I. Integrais Múltiplos

1. Introdução aos integrais múltiplos. Intervalos em Rⁿ. Funções em escada e integrais de funções em escada. Recordar integral de Riemann de funções limitadas em intervalos compactos de R (Teorema Fundamental do Cálculo).
   
   
2. Definição e propriedades de conjuntos de contéudo nulo e de medida nula. Exemplos.
   
   
3. Funções limite superior. Integrais de funções limite superior. Exemplos, incluindo funções contínuas em intervalos compactos de Rⁿ.
   
   
4. Funções Integráveis. Propriedades. Exemplos.
   
   
5. Teorema de Fubini. Exemplos. Aplicação ao cálculo de volumes, centróides, massas (cargas eléctricas), centros de massa, momentos de inércia.
   
   
6. Mudanças de variáveis de integração e aplicações. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.
   

II. Curvas e Integrais de Linha

1. Curvas e caminhos. Exemplos. Propriedades. Comprimento. Integrais de linha de campos escalares. Aplicações ao cálculo de massas de filamentos, etc.
   
   
2. Integrais de linha de campos vectoriais. Trabalho de uma força.
   
   
3. Conjuntos conexos por arcos. Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Conservação de energia mecânica. Campos gradientes e campos potenciais.
   
   
4. Condições necessárias e suficientes para que um campo vectorial seja gradiente. Cálculo de funções potenciais.
   
   
5. Homotopia. Invariância de integrais de campos fechados sobre caminhos homotópicos. Teorema de Green.

III. Teoremas da Função Inversa e da Função Implícita

1. Teorema da função inversa e aplicações.
   
   
2. Teorema da função implícita e aplicações.
   
   

IV. Variedades Diferenciais

1. Motivação da noção de variedade diferencial. Definição. Variedades definidas parametricamente. Exemplos.
   
   
2. Variedades como gráficos de funções e como conjuntos de nível. Variedades definidas por equações Cartesianas. Espaço tangente e espaço normal. Exemplos.
   
   
3. Extremos condicionados. Método dos multiplicadores de Lagrange.

V. Integrais sobre Variedades

1. Comprimentos, áreas, volumes.
   
   
2. Integrais em variedades. Relevo para o caso de superfícies em R³.
   
   

VI. Teoremas da divergência e de Stokes

1. Domínios regulares, normal exterior. Teorema da divergência. Exemplos.
   
   
2. Interpretação geométrica e física da divergência. Fluxos de campos vectoriais através de superfícies orientáveis em R³. Lei de Gauss.
   
   
3. Teorema de Stokes em R³. Interpretação geométrica e física do rotacional. Exemplos.
   
   
4. Propriedades da divergência, rotacional e gradiente. Equações de Maxwell do Electromagnetismo. Leis de Ampère, Faraday.

VII. Complementos de Cálculo Integral e Aplicações

1. Recordar brevemente noção de função limite superior e de função integrável. Problema do cálculo de integrais de funções ilimitadas e/ou de integrais em regiões ilimitadas. Teorema da convergência monótona de Levi. Aplicações incluindo funções potência.
   
   
2. Teorema da convergência dominada de Lebesgue. Aplicações incluindo a função Gama.
   
   
3. Continuidade de funções definidas por integrais. Derivação de funções definidas por integrais. Regra de Leinbniz. Exemplos.
   
   

Bibliografia

• Anton, Bivens &  Davies, Calculus, John Wiley, 2002.
  

• T. Apostol, Calculus II, John Wiley, 1967.
  

• L. Magalhães, Integrais Múltiplos, Texto Ed., 1996.

• L. Magalhães, Integrais em Variedades e Aplicações, Texto Ed., 1993.

• G. Pires, Textos de Apoio em  http://www.math.ist.utl.pt/~gpires/AMIII/Textos/textos.html
  

• Spivak, Calculus on Manifolds, Addison-Wesley, 1965.

• Stewart, Cálculo II, Thomson Learning, 1999.