\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newcommand{\inst}{\vspace*{-3cm}
\hspace*{-1.5cm}\parbox[b]{2.5in}{\footnotesize 
\begin{center}
{\bf Instituto Superior Técnico\\
Departamento de Matemática\\
Secção de Álgebra e Análise}
\end{center}}
\vspace*{.5cm}}





\pagestyle{empty}
\reversemarginpar




\begin{document}
\inst

\vspace{-1cm}

\begin{center}{
\LARGE{Análise Matemática III} \\
\smallskip
\Large{2001/2002} -- \Large{2º Exame}}\\

\smallskip 

Todos os cursos excepto LMAC e LEFT

25 de Janeiro de 2002 -- 17 horas\\
Duração: 3h\\
\bigskip

{\bf Apresente todos os c\'{a}lculos}
\end{center}


\vfill


$\Delta^2 = (\mu_1-\mu_2


\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
\item Calcule o volume do s\'olido \marginpar{(2.0 val.)}
$$
S = \{(x,y,z)\in {\mathbb R}^3: x^2+y^2+z^2\leq 2,\, z\geq \sqrt{x^2+y^2}\}.
$$

\vfill

\item Considere a regi\~ao $V\subset {\mathbb R}^3$ definida por 
$$
V = \{(x,y,z)\in {\mathbb R}^3: 0\leq z \leq x^2+y^2,\, x^2+y^2\leq 1,\, x\geq 0,\, y\geq 0\}.
$$
\begin{enumerate}[(a)]
\item  Escreva uma express\~ao para o volume de $V$ em \marginpar{(2.0 val.)}
termos de integrais iterados da forma
$\int \left( \int\left( \int dx\right)dy\right) dz$.
\item Calcule o momento de  in\'ercia de $V$ \marginpar{(2.0 val.)}
relativamente ao eixo dos $x$, 
sabendo que a densidade de massa \'e dada por $\alpha(x,y,z)=x$.
\end{enumerate}

\vfill

\item Considere o seguinte campo solenóidal ({\em i.e.} com divergência nula),
definido em $\bbr^3\setminus\{0\}$,
\[
{\bf F} = \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}(x,y,z)+(x,-y,0).
\]
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Mostre que ${\bf F}$ é fechado.\marginpar{(1.5 val.)}
\item
Determine se ${\bf F}$ é um gradiente no seu domínio.\marginpar{(2.0 val.)}
\item
Mostre que  não existe ${\bf A}:\bbr^3\setminus\{0\}\to\bbr^3$ 
tal que $\rot({\bf A})={\bf F}$
({\em i.e.} \marginpar{(1.0 val.)} ${\bf F}$ não é um rotacional).
\end{enumerate}
\vfill




\vspace{1 cm}\hspace{9.5 cm}{\bf Volte S. F. F.}
\pagebreak
\item
Considere a curva $C\subset {\mathbb R}^3$ que \'e a variedade-1
descrita pelas equa\c c\~oes
$x+y+z=4$ e $z=x^2+y^2$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Determine quais s\~ao os pontos de $C$ \marginpar{(1.0 val.)}
que t\^em vizinhan\c cas em que pode garantir 
ser poss\'\i vel parametrizar $C$ utilizando $x$ como par\^ametro.  
\item Calcule $\frac{dy}{dx}(1)$ e   $\frac{dz}{dx}(1)$ correspondente ao 
ponto \marginpar{(1.5 val.)}
$(1,1,2)\in C$. Utilize a resposta para determinar um vector tangente a $C$ nesse ponto.
\end{enumerate} 



\vfill


\item
Considere o campo
vectorial ${\bf F}(x,y,z)=(ye^x, -xe^x, z)$ e a superfície
\begin{align*}
S = & \{(x,y,z)\in\bbr^3: x^2+y^2+\frac{z^2}{4}=1,\,\, z > 0 \}.\\
\end{align*}
\begin{enumerate}[(a)]
\item 
Calcule o fluxo de ${\bf F}$ através de $S$, no sentido \marginpar{(2.5 val.)}
da normal unitária ${\bf n}$ exterior ao  sólido $V$ limitado por $S$ e pelo plano $z=0$, directamente {\bf pela definição}.
\item  
Use a alínea anterior para calcular \marginpar{(2.5 val.)}
$\iiint_V\dive({\bf F})$ (se não tiver
feito a alínea 5(a), suponha, por exemplo, que 
$\displaystyle{\iint_S{\bf F}\cdot{\bf n}=\frac{4}{3}\pi}$).
\end{enumerate}

\vfill

\item 
Seja 
$$
D = \left\{ (x,y,\lambda) \in \bbr^3 \ : \ 
x^2+y^2 \leq 1 \ , \ \lambda > 0
  \right\}
$$
e $f \ : \ D \rightarrow \bbr$,  a função $f(x,y,\lambda) = \cos\left(\lambda(x^2+y^2)\right)$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Calcule $F(\lambda) = \iint_B f(x,y,\lambda) dxdy$,  \marginpar{(0.5 val.)}
onde $B = \left\{ (x,y) \in \bbr^2 \ : \ 
x^2+y^2 < 1 \ \right\}$.
\item
Considere o integral  \marginpar{(1.5 val.)}
$$
H(\lambda) =  \iint_B  (x^2 + y^2)\sen\left(\lambda(x^2+y^2)\right) dxdy\ . 
$$ 
Usando a regra de Leibniz, calcule $H(\lambda)$. Justifique. 

\vfill
\end{enumerate}


\end{enumerate}


\end{document}

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%%% End: