5^a Série de problemas

Física I para LEIC

1999/2000

Semana de 10/04/2000 a 14/04/2000

1.

([Ser] Exemplo 7.14, p. 187)
Um elevador de massa 1000 kg leva 800 kg de carga. Quando sobe nele actua uma força de atrito de módulo constante igual a 4000 N.

1.a)

Qual a potência mínima que deve ser transmitida pelo motor do elevador para que este suba com uma velocidade constante de $3.00 \ {\rm m/s}$?

1.b)

Qual a potência que deve ser transmitida em cada instante pelo motor do elevador para que este suba com uma aceleração constante de $1.00 \ {\rm m/s}^2$?

2.

Verifique se as seguintes forças são conservativas:

2.a)

$$\vec F = bx \ \vec e_x + cy^2 \ \vec e_y$$

2.b)

$$\vec F = F_x(x) \ \vec e_x + F_y(y) \ \vec e_y$$

(A força na alínea anterior é um caso particular desta)

2.c)

$$\vec F = y \ \vec e_x - x \ \vec e_y$$

2.d)

$$\vec F = y \ \vec e_x + x \ \vec e_y$$

2.e)

$$\vec F = z sen(\alpha xz) \ \vec e_x + x sen(\alpha xz) \ \vec e_z$$

3.

Considere um campo de forças conservativas com energia potencial que depende só da distância à origem de um referencial:

$$U(\vec r) = U(r) \qquad ,$$

onde $r = \vert\vec r\vert = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.Mostre que a força conservativa associada a U é a força central dada por

$$\vec F(\vec r) = - {dU \over dr} \vec e_r \qquad ,$$

onde

$$\vec e_r = {\vec r \over r} = { x \ \vec e_x + y \ \vec e_y + z \ \vec e_z \over r } \qquad .$$

(Sugestão: mostre primeiro que ${\partial r \over \partial x} = {x \over r}, {\partial r \over \partial y} = {y \over r}, {\partial r \over \partial z} = {z \over r}$.)

4.

Considere a força central com simetria esférica

$$\vec F(\vec r) = F(r) \vec e_r = {F(r) \over r} \left(x \ \vec e_x + y \ \vec e_y + z \ \vec e_z \right) \qquad .$$

(Note que a componente F(r) é só função de $r = \vert\vec r \vert$)

4.a)

Mostre que $\vec F$ é conservativa.

4.b)

Determine a energia potencial U(r) associada a $\vec F$ com U(r₀) = 0.

4.c)

Supondo que

$$\vec F(\vec r) = -G {m_1m_2 \over r^2} \vec e_r \qquad .$$

determine U(r) com $U(\infty)=0$.

5.

([NB] exemplo 3.1, pag. 51)
Estude o movimento de um objecto de massa m sujeito à força gravítica, próximo da superfície da Terra. Despreze o atrito.
($G = 6.67 \times 10^{-11} Nm^2/kg^2, M_T = 5.98 \times 10^{24} kg, R_T = 6380 km$)

5.a)

Calcule a força gravítica que actua sobre um corpo e a aceleração da gravidade junto da superfície da Terra e no topo dos Himalaias (altitude de cerca de 9000 m).

5.b)

Mostre que, para pequenos deslocamentos próximo da superfície terrestre, a energia potencial gravítica do objecto de massa m é aproximadamente dada por $U={\rm Const}+mgh$, sendo g=GM_T/R_T² e sendo h a distância à superfície da Terra.

5.c)

Se quisermos que o objecto fique livre da interacção gravítica terrestre, qual a velocidade mínima com que o devemos lançar na vertical (velocidade de escape)? Poderá usar a expressão aproximada para o potencial que derivou na alínea b)?

Conservação do Momento Linear e Colisões
(continua na 6^a série)

6.

([Ser] Exemplo 9.4, pag. 241) Num teste de colisão automóvel, uma viatura com massa m=1500 Kg colide frontalmente contra uma parede. As velocidades inicial e final são, respectivamente, $\vec{v}_i=-15 \vec{e}_x$ m/s e $\vec{v}_f=2.6 \vec{e}_x$ m/s. Sabendo que a colisão dura 0.150 s, calcule:

6.a)

a variação do momento linear do automóvel;

6.b)

a força média que actua nesse mesmo automóvel.

7.

([Ser] Exemplo 9.10, pag. 246) O pêndulo balístico é um sistema usado para medir a velocidade de projecteis tais como balas. A bala é disparada contra um bloco de madeira suspenso por um fio ficando presa no bloco. Depois da colisão o bloco de madeira e a bala movem-se em conjunto atingindo uma altura h. Uma vez que a colisão é completamente inelástica o momento conserva-se e é possível determinar a velocidade inicial da bala.

7.a)

Há conservação da energia nesta colisão?

7.b)

Suponha que a altura que o bloco de madeira com a bala atingem é h=5.0 cm, a massa da bala é $m_{\rm bala}$= 5 g e a massa do bloco de madeira é $m_{\rm bloco}$=1.0 kg. Calcule a velocidade inicial da bala e a energia dissipada durante a colisão.

4/10/2000