, dia 31/1, às 17:30 na sala QA02.1 (torre sul). Os alunos dos turnos práticos 3, 4 e 5 que tiverem fichas práticas a receber podem contactar-me na segunda-feira, dia 31/1, às 11:30 na sala 9.02 (sala de dúvidas do Pav. de Pós-Graduação).

18 Jan - Para obter os resultados da revisão de provas clique aqui. A pauta da 1ª data já se encontra actualizada com  as novas classificações.

17 Jan - A pauta da 1ª data já se encontra actualizada com as notas das práticas e com a nota final calculada de acordo com as regras de avaliação. Os alunos marcados com "Oral" deverão contactar-me durante esta semana.

16 Jan - Publica-se em baixo uma versão provisória da pauta dos testes/1º exame a ser completada nos próximos dias com as notas das práticas.

14 Jan(c) - Contrariamente ao previsto inicialmente, as notas do 2º teste/1º exame só sairão amanhã. Fica desde já marcada a revisão de provas para segunda feira, dia 17, às 18:00, na sala PA2.

14 Jan(b) - As folhas de inscrição para o segundo exame já estão disponíveis no local do costume (ver aviso de dia 8 de Nov). É importante que só se inscrevam os alunos que querem efectivamente realizar o segundo exame. Caso se tenha inscrito e mude de ideias, anule a sua inscrição até quarta-feira às 10 horas.

14 Jan(a) - Veja abaixo a resolução do 2º teste/1º exame.

2 Jan - As resoluções dos exercícios 2.d) e 2.e) da ficha 3 tinham erros que já foram corrigidos.

23 Dez - Todas as fichas já estão actualizadas com as respectivas resoluções. Relembra-se que as folhas de inscrição no 2º teste/1º exame estarão retiradas até ao dia 3 de Janeiro. Até ao dia 2 de Janeiro esta página não sofrerá alterações.
Bom Natal e feliz Ano Novo!

17 Dez - Alguns avisos importantes:
- Inscrições para o 1ºexame/2ºteste: Já estâo disponíveis as folhas de inscrições no mesmo local onde estavam as folhas de inscrições do 1º teste (ver aviso de dia 8 de Nov.). Relembra-se a obrigatoriedade da inscrição atempada para quem quiser realizar a prova. Desta vez, e excepcionalmente, devido ao pouco tempo decorrente entre o fim das férias e o exame, as folhas de inscrição serão apenas retiradas definitivamente na manhã do dia anterior à prova. Serão também retiradas no dia 22 de Dezembro e repostas dia 3 de Janeiro de manhã.
- Horários de dúvidas: recomeçam depois das férias do Natal (3 Jan.) e decorrem no horário habitual até à data do 2º exame.
- Avisos e alterações à página durante o período de férias e de exames: irão ser feitas actualizações à página quer para comunicar informações relevantes para a disciplina, quer para completar alguns materiais de interesse para os alunos.  Desta forma, aconselha-se a sua consulta frequente durante este período.
                           
13 Dez - Mudança de horário da aula prática do turno 10104 (3a.-feira, 11:00, sala V123): A aula prática desta turma será, esta semana, na 6a.-feira, dia 17, das 14:00 às 16:00 na sala V107.

13 Dez - Aulas teóricas suplementares para esta semana - Turma das 8:00: 4a.-feira, (hora e sala da teórica de Teoria da Computação); Turma das 9:00: 6a.-feira, (hora e sala da teórica de Teoria da Computação).

13 Dez - A revisão de provas realiza-se hoje, segunda-feira, às 17:30, na sala QA 02.4 (Torre Sul/Química), e não na sala que tinha sido hipoteticamente adiantada a alguns alunos.

9 Dez - Havia umas gralhas na parte VII (funções exponencial, trigonométricas...) da lista de exercícios das práticas os quais já foram corrigidos. Uma das alíneas foi retirada.

8 Dez - Já pode consultar a pauta do primeiro teste. A revisão de provas fica marcada para segunda-feira, dia 13, às 17:30 em sala aqui a designar até ao fim desta semana.

2 Dez - A resolução  do primeiro teste já está disponível.

29 Nov - As aulas prática de substituição combinadas com os alunos do turno de quarta-feira estão marcadas para:
            - sexta-feira, 3/12, às 14 horas na sala F8;
            - sexta-feira, 10/12, às 14 horas na sala F8.

26 Nov - Embora isso tenha sido deixado claro na aula de apresentação, relembra-se que 8 é a nota mínima para cada um dos dois testes (ver nota (1)).

8 Nov - Relembra-se que quem quizer fazer o 1º teste tem obrigatoriamente que se inscrever até 48 horas antes do início da prova. Para isso têm que pôr uma rubrica no caderno de folhas de inscrição postas à saída do elevador no piso 2 do edifício de Pós-Graduação.

5 Nov - Atenção: Havia um erro no enunciado da 2ª ficha, problema 4.: na forma em que estava, a sugestão era falsa porque nada nos permitia dizer que 1<u1<2. Veja a nova versão corrigida. Já sairam os exercícios para as aulas práticas das próximas duas semanas. A 3ª ficha sairá durante o fim de semana.

1 Nov - As turmas práticas de 2ª e 3ª-feiras entregam  as fichas  resolvidas  na  aula prática da próxima semana.

27 Out - Confirmam-se as duas aulas de compensação para amanhã: a turma das  8 horas tem  aula  às 14 horas na sala EA2, e a turma das 9 horas tem aula às 15 horas na sala FA1.

27 Out - Havia outro erro na correcção da 1ª ficha: a solução do problema 3.b) estava feita para uma versão prévia do enunciado (função com domínio Z) e não para a função que saiu no enunciado definitivo (função com domínio N). Neste momento a versão disponível já é a correcta. Mais uma vez se agradece aos alunos que comunicaram este erro.

23 Out - Atenção: a primeira versão das soluções da 1ª ficha tinha um erro na solução da 4.a) a qual depois de ter sido detectada por alguns alunos, aos quais se agradece, foi prontamente corrigida. De facto, agradeço que sempre que encontrarem um erro nos materiais que são postos http://www.math.ist.utl.pt/%7Ejpinto/ami2004/Avaliacao.pdfna página me comuniquem.

23 Out - Os enunciados das fichas passarão a incluir, na semana a seguir à da entrega, as soluções e algumas das resoluções. Já pode ver as da 1ª ficha.

6 Out - Atenção às alterações das datas de entrega das fichas e à actualização dos ficheiros sobre a avaliação e sobre o corpo docente e horários de dúvidas.

23 Set - A aulas teóricas tiveram início na quarta-feira, dia 22 de Setembro. As aulas práticas terão início na segunda-feira, dia 27 de Setembro.

23 Set - Alguns pontos desta página ainda se encontram em fase de actualização (avaliação, horário de dúvidas). Os respectivos documentos definitivos serão disponibilizados durante as duas primeiras semanas.


  • Programa, bibliografia e avaliação (pdf).

  • Corpo docente e horário de dúvidas (html).
    •

  • Textos e exercícios

    • [1] Introdução à Análise Matemática, Jaime Campos Ferreira, Fundação Calouste Gulbenkian.
    [2] Elementos de Lógica Matemática e Teoria de Conjuntos, Jaime Campos Ferreira (para fazer download destas notas em formato .pdf, clique aqui) ).
    [3] Exercícios de Análise Matemática I e II, Departamento de Matemática do IST, IST Press.

     O livro [1] será seguido como texto base do curso.

    A familiaridade dos alunos com alguns fundamentos de lógica e teoria dos conjuntos é um dos requisitos deste curso. Como infelizmente este tópico não pode ser considerado coberto pelos actuais programas do ensino secundário, ele será abordado abreviadamente nas primeiras aulas. Sugere-se como referência o texto [2].

    Um curso como este pressupõe um trabalho contínuo de compreensão da matéria leccionada nas aulas teóricas e que tem como suporte formal o texto base. Além disso, a aprendizagem de Matemática passa pela resolução de exercícios não necessariamente triviais ou repetitivos. Para esse fim, em [3] é disponibilizada uma colectânea de exercícios (muitos deles com as respectivas resoluções) retirados de exames efectuados no IST. Uma parte importante dos exercícios das aulas práticas será retirada desta referência.


  • Sumários das aulas teóricas

    1. 22 Set. Apresentação. Elementos de lógica e teoria de conjuntos ([2], pags. 5-21). Designações e proposições. Operações lógicas.
    2. 24 Set. Continuação da aula anterior.
    3. 27 Set. Continuação das aulas anteriores. Expressões com variáveis. Quantificadores. Alguns elementos da teoria de conjuntos.
    4. 29 Set. Pares ordenados, produto cartesiano, relações e funções ( [2], pags. 21-30).
    5. 1 Out.  Cap. I. Axiomática dos números reais. Os axiomas de corpo (axs. 1-9). Algumas consequências: propriedades algébricas dos números reais como consequência dos axiomas de corpo ( [1], pags. 17-23).
    6. 6 Out. Os axiomas de ordem (axs. 10, 11). Consequências: propriedades tricotómica, transitividade e compatibilidade da relação de ordem < com as operações de adição e multiplicação ( [1], pags. 23-27).
    7. 8 Out. Definição do conjunto dos números naturais. O príncipio de indução matemática ( [1], pags. 27-30).
    8. 11 Out. Os conjuntos dos números inteiros e dos números racionais. Majorantes, minorantes, máximo, mínimo, supremo e ínfimo de conjuntos de números reais: definições, exemplos e propriedades importantes ( [1], pags. 31-36). O axioma do supremo (turma  das  8:00).
    9. 13 Out. O axioma do supremo e suas consequências. A não majoração do N, a propriedade arquimediana, a existência de números irracionais e a possibilidade da radiciação dos positivos.  A densidade de Q e de R\Q em R ([1], pags. 36-41, enunciado do teor. 16, pag. 47, e teor. 18, pag.49).
    10. 15 Out. Conclusão da aula anterior. Numerabilidade de Q e não numerabilidade de R\Q (recomenda-se a leitura facultativa de [1], pags. 50-56).  Cap. II. Sucessões reais. Conceito de sucessão. Distinção entre sucessão e conjunto dos termos da sucessão. Gráfico de uma sucessão. Definição de convergência (turma das 8:00)([1], pags. 81-87. Ler também I.2.1. de [1], pags. 59-66).
    11. 18 Out. Convergência de sucessões: definição, exemplos, unicidade do limite.  Sucessões limitadas: definição, exemplos e relação com sucessões convergentes ([1], pags. 91-95).
    12. 20 Out. Operações algébricas com sucessões convergentes. O limite e a relação de ordem. O teorema das sucessões enquadradas. ([1], pags. 96-101. Obs.: o teorema 6 da pag.97 não foi dado mas o importante corolário da pag. 98 para o caso em que a desigualdade ocorre para todas as ordens, resulta do teorema dado na aula por aplicação desse teorema a xn-yn≥0).
    13. 22 Out. Aplicações do teorema das sucessões enquadradas. O teorema da convergência das sucessões simultaneamente monótonas e limitadas. O conceito de subsucessão ([1], pags. da aula anterior, pags. 104-106 e pags. 87-90. Obs.: os importantes exemplos das pags. 106-110 serão abordados noutra aula).
    14. 25 Out. Subsucessões de sucessões convergentes. Teorema de Bolzano-Weierstrass. O conjunto dos sublimites de uma sucessão. ([1], pags. 90-91, pag. 95 - teorema 4, pag. 115, pag. 120 - teorema 19. A igualdade dos limites superior e inferior é equivalente ao conjunto dos sublimites ser singular)
    15. 27 Out. Resultados sobre sublimites: continuação da aula anterior. Sucessões de Cauchy e equivalência entre  uma sucessão ser de Cauchy e ser convergente  ([1], v. aula anterior e pags. 120 a 1º parágrafo de 123).
    16. 28 Out. (aula de compensação) Aplicações importantes do teorema das sucessões de Cauchy. A recta acabada. Limites na recta acabada ([1], pags. 122-123, e pags. 124-129).
    17. 29 Out. Limites na recta acabada (continuação). Indeterminações ([1], pags. 129-132 e pags. 135-143 e pags. 152-158).
    18. 3 Nov. Conclusão da aula anterior. Cap. III. Séries. Noção de série. Somas parciais e convergência de séries. Exemplos: séries geométricas e séries de Mengoli (v. aula anterior e [1], pags. 159-174).
    19. 5 Nov. Resultados gerais sobre séries (v. aula anterior).
    20. 8 Nov. Séries de termos não negativos. Critérios de comparação, de d'Alembert e de Cauchy. Alguns exemplos.([1], pags. 174-186. Não foram dados todos os critérios que constam destas páginas).
    21. 10 Nov. Conclusão da aula anterior. Critério de Leibnitz para séries alternadas. Séries absolutamente convergentes e séries simplesmente convergentes. Critério da convergência absoluta. (v. aula anterior e [1], pags. 195-198 e pag. 200-202).
    22. 12 Nov. Séries de potências. Raio de convergência. Exemplos. ([1], pags. 216-221).
    23. 15 Nov. Comutatividade das séries absolutamente convergentes e o teorema de Riemann. Associatividade, reagrupamentos de termos e somas por blocos. Produtos de séries absolutamente convergentes ([1], pags. 204-213).
    24. 17 Nov. Estudo da função exponencial. O logaritmo. ([1], pags. 241- 248).
    25. 19 Nov. Funções trigonométricas, trigonométricas inversas e hiperbólicas. ([1], pags. 249-270).
    26. 22 Nov. Cap. IV. Continuidade. Definição de continuidade num ponto (Cauchy). Exemplos. Continuidade à Heine e equivalência com a definição de continuidade.  ([1], pags. 270-277).
    27. 24 Nov. Demostração da equivalência entre a definição de continuidade e a continuidade à Heine. Continuidade da soma, produto e quociente de funções contínuas e continuidade de funções dadas por séries de potências. Consequência: a continuidade das funções elementares. Continuidade da composta de duas funções contínuas. ([1], pags. 278-283).
    28. 26 Nov. Limite de uma função num ponto. Relação com continuidade no ponto ou com a existência de prolongamento por continuidade da função ao ponto. Exemplos. ([1], pags. 283-297).
    29. 29 Nov. Limites relativos a conjuntos. Casos particulares: limite excluindo o ponto e limites laterais. Relações com a existência de limite e com continuidade. Limites na recta acabada. ([1], pags. 299-303 e 309-314).
    30. 3 Dez. Resultados globais sobre a continuidade de funções contínuas em intervalos: o teorema do valor intermédio, a continuidade da função inversa com aplicação ao logaritmo e trigonométricas inversas e o teorema de Weierstrass. ([1], teorema 15 da pag. 303 e pags. 314-320).
    31. 6 Dez. Conclusão da aula anterior (turma das 9:00). Cap. V. Diferenciabilidade. Definição de derivada e derivadas laterais. Derivabilidade e diferenciabilidade. Relação entre diferenciabilidade e continuidade. Início do estudo das regras de derivação.  ([1], pags. 347-360).
    32. 10 Dez. Regras de derivação da função composta e da função inversa. Exemplos importantes: logaritmo e trigonométricas inversas. ([1], v. aula anterior e 360-369).
    33. 13 Dez. Conclusão da aula anterior. Extremos relativos e diferenciabilidade. Teoremas fundamentais do Cálculo Diferencial: o teorema de Rolle. ([1], v. aula anterior e pags. 373-377).
    34. 15 Dez. Teoremas fundamentais do Cáculo Diferencial: O teorema de Lagrange e algumas consequências importantes.  Intervalos de monotonia.
    35. 15 Dez. (turma das 8:00) e 17 Dez. (turma das 9:00) Teoremas fundamentais do Cálculo Diferencial: o teorema de Cauchy e suas consequências: regra de Cauchy. Exemplos de levantamento de indeterminações.
    36. 17 Dez. Revisões: resolução de exercícios.


  • Aulas Práticas


    • Lista de exercícios para as aulas práticas  a ser actualizada regularmente  - última actualização: 5/12/2004. Para obter o ficheiro em formato .pdf, clique aqui.

     Os alunos deverão ter resolvido os seguintes exercícios até à aula prática da semana indicada:

    1ª ficha (18 Out - 22 Out).

    2ª ficha (1 Nov - 5 Nov).

    3ª ficha (15 Nov - 19 Nov).

    4ª ficha (6 Dez -10 Dez).

    5ª ficha (13 Dez - 17 Dez).

  • Testes e Exames

    • 1º Teste: sábado, dia 20 de Novembro, 9 horas:

    Enunciado

    Resolução

    Pauta

     
    2º Teste/1º Exame: quinta-feira, dia 6 de Janeiro, 13 horas:

    Enunciado

    Resolução

    Pauta


    2º Exame: quinta-feira, dia 20 de Janeiro, 13 horas:

    Enunciado (co-autoria com Luísa Ribeiro e João Palhoto de Matos)

    Pauta Final

  • Elementos auxiliares de estudo

    • Páginas de outros professores de Análise Matemática I (procure aqui)

    Alguns arquivos de fichas e provas de Análise Matemática I

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    Last Update:  3 de Fevereiro de 2005