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%
% Instituicao
%
\newcommand{\inst}{\vspace*{-3cm}
\hspace*{-1.5cm}\parbox[b]{2.5in}{\scriptsize 
\begin{center}
{\bf Instituto Superior T\'{e}cnico\\
Departamento de Matem\'{a}tica\\  
Sec\c{c}\~{a}o de \'{A}lgebra e An\'{a}lise}
\end{center}}
\vspace*{.8cm}}
%
% cadeira, tipo de exame, data e recomendacao geral
%
\newcommand{\exame}{
\begin{center}
{\Large An\'{a}lise Matem\'{a}tica III} \\ \vspace{.5cm}
{\Large Teste 2\ \ -\ \ 17 de Dezembro de 2005}\\
\vspace{.25cm} 
{\bf apresente e justifique todos os c\'alculos} \\
dura\c{c}\~ao: uma hora e meia 
\end{center}}
%
%

\begin{document}

\inst

%\thispagestyle{empty}

\exame

%\bigskip

\reversemarginpar

\pagestyle{empty}

\begin{enumerate}[(1)]
  
\item Considere o conjunto $$M = \{(x,y,z) \in \Rb^3 : x^2 + y^2 =
  z^2\,,\, 0<z<2\}.$$
  
\begin{enumerate}[(a)]

\item Mostre que $M$
  \marginpar{\ \ \ \ (2,5 val.)}%
  é uma variedade e indique a sua dimensão.
  
\medskip

  \textbf{Resolução:} Consideremos a função $f : \Rb^3 \to \Rb$ dada por
  $f(x,y,z) = x^2 + y^2 -z^2$.  A função $f$ é de classe $\mathcal{C}^\infty$, e $Df(x,y,z) = \left[
    \begin{smallmatrix}
      2x & 2y & -2z
    \end{smallmatrix}\right]$.  
  A matriz $Df(x,y,z)$ tem característica 1 em todos os pontos de
  $\Rb^3$ excepto a origem.  Seja $U$ o aberto de $\Rb^3$ dado
  por $\{(x,y,z) \in \Rb^3 : 0<z<2\}$.  Como $M = \{(x,y,z)\in U :
  f(x,y,z) = 0\} \subset U \subset \Rb^3 \setminus \{(0,0,0)\}$, conclu\'\i mos que $M$
  é uma subvariedade de $\Rb^3$ de dimensão 2.
  
\medskip

\item Determine uma base para o espaço tangente
  $T_{(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2},1)}M$
  \marginpar{\ \ \ \ (3 val.)}%
  e outra para o espaço normal $(T_{(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1)}M)^\perp$.

  \medskip
  
  \textbf{Resolução:} A  (\'unica) linha da matriz $Df(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1)$ \'e igual ao gradiente $\nabla f
  (\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1) = (\sqrt{2},\sqrt{2},-2)$
e  gera o espaço normal
   $(T_{(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1)}M)^\perp$. O espaço
  tangente é o plano em $\Rb^3$ definido pela equação $\nabla f (\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1) \cdot (x,y,z) = 0$.  Como
  $(\sqrt{2},0,1)$ e $(0,\sqrt{2},1)$ são vectores tangentes e não
  co-lineares resulta que $\{(\sqrt{2},0,1), (0,\sqrt{2},1)\}$ é uma base de
  $T_{(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1)}M$.

  \medskip

\item Calcule a massa de $M$ 
  \marginpar{\ \ \ \ (2,5 val.)}%
  sabendo que a sua densidade é dada por $\sigma(x,y,z) = z$.

  \medskip
  
  \textbf{Resolução:} O conjunto $M$ é o gráfico da função $g(x,y) =
  \sqrt{x^2 + y^2}$ de classe $C^1$ definida no aberto $V = \{(x,y) \in \Rb^2 : 0 <
  \|(x,y)\| < 2\}$.  
Temos ent\~ao que
\begin{eqnarray*}
\varphi \ : \ V &\rightarrow& \Rb^3 \\
%\nonumber
\varphi (x,y) &=& (x,y,g(x,y)) = (x,y,\sqrt{x^2+y^2}),
\end{eqnarray*}
é  uma parametrização de $M$, e portanto 
  \begin{align*}
    \text{Massa de M} &= \int_M \sigma \\
    &= \int_V \sigma \circ \varphi \cdot \sqrt{\det D\varphi^t D\varphi} \\
    &= \int_V g \cdot \sqrt{1 + \left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)^2} \\
    &= \int_V \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2}} \\
    &= \int_V \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{2} & & \text{usando coordenadas polares}\\
    &= \sqrt{2}\int_0^{2}\int_{-\pi}^{\pi} r r \, d\theta dr \\
    &= \sqrt{2}\,\frac{16}{3}\pi.
  \end{align*}

  \newpage
  
\item Determine o ponto da intersecção
    \marginpar{\ \ \ \ (3 val.)}%
    de $M$ com o plano 
    $$\{(x,y,z) \in \Rb^3 : z = \frac{1}{2}(1-x)\}$$
    onde a densidade $\sigma(x,y,z) = z$ é  máxima.  Justifique.

    \medskip
    
    \textbf{Resolução:} Designe-se por $C$ a intersecção de $M$ com  o
     plano referido.  Tem-se que $(x,y,z) \in C$ se e só se
    $$
    x^2 + y^2 = z^2 \quad \text{e} \quad z = \frac{1}{2}(1-x).
    $$
    Logo $x^2 + y^2 = (1-x)^2/4$ ou seja
    $\frac{9}{4}\left(x+\frac{1}{3}\right)^2 + 3y^2 = 1$.  Portanto
    $C$ é a imagem de uma elipse no plano $\Rb^2$ por uma função
    contínua.  Como as elipses são conjuntos fechados e limitados,
    resulta que $C$
    é um conjunto fechado e limitado.  Portanto $\sigma : C \to \Rb$
    tem (pelo menos) um máximo é um mínimo.  
        Para determinar o valor máximo usamos o método dos
    multiplicadores de Lagrange.  O conjunto $C$ é um conjunto de
    nível da função de classe $C^1$ em $\Rb^3$, $F(x,y,z) = (x^2+y^2 -z^2,2z +x)$,
    $$
    C = \{(x,y,z) \in \Rb^3 : x^2+y^2 -z^2 =0 \,,\, 2z +x = 1\}.
    $$
    Concluímos que se $(x,y,z) \in C$ é um extremo de
    $\sigma$, então existem $\lambda_1$ e $\lambda_2$ tais que
$$
    \begin{array}{rcl}
0 &=& 2\lambda_1 x + \lambda_2\\
0 &=&  2\lambda_1 y\\
1 &=& -2 \lambda_1 z + 2 \lambda_2\\
x^2+y^2-z^2&=&0\\
2z+x &=&1
    \end{array}
$$
Da 2ª equação concluímos que $\lambda_1=0$ ou $y=0$. Substituindo
$\lambda_1=0$ na  1ª equação obtemos $\lambda_2=0$. Substituindo
$\lambda_1=\lambda_2=0$ na 3ª equação obtemos $1=0$ pelo que
$\lambda_1$ não pode ser igual a zero. Suponhamos então que $y=0$.
Substituindo na 4ª equação obtemos $x^2=z^2$, i.e. $z=x$ ou 
$z=-x$. Substituindo na última equação obtemos   
$2x = 1-x \Leftrightarrow x= \frac 13$, ou 
$-2x = 1-x \Leftrightarrow x=  -1$. Temos portanto dois pontos
de $C$, $P_1 = (\frac 13 , 0, \frac 13)$ e $P_2 = (-1,0,1)$
que são, respectivamente,  o mínimo e o máximo de $\sigma = z$.
O valor máximo da densidade é $\sigma (-1,0,1)=1$.


    \end{enumerate}



\item Seja $S$ a superfície
  $$
  S= \{(x,y,z) \in \Rb^3 : x^2 + y^2 -z^2 = 4 , \, 0<z < 2\}$$
  e
  $\boldsymbol{\eta}(x,y,z)$ a normal unitária em $S$ cuja terceira
  componente é positiva.  Considere os campos vectoriais
  $$
  \mathbf{F}(x,y,z) = (-xz,xz^2-x^3,z^2)
  \quad\text{e}\quad\mathbf{G}(x,y,z)
  =\left(\frac{zy}{x^2+y^2},-\frac{zx}{x^2 +y^2},0\right).$$
    Calcule
  \begin{enumerate}[(a)]
  \item o fluxo de $\mathbf{F}$ 
    \marginpar{\ \ \ \ (3 val.)}%
    através de $S$ no sentido de $\boldsymbol{\eta}$.

    \medskip
    
    \textbf{Resolução:} Consideremos o aberto $\Omega = \{(x,y,z)\in\Rb^3
    :  x^2 +y^2 < z^2+4\,,\, 0<z<2\}$.  Tem-se $\partial \Omega
    = S \cup D_1 \cup D_2$, em que $D_1 = \{(x,y,z)\in\Rb^3: z=0 \, , \, x^2+y^2 \leq
    4\}$ e $D_2 = \{(x,y,z)\in\Rb^3: z=2 \, , \, x^2+y^2 \leq 
    8\}$.  Aplicando o teorema de divergência e observando que
    $-\boldsymbol{\eta}$ é o vector normal unitário \textit{exterior},
    obtem-se
    \begin{align*}
      \text{Fluxo de $\mathbf{F}$ através de $S$ no sentido de $\boldsymbol{\eta}$} &= 
      \int_S \mathbf{F}\cdot\boldsymbol{\eta} \\
      &=-\int_\Omega \div \mathbf{F} +\int_{D_1} \mathbf{F}\cdot (0,0,-1) +\int_{D_2} \mathbf{F}\cdot (0,0,1) \\
      &= -\int_\Omega z -\int_{D_1} z^2 +\int_{D_2} z^2 \\
      &= - \int_0^2\int_{-\pi}^\pi \int_0^{\sqrt{4+z^2}} z r \, dr d\theta dz + \int_{D_2} 4 \\
      &= -12\pi + 4 \cdot 8\pi = 20\pi.
    \end{align*}

    \medskip

  \item o fluxo de $\rot \mathbf{G}$
    \marginpar{\ \ \ \ (3 val.)}%
    através de $S$ no sentido de $\boldsymbol{\eta}$.

\medskip

\textbf{Resolução:} Aplicamos o teorema de Stokes. A fronteira da superfície $S$ é  $\partial S = C_1 \cup C_2$, em que $C_1 =
\{(x,y,z)\in \Rb^3 : z=0, \, x^2+y^2 = 4\}$ e 
$C_2 =
\{(x,y,z)\in \Rb^3 : z=2, \, x^2+y^2 = 8\}$.  $C_2$ tem uma parametrização
$h_2(\theta) = (\sqrt{8}\cos\theta,\sqrt{8}\sen\theta,2)$ e $C_1$ tem
uma parametrização $h_1(\theta)= (2\cos\theta,-2\sen\theta,0)$, em que
$-\pi\leq \theta\leq\pi$.  Além disso, estas parametrizações são
compatíveis com a orientação associada ao vector $\boldsymbol{\eta}$.
Usando o teorema de Stokes, obtém-se
\begin{align*}
  \left.\begin{cases}
    \text{Fluxo de $\rot \mathbf{G}$ através} & \\    
    \text{de $S$ no sentido de $\boldsymbol{\eta}$} & 
  \end{cases}\right\}
 &= \int_S \rot \mathbf{G}\cdot\boldsymbol{\eta} \\
  &= \int_{\partial S} \mathbf{G}\cdot d\mathbf{g} 
= \int_{C_1} \mathbf{G}\cdot d\mathbf{h_1} + \int_{C_2} \mathbf{G}\cdot d\mathbf{h_2}
\\
  &= \int_{-\pi}^\pi \mathbf{G}\circ h_1(\theta)\cdot h_1'(\theta) + \mathbf{G}\circ h_2(\theta)\cdot h_2'(\theta) \, d\theta  \\
  &= \int_{-\pi}^\pi \left(\frac{2\sqrt{8}\sen\theta}{8},-\frac{2\sqrt{8}\cos\theta}{8},0\right)\cdot (-\sqrt{8}\sen\theta,\sqrt{8}\cos\theta,0)  \, d\theta  \\ 
&= \int_{-\pi}^\pi -2 \, d\theta = -4\pi.
\end{align*}
\medskip

  \end{enumerate}

\item Seja $D = \{(x,y,z)\in\Rb^3 :x^2 + y^2 +z^2 < 1\}$.
\marginpar{\ \ \ \ (3 val.)}% 
Dada uma função $f : \Rb^4 \to \Rb$ declasse $\mathcal{C}^2$ tal que
$$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial
  z^2},$$ para $(x,y,z) \in D$ e $t>0$, mostre que
\begin{align*}
\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}\iiint_D f^2\, dx dy dz &=
-\iiint_D\left\|\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial
      f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)\right\|^2 \,dx
dy dz \\ &\qquad \qquad + \int_{\partial D}f \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial
      f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)\cdot \eta_{\text{ext}}\, dS,
\end{align*}
onde $\eta_{\text{ext}}$ é a normal unitária em $\partial D$, exterior a $D$.

\medskip

\textbf{Resolução:} Seja $F(t) = \frac{1}{2}\iiint_D f^2\, dx dy dz$.
Consideremos o compacto $\Bar D$ (fecho de $D$). As funções 
$f^2$ e $\frac {\partial f^2}{\partial t} = 2 f \frac {\partial f}{\partial t}$ 
são contínuas em $\Bar D \times ]0,\infty[$ pelo que a função
$F$ está definida em $]0,\infty[$, é de classe $C^1$ e a ela aplica-se 
a regra de Leibnitz. Temos então,
\begin{align*}
  F'(t_0) &= \frac{d F}{dt}(t_0) \\
  & =\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(\iiint_D f^2\, dx dy dz\right)(t_0) \\
  &=
  \iiint_D f(x,y,z,t_0)\frac{\partial f}{\partial t}(x,y,z,t_0)\, dx dy dz  \\
  &=\iiint_D f(x,y,z,t_0)\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +
    \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial
      z^2}\right)(x,y,z,t_0)\, dx dy dz  \\
  &= \iiint_D \left[\div \left(f\frac{\partial f}{\partial
        x},f\frac{\partial f}{\partial y},f\frac{\partial f}{\partial
        z}\right)(x,y,z,t_0) - \left\|\left(\frac{\partial f}{\partial
          x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial
          z}\right)\right\|^2(x,y,z,t_0) \right] \, dx dy dz \\
  &= - \iiint_D \left\|\left(\frac{\partial f}{\partial
        x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial
        z}\right)\right\|^2(x,y,z,t_0)  \, dx dy dz + \\
  &\qquad \iiint_D \div \left(f\frac{\partial f}{\partial
      x},f\frac{\partial f}{\partial y},f\frac{\partial f}{\partial
      z}\right)(x,y,z,t_0) \, dx dy dz \\
  &= - \iiint_D \left\|\left(\frac{\partial f}{\partial
        x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial
        z}\right)\right\|^2(x,y,z,t_0)  \, dx dy dz + \\
  &\qquad \iiint_{\partial D} \left(f\frac{\partial
      f}{\partial x},f\frac{\partial f}{\partial y},f\frac{\partial
      f}{\partial
      z}\right)(x,y,z,t_0)\cdot \eta_{\text{ext}}(x,y,z,t_0 )\, dS \quad  \text{pelo teorema de divergência.} \\
\end{align*}

\end{enumerate}


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