6^a Série de problemas

Física I para LEIC

1999/2000

Semana de 17/04/2000 a 18/04/2000 & de 26/04/2000 a 28/04/2000

1.

([Ser] Exemplo 9.16, pag. 254) Considere o sistema constituido por três partículas de massas m₁=2m, m₂=m e m₃=4m dispostas como mostra a figura.

Determine as coordenadas do centro de massa do sistema.

2.

([Ser] Exemplo 9.17, pag. 254)

2.a)

Mostre que o centro de massa de uma barra fina fica a meio da barra supondo que a barra tem uma densidade de massa (massa por unidade de comprimento) uniforme (barra homogénea).

2.b)

Determine a coordenada x_CM do centro de massa de uma barra fina não homogénea sabendo que se a barra estiver orientada segundo o eixo x, $0 \leq x \leq L$, a sua densidade de massa é dada por:

$$\lambda (x) = \alpha x \quad ,$$

onde $\alpha$ é uma constante.

3.

([DPNPB] Ex. 3.7, p. 188)
Dois astronautas jogam à bola no espaço em condições de ausência de peso. O primeiro astronauta, que tem 80 kg, lança a bola ao outro, que tem 70 kg. Sabendo que a massa da bola é de 8 kg e que esta é lançada com uma velocidade de 10 m/s,

3.a)

Qual a velocidade de recuo do primeiro astronauta depois de ter lançado a bola?

3.b)

Qual a velocidade do conjunto ``bola + segundo astronauta'' após este ter recebido a bola?

3.c)

Qual a velocidade do centro de massa do conjunto ``astronautas + bola'' nos casos das alíneas anteriores?

4.

([DPNPB] Ex. 3.11, p. 189)
O sistema representado na figura é constituído por três pêndulos de massas e comprimentos iguais.

No instante inicial, A é largado da altura h com velocidade inicial nula.

4.a)

Se os choques forem elásticos, qual é a altura máxima atingida pelo pêndulo C?

4.b)

Que acontece aos outros pêndulos após o choque?

4.c)

Se após o choque da esfera A as três esferas ficarem ligadas entre si, qual a altura máxima atingida pelo conjunto?

5.

Considere a situação representada na figura (considere que o plano em que se movem as bolas é horizontal).

5.a)

([DPNPB] Ex. 3.9, p. 188)
Suponha que as bolas A e B têm uma massa m=1 kg. A bola A colide frontalmente com a bola B e o choque é elástico. Calcule as velocidades no referencial do laboratório das bolas A e B depois do choque, bem como a fracção da energia cinética de A que passa para B, isto é, E_Bfinal/E_Ainicial.

5.b)

Se a bola B apenas tivesse 0.5 kg de massa, quais seriam agora as velocidades de A e B após o choque, e qual seria a fracção de energia que é transmitida da bola A à bola B?

5.c)

Uma bola A é lançada contra a bola B (de massa 0.5 kg), a qual deverá por sua vez ir tocar num objecto C. Sabendo que existe um atrito constante dado por F_a=2P, em que P é o peso da bola, e supondo elástico o choque entre as duas bolas, calcule a velocidade mínima com que deve ser lançada a bola A para que o objecto C seja atingido.

6.

([NB] Exemplo 3.5, pag. 72) Considere um sistema constituido por duas partículas de massas m₁ e m₂. Em relação ao referencial do laboratório, que designaremos por S, os vectores de posição das partículas e as velocidades são, respectivamente,$\vec{r_1}$ e $\vec{r_2}$, $\vec{v_1}$ e $\vec{v_2}$.

6.a)

Definindo o referencial do centro de massa como o referencial $S^{\small (CM)}$ onde o momento linear total das partículas é nulo, $m_1 \vec v^{\small (CM)}_1 + m_2 \vec v^{\small (CM)}_2 =\vec{0}$, mostre que $S^{\small (CM)}$ se move em relação a S com uma velocidade $(\vec{V}_{\rm cm}=m_1 \vec{v_1}+m_2 \vec{v_2}) /(m_1+m_2)$.

6.b)

Mostre que a velocidade relativa das partículas é igual nos dois referenciais $\vec{v}_{12}=\vec{v_1}-\vec{v_2}= \vec v^{\small (CM)}_1 -\vec v^{\small (CM)}_2$.

6.c)

Mostre que o momento linear de cada uma das partículas em relação ao centro de massa se pode exprimir na forma

$$\vec {p}^{\small (CM)}_1 =\mu\vec{v}_{12},~~~ \vec {p}^{\small (CM)}_2 =-\mu\vec{v}_{12}~,$$

onde $\mu=m_1 m_2/(m_1+m_2)$ é a massa reduzida do sistema.

6.d)

Mostre que a energia cinética das duas partículas em relação ao referencial do centro de massa ($S^{\small (CM)}$) se pode escrever na forma

$$K^{\small (CM)}=\frac{1}{2} m_1 (v^{\small (CM)}_1)^2+\frac{... ...m_2 (v^{\small (CM)}_2)^2= \frac{1}{2} \mu \vec{v}_{12}^2~~.$$

6.e)

Mostre que podemos decompor a energia cinética das partículas em relação ao referencial do Laboratório, S, em dois termos

$$K= K^{\small (CM)}+\frac{1}{2}(m_1+m_2) V_{\rm cm}^2$$

onde $K^{\small (CM)}$ é a energia cinética devida ao movimento relativo das partículas e coincide com a calculada na alínea anterior.

7.

([DPNPB] Ex. 3.10, pag. 188) Uma granada cai verticalmente e explode em dois fragmentos iguais quando se encontra a 2000 m de altura. No instante da explosão a velocidade é de 60 m/s. Após a explosão um dos fragmentos desloca-se para baixo com uma velocidade de 80 m/s (em relação ao referencial próprio da granada nesse instante). Determine:

7.a)

A posição do centro de massa após 10s de explosão.

7.b)

A quantidade de movimento total do sistema em relação ao referencial do centro de massa.

7.c)

Como varia a quantidade de movimento total do sistema?

8.

Considere a seguinte colisão no plano xy. O corpo de massa m₁=m, com velocidade inicial $\vec v_{1_0} = 2 \vec e_x$ (m/s), paralela ao eixo x, colide elásticamente (mas não frontalmente) com o corpo de massa m₂=m, inicialmente em repouso. Determine o ângulo $\alpha_2$ que o vector velocidade de m₂ depois da colisão faz com o sentido positivo do eixo x e o seu módulo v_2f, sabendo que a velocidade final do primeiro corpo $\vec v_{1_f}$faz um ângulo de 30^o com o eixo x.

9.

([DPNPB] Ex. 3.8, pag. 188) Um vagão move-se em linha recta, sem atrito, sobre um plano horizontal. A massa do vagão é 500 kg. e no instante t=0 s a sua velocidade é v= 7 m/s.

Nesse instante começa a receber areia de uma tremonha fixa ao solo. A massa total de areia recebida é de 200 kg.

9.a)

Qual a velocidade do vagão a partir do momento t₁ em que deixa de receber areia?

9.b)

No instante t₁, o vagão que continha areia num total de m=200 kg além da sua massa de 500 kg e se movia com velocidade v₁, começa a esvaziar areia através de um tubo vertical. Qual é a velocidade do vagão no instante t₂ em que já perdeu 100 kg de areia?

10.

([Ser] Exemplo 9.23, pag. 261) Uma nave espacial espacial desloca-se com uma velocidade de 3.0$\times 10^3$ m/s relativamente à Terra. A certa altura os motores são ligados e expelem combustível para o exterior, numa direcção oposta ao movimento da nave, com uma velocidade de 5.0$\times 10^3$ m/s relativamente à nave.

10.a)

Qual a velocidade da nave relativamente à Terra quando a sua massa se reduz a metade, relativamente ao instante em que foram ligados os motores (suponha que pode desprezar as forças exteriores como a força gravítica da Terra).

10.b)

Calcule a propulsão sabendo que os motores queimam o fuel a uma taxa de 50 kg/s.

5/4/2000