Cálculo
Diferencial e Integral I
1º. semestre
2007-08
Mestrado em Eng.
Electrotécnica e
de
Computadores (MEEC)
Professor
Responsável: João Teixeira
Pinto
Não haverá mais alterações a esta página passando esta ao estatuto de arquivo.
(Nesta secção
serão
divulgadas informações relevantes para a disciplina.
É muito importante consultá-la regularmente!)
- 15 Fev - Resultados das revisões de provas do segundo exame: o
aluno 63226 passou de 9.0 para 10.0, ficando aprovado com a
classificação de 10; o aluno 58033 passou de 7.9 para 8.5
mantendo-se reprovado; a classificação do aluno 63092
não sofreu qualquer alteração. Já foi feita
a actualização da pauta.
- 13 Fev - Os resultados da
avaliação do semestre contendo as
classificações dos testes, exames e final podem ser
obtidos nesta pauta.
- 12 Fev - Pauta da avaliação do
semestre: será
aqui divulgada a pauta contendo os resultados da
avaliação incluindo as classificações do
segundo exame até amanhã, quarta-feira, ao meio-dia (pode
sair antes!). Desde já fica marcada a revisão de provas
do segundo exame para a próxima sexta-feira, pelas 9:30, na sala
do DM no piso 02 do edifício da Matemática.
- 17 Jan - Resultado da
revisão de provas: as classificações dos alunos
56724, 58974, 58988, 63092, 63147, 63194, 63209 e 63629 não
sofrem qualquer alteração. A classificação
do exame do aluno 56794 passa de 8.5 para 9.0 sem
consequências para o resultado final. A
classificação do teste do aluno 56636 passa
de 6.1 para 8.7, sem consequências para o resultado final.
A classificação do exame do aluno 56655 passa de 9.1 para
9.5 e a sua classificação final passa a ser de 10.
A classificação do teste do aluno 59027 passa
de 8.4 para 8.6 e a sua classificação final
passa a ser 10. A classificação do teste do aluno 63166
passa de 8.4 para 8.6 e a sua classificação final passa a
ser de 10. A pauta
já contem estas alterações.
- 15 Jan - As notas do 2º
teste/1º exame e nota final após estas provas podem
ser obtida nesta pauta.
- 15 Jan
- As classificações do 2º teste/1º exame
serão disponibilizadas ainda durante o dia de hoje. Desde
já fica marcada a revisão de provas para a próxima
quinta-feira, dia 17, às 18:00 na sala do DM no piso 02 do
edifício da Matemática.
- 7 Jan - Já
está disponível o enunciado
do 2º teste/1º exame com uma resolução.
- 2 Jan - A nova
versão dos exercícios sobre o teorema de Taylor
já inclui soluções e sugestões de
resolução.
- 21 Dez - Durante a
época de exames é importante a consulta regular
desta página
onde avisos e possíveis materiais adicionais poderão ser
disponibilizados. Antes de vir a uma aula de dúvidas verifique,
em particular, se não há avisos relativos a
alterações sobre os horários.
- 21 Dez - Na
sequência da resolução de exercícios feita
na aula teórica de hoje, disponibiliza-se aqui
o enunciado de alguns exercícios sobre o Teorema de Taylor. Em
breve, serão disponibilizadas aqui
soluções/sugestões relativas a estes
exercícios.
- 13 Dez - Resultado da
revisão de provas: o aluno 58020 passa de 8 para 9 e o aluno
63131 passa de 11 para 12. A pauta já
está actualizada com estas alterações.
- 8 Dez - As notas do 1º
teste estão disponibilizadas numa pauta que pode obter a
partir de um link na secção de testes
e exames. Aí poderá também obter uma resolução
do teste
que foi agora disponibilizada. A revisão de provas fica marcada
para as 18:00 de quinta-feira, dia 13 de Dezembro. O local de encontro
é a sala de dúvidas do Dep. de Matemática.
- 12 Nov - Atenção: o 1º
teste realiza-se no sábado, dia 17 de Novembro, entre as 13:00 e as
14:30. A
distribuição dos alunos por salas será aqui
afixada durante a semana. A matéria para o teste inclui tudo o
que foi dado até ao fim dos limites de funções.
Assim, ficam excluidos deste teste os teoremas fundamentais
(resultados globais) da continuidade. Estes resultados serão
cobertos no 2º teste.
- 3 Out - Veja a
informação que foi acrescentada sobre o funcionamento
do horário de dúvidas.
- 1 Out - Já
está disponibilizada a lista de problemas
para as aulas práticas.
- 24 Set - As aulas
práticas começam segunda-feira, dia 1 de Outubro.
Horários
e corpo docente (teóricas, práticas e de dúvidas)
Calendário
escolar: As
aulas teóricas começam na semana de 24 de Setembro e as
práticas começam na semana de 1 de Outubro. As aulas
terminam no dia 21 de Dezembro
Programa
Axiomática dos
números reais. Sucessões: noção de limite,
teorema das sucessões
monótonas e limitadas, teorema de Bolzano-Weierstrass. Recta
acabada e indeterminações. Funções reais de
variável real:
continuidade e limite; continuidade global, teoremas do valor
intermédio e de Weierstrass.
Diferenciabilidade: definição, teoremas de Rolle,
Lagrange e Cauchy. Fórmula de Taylor e
aplicações.
Primitivação. Cálculo integral para
funcões
reais de uma variável real: definição;
condições
de integrabilidade; integrabilidade das funções
seccionalmente
contínuas e das funções monótonas; teorema
da
média; integral indefinido; teorema fundamental do
cálculo;
regra de Barrow; fórmulas de integração por partes
e
por substituição; aplicação ao
cálculo
de áreas de figuras planas. Funções transcendentes
elementares.
Materiais de estudo
Referências base:
[1]
Introdução
à Análise Matemática, Jaime Campos
Ferreira, Fundação Calouste Gulbenkian.
[2] Listas
de exercícios para as aulas práticas. Pode
obtê-las a partir do link em Aulas
Práticas.
[3]
Textos
de apoio de Lógica
Matemática, Teoria de
Conjuntos e Sucessões
(arquivos pdf), Grupo
de Matemática da UTL.
[4] Exercícios
de
Análise Matemática I e II, Departamento de
Matemática do IST, IST Press.
O livro [1]
será
seguido como texto base do curso. É importante notar que este
texto estará longe de ser dado na íntegra.
Nas aulas práticas serão usadas as listas [2].
A familiaridade dos alunos com alguns fundamentos de lógica e
teoria dos conjuntos é um dos requisitos deste curso. Como
este tópico não pode ser considerado coberto
pelos actuais programas do ensino secundário, ele será
abordado abreviadamente nas primeiras aulas. Sugere-se com
referência o texto [3]. Em
baixo encontram-se referências adicionais sobre este tema.
Em [4]
é
disponibilizada uma colectânea de exercícios (muitos deles
com as respectivas resoluções) retirados de exames
efectuados no IST. Note que, sendo pensado especificamente para as
disciplinas de Análise Matemática, estes
exercícios abrangem uma parte de material não
leccionado em CDI-I.
Referências adicionais:
Elementos de
Lógica Matemática e Teoria de Conjuntos (arquivo
pdf), Jaime Campos Ferreira.
Cálculo
Vol. 1, T. M. Apostol, Reverté,
1994.
Introduction to Real Analysis,
R. G. Bartle e D. Sherbert,
John
Wiley, 3ª ed., 2000.
Análise Real Vol.
I, F. Agudo. Livraria Escolar
Editora,
1989.
Elementos
auxiliares de estudo
Páginas de outros professores de
Cálculo Diferencial e Integral I (procure
aqui)
Arquivo
de fichas e provas de Análise Matemática I de Joâo
Teixeira Pinto
(tenha em atenção as diferenças de material
leccionado entre AM-I e
CDI-I!)
Módulos de
auxílio na recuperação de alguns temas do Ensino
Secundário.
Sumários das
aulas
teóricas (as páginas referidas dizem respeito ao
livro [1]
citado
nos Materiais de Estudo.)
- 24
Set.
Apresentação.
Noções de Lógica Matemática .
- 26 Set.
Noções de Lógica Matemática (cont.).
- 28 Set.
Noções de Lógica Metemática (concl.).
- 1 Out.
Revisões de Teoria de Conjuntos. Funções.
- 3 Out. Os números reais.
Introdução à axiomática dos reais. Os
axiomas de corpo e os axiomas de ordem. (pags. 17-27)
- 8 Out. Os
números naturais. O Príncipio de Indução
Matemática. (pags. 27-30)
- 10 Out.
Os inteiros e os racionais. O axioma do supremo:
introdução e definições com exemplos.
(pags. 31-36)
- 12 Out.
O axioma do supremo (continuação): enunciado e
consequências. A existência de irracionais. A densidade dos
racionais e dos irracionais no conjunto dos reais. (pags. 36-41;
teorema 18: pag.49).
- 15 Out. Sucessões reais.
Definição. Sucessões convergentes:
definição de convergência, unicidade do limite e
exemplos. (pags.
81-87. Ler também I.2.1.,
pags. 59-66).
- 17 Out.
Compatibilidade da convergência de sucessões com as
operações algébricas e com a relação
de ordem: propriedades algébricas dos limites, passagem ao
limite de ambos os membros de uma desigualdade não estrita entre
sucessões convergentes e critério das sucessões
enquadradas. Teoremas Fundamentais das sucessões
(início). Sucessões limitadas. (pags.
96-101).
- 19 Out. Teoremas
Fundamentais das sucessões (cont.). Qualquer sucessão
convergente é limitada. Sucessões monótonas.
Qualquer sucessão monótona e limitada é
convergente. Aplicações. (pags. 94-95 e pags. 104-107).
- 22 Out.
Teoremas
Fundamentais das sucessões (cont.). Subsucessões;
conceito e exemplos. As subsucessões de uma sucessão
convergente são convergentes e têm o mesmo limite. O
conjunto dos sublimites de uma subsucessão. (pags.89-91 e
114-116)
- 24 Out. Teoremas
Fundamentais das sucessões (concl.): o teorema de
Bolzano-Weierstrass. Limites na recta acabada (início).
Definições e propriedades algébricas:
sucessões adição e produto. Os respectivos casos
indeterminados. (pags. 124-130 atenção:
não foi dado o conceito de ponto de acumulação)
- 26 Out. Limites na recta
acabada (concl.): sucessões quociente e
potência-exponencial. Os respectivos casos indeterminados.
Duas regras práticas especiais. (pags.135-143 e pags. 149-158 atenção:
nem todos os resultados destas páginas foram dados)
- 29 Out. Continuidade. Definção
de continuidade de uma função num ponto. Continuidade
à Heine. Equivalência entre os dois conceitos. Exemplos.
(pags.270-274 e 278-279).
- 31 Out. Continuação
do estudo de exemplos de continuidade e descontinuidade usando quer a
definição quer a continuidade à Heine.
Propriedades locais das funções contínuas: a
continiuidade das funções soma, produto e quociente de
funções contínuas, a continuidade da
função composta de funções contínuas
e a não mudança de sinal de uma função
contínua numa vizinhança de um ponto em que ela
não se anula.( pags.
274-275, 277 (teor. 1), 279-281 nota:
no livro usa-se a definição de limite no estudo da
função de Dirichlet enquanto que na aula usou-se a
continuidade à Heine. É instrutivo lêr as duas
abordagens.)
- 5 Nov. Conceito
de ponto aderente e de aderência de um conjunto. Limite de uma
função num ponto: definição e
relação com a continuidade em pontos do domínio e
com a possibilidade de prolongar a função por
continuidade a pontos aderentes mas não pertencentes ao
domínio. Exemplos.( pags.
283-287 e 291-193, para noção de ponto aderente: fim de
pag. 68)
- 7 Nov. Limite
de uma função num ponto (continuação).
Equivalência com o limite à Heine (por via das
sucessões). Aplicação ao estudo de sen(1/x) e de
xsen(1/x). Limites relativos. Caso geral e três casos
particulares: limite exceptuando o ponto, limite lateral esquerdo e
limite lateral direito. Relação entre o limite
exceptuando o ponto e o limite de acordo com a definição
dada. (pags. 295-296 e 299-303) Atenção:
é o limite exceptuando o ponto e não o limite como o
definimos anteriormente que corresponde ao limite dado no Ensino
Secundário!
- 9 Nov. Limites
relativos: conclusão da aula anterior. Limites infinitos:
definição e exemplos. Teoremas fundamentais da
continuidade (início): o Teorema do Valor
Intermédio ou de Bolzano. (v. pags. da aula anterior
+ pags. 309 (a seguir ao teorema 18) - 314)
- 12 Nov. Teoremas
fundamentais da continuidade (continuação). Uma
função contínua transforma intervalos em
intervalos e uma função monótona que transforma
intervalos em intervalos é contínua. A continuidade da
função inversa. Exemplos importantes: o logaritmo e as
funções trigonométricas inversas. (pags. 316-318,
v. também pag. 303)
- 14 Nov. Teoremas
fundamentais da continuidade (conclusão). Máximos e
mínimos de funções contínuas em inetrvalos.
O teorema de Weierstrass. Uma função contínua
transforma intervalos fechados e limitados em intervalos fechados e
limitados. (pags. 318 a 320 - fim do 3º parágrafo).
- 16 Nov. Cálculo Diferencial.
Definição de derivada num ponto interior do
domínio. Derivabilidade e diferenciabilidade. Domínio de
diferenciabilidade de uma função. Diferenciabilidade num
ponto implica continuidade nesse ponto, sendo falsa a
afirmação recíproca. Exemplos e contraexemplos.
- 19 Nov.
Diferenciabilidade e regras de derivação: soma,
produto, quociente e composta de funções
diferenciáveis. Dedução de regras de
derivação em casos importantes (funções
polinomiais, racionais, exponencial, trigonométricas e compostas
destas).
- 21 Nov.
Diferenciabilidade e regras de derivação
(continuação): a derivada da função inversa
com aplicações (derivada do logaritmo, e de inversas
trigonométricas). Derivada de f(x)^g(x) e algumas
aplicações. Extremos locais: definição,
exemplos e anulação da derivada num ponto de extremo onde
a função é diferenciável.
- 23 Nov. Teoremas
Fundamentais do Cálculo Diferencial e consequências
importantes: teoremas de Rolle e Lagrange com aplicações
ao estudo dos zeros de f e f', dos intervalos de monotonia de f e
relação entre funções cujas derivadas
coincidem num intervalo.
- 26 Nov.
Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial e
consequências importantes (conclusão): o teorema de Cauchy
e a regra de Cauchy para o levantamento de certas
indeterminações. Redução de vários
tipos de indeterminação a indeterminações
que se podem resolver pelo uso da regra de Cauchy. Exemplos. Derivadas
de ordem superior, funções n vezes diferenciáveis
e funções de classe Cn.
- 28 Nov. Notação
de Leibniz para derivadas. Cálculo
Integral. Primitivação: conceito, não
unicidade da primitiva e algumas primitivas importantes. A
possibilidade de não existência de primitiva - um exemplo:
a função de
Heaviside.
- 30 Nov.
Primitivação (continuação).
Primitivação imediata, primitivação por
partes. Algumas formas especiais de utilização da
primitivação por partes. Primitivação por
substituição de variável (aula das 15:30).
Exemplos.
- 3 Dez
- Primitivação por substituição de
variável. Exemplos. Início do estudo do integral de
Riemann para funções limitadas num intervalo.
Motivação. Somas de Darboux:
definição e propriedades.
- 5 Dez -
Os integrais inferior e superior. O conceito de integrabilidade e
a definição do integral. Dois exemplos ilustrativos da
definição: a integrabilidade das constantes e a
não integrabilidade da função de Dirichlet num
intervalo limitado. Dois critérios de integrabilidade. Uma
aplicação.
- 7 Dez - A
integrabilidade das funções limitadas e monótonas
e das funções contínuas. Estudo das propriedades
do integral. o integral da soma e do produto por uma constante com
aplicação ao estudo de funções que diferem
entre si em apenas um número finito de pontos. O integral e a
relação de ordem. O integral do módulo de uma
função integrável. A integrabilidade de uma
função em intervalos contidos num intervalo no qual
se sabe a função ser diferenciável.
- 10 Dez
- Estudo das propriedades do integral (continuação). O
integral no intervalo união de dois intervalos nos quais se sabe
ser a função integrável. O teorema da
Média. Uma generalização do símbolo de
imtegral. Revisão de alguns resultados anteriores usando esta
generalização.
- 12 Dez -
O integral indefinido de funções localmente
integráveis. O Teorema Fundamental do Cálculo. A regra de
Barrow.
- 14 Dez
- As fórmulas de integração por partes e por
substituição de variável. Cálculo
de áreas de subconjuntos do plano.
- 17 Dez
- O Teorema de Taylor: motivação,
dedução dos polinómios de Taylor de ordem n e
enunciado do Teorema de Taylor.
- 19 Dez -
Estudo do resto de Taylor de ordem n. A fórmula do resto de
Lagrange. Exemplos.
- 21 Dez -
Resolução de exercícios sobre o Teorema de Taylor.
Fim das aulas.
Aulas práticas
Obtenha aqui as fichas
de exercícios com as respectivas resoluções.
Programação
das aulas práticas:
1ª semana (2007/10/1): 1ª ficha
Para resolução na aula: 1.c,d,e,h,j,l;
2.a,b,c,f,g,i,j,l,n,o,p,r; 3.a,d,f.
2ª semana (2007/10/8): 2ª ficha
Para resolução na aula: 1.c,d,e,h,j,l;
2.a,b,c,f,g,i,j,l,n,o,p,r; 3.a,d,f.
3ª semana (2007/10/15): 3ª ficha
Para resolução na aula: 1, 3, 4, 8, 12, 13, 14.
4ª semana (2007/10/22): 4ª ficha
Para resolução na
aula:1,2,3b),4b),5b)c)f)i)k)p),6,7,8,11,14,15.
5ª semana (2007/10/29): 5ª ficha
Para resolução na aula: 2, 4, 5, 6, 7, 10, 13
(j,k,l,m,n,o),14 (b,c).
6ª semana (2007/11/5): 6ª ficha
Para resolução na aula:1.a)d), 7.d)f)i), 8, 11,
12.d)f)i), 17, 18. EAMIII: 3.3, 3.8..
7ª semana (2007/11/12): 7ª ficha
Para resolução na aula: 1, 2.a,c,d,f,g), 3, 4, 5, 7, 10,
12, 14, 15.
8ª semana (2007/11/19): 8ª ficha
Para resolução na aula: 1.a,b,c,h,i), 2.a,d), 3.a,b), 5,
7, 10, 14.
9ª semana (2007/11/26): 9ª ficha
Para resolução na aula: 1, 2, 3, 4, 7.a),b),c),d),f),h),
9, 10, 12, 14.a),b),d),e),f), 18b), 19.
10ª semana (2007/12/3): 10ª ficha
Ver também [1] dos materiais de estudo,
IV.3.2, pgs. 482 a 497 e Exemplos
de Primitivação de Funções Racionais
11ª semana (2007/12/10): 11ª ficha
12ª semana (2007/12/17): 12ª ficha e 13ª ficha
Uma
ficha sobre o Teorema de Taylor
Avaliação
de conhecimentos (pdf)
Testes e Exames
1º
Teste: 17 de Novembro de
2007, 13:00 - 14:30. Enunciado
Enunciado
+ uma resolução Pauta
2º
Teste/1º Exame: 7 de Janeiro de 2008,
13:00 - 17:00. Enunciado
Enunciado
+ uma resolução
Pauta
2º
Exame: 21 de Janeiro de 2008,
13:00 - 17:00. Enunciado
Pauta
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Teixeira Pinto.
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Última alteração: 15
de Fevereiro de 2008