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% Instituicao
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%

\begin{document}

Existe um $n\in \N$ tal que o caminho fechado $\Gamma$,
obtido 
percorrendo primeiro
$L_2$ como indicado e depois $L_1$ no sentido
oposto ao indicado, i.e. com in\'\i cio em $P_2$ e fim
em $P_1$,
\'e homot\'opico em $D=\Rē \setminus \{(-1,1)\}$ ao caminho
fechado $C_n$ correspondente a percorrer 
a circunfer\^encia, 
$$
C=\left\{(x,y) \in \R^2 \ : \ (x+1)^2+(y-1)^2=1\right\}, 
$$
$n$ vezes no sentido anti-hor\'ario 
[percorrer $C$ um n\'umero negativo, $n=-m<0$,
de vezes no sentido anti-hor\'ario significa percorrer
a mesma curva $m$ vezes no sentido hor\'ario].

Como o campo $F$ \'e de classe $C^1$ e fechado em $D$ temos
ent\~ao
\begin{eqnarray}
\nonumber
\int_{L_2} {\bf F} \cdot d{\bf g_2} - 
\int_{L_1} {\bf F} \cdot d{\bf g_1}
 \ &=& \ \int_\Gamma {\bf F} \cdot d{\bf g}_\Gamma =
\int_{C_n} {\bf F} \cdot d{\bf g}_{\bf C_n} = \\
&=& n \int_{C_1} {\bf F} \cdot d{\bf g}_{\bf C_1} ,
\nonumber
\end{eqnarray}
Escolhendo $\alpha = \int_{C_1} {\bf F} \cdot d{\bf g}_{\bf C_1}$
obtemos a igualdade pretendida.

 





\end{document}

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