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\newcommand{\sen}{\operatorname{sen}}

\renewcommand{\arraystretch}{1.3}

\begin{document}
%\pagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large{\bf Análise Matemática III \\

$1^{\text{\underline{o}}}$ semestre de 2001/02}}\\



\end{center}

\vspace{1cm} \noindent {\large{\bf Exercício Teste 13}}

No ano 2150 o trânsito em Lisboa tornou-se caótico ! Na verdade, é preciso
recuar ao longínquo ano de 2113 --- ano em que o automóvel foi finalmente substituído pelo disco voador --- para encontrar congestionamentos desta magnitude.

Para obviar a 
esta grave situação, o presidente da edilidade alfacinha, Celestino
Gaudêncio, decidiu levar a cabo uma alteração dos sentidos do trânsito em
algumas das principais artérias da cidade de Ulisses. No ponto de confluência
de todas as vias afectadas está o conhecido ``Hiperbolóide de Pombal'', onde 
os técnicos camarários  esperavam que viessem a sentir-se melhorias imediatas na 
circulação, enquanto os adversários de Celestino previam que viesse a dar-se um
estrangulamento do tráfego que provocasse o estrangulamento político do conhecido autarca.

À hora de ponta do  dia de entrada em funcionamento do novo esquema de trânsito, Celestino 
decidiu enviar para o ``Hiperbolóide de Pombal'' o mais qualificado agente da divisão de trânsito da polícia, Firmino Gaudêncio\footnote{seu primo direito},
a fim de aferir o sucesso do mesmo. O Agente Gaudêncio --- como Firmino é conhecido nos meios policiais --- destacou-se na Academia de Polícia por ter tido 20
valores no exame de AMIII, que desde há muitos anos é obrigatório para aceder à
divisão de trânsito. Trinta segundos depois de chegar ao local, Firmino já tinha 
a resposta para as interrogações do seu primo.

Sabendo que o ``Hiperbolóide de Pombal'' --- esse ex-líbris da cidade de Lisboa
--- tem a forma do conjunto
\[
\operatorname{HP}=\left\{(x,y,z)\in\bbr^3: x^2+y^2=1+z^2,\,\,-1<z<1 \right\},
\]
que as densidades de fluxo do trânsito, antes  e depois da entrada em vigor
das medidas de Celestino, são  dadas por
\[ 
f_{ac}(x,y,z)=10^5(x,-y,-z)
\]
e
\[
f_{dc}(x,y,z)=f_{ac}(x,y,z)+(1,-1,2x-2y),
\]
respectivamente, determine os valores obtidos pelo Agente Gaudêncio para o 
número discos voadores  que saem do ``Hiperbolóide de Pombal'' por unidade de tempo ({\em i.e.} calcule o fluxo do campo):
\begin{enumerate}[(a)]
\item antes das medidas de Celestino, usando o teorema da divergência;
\item depois das medidas de Celestino, usando o resultado de (a) e o teorema de Stokes.
\end{enumerate}
\bigskip


\noindent
{\bf Solução:}
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Consideremos as superfícies planas
\begin{align*}
P_1 &= \left\{(x,y,z)\in\bbr^3: x^2+y^2 \leq 2,\,\,z=1\right\}\\
P_0&= \left\{(x,y,z)\in\bbr^3: x^2+y^2 \leq 2,\,\,z=-1\right\},
\end{align*}
e seja $V$ o sólido limitado por $\operatorname{HP}$, $P_1$ e $P_0$:
\[
V=\left\{(x,y,z)\in\bbr^3: x^2+y^2 < 1+z^2,\,\,-1<z<1 \right\}.
\]

Aplicando o teorema da divergência, vem
\[
\iiint_V\nabla\cdot f_{ac} = \iint_{\operatorname{HP}}f_{ac}\cdot n +
\iint_{P_1}f_{ac}\cdot n + \iint_{P_0}f_{ac}\cdot n,
\]
onde $n$ é a normal unitária exterior a $V$. Atendendo a que $n=(0,0,1)$
em $P_1$, e $n=(0,0,-1)$ em $P_{0}$, obtemos
\begin{align*}
\iint_{\operatorname{HP}}f_{ac}\cdot n &= \iiint_V\nabla\cdot f_{ac}
- \iint_{P_1}f_{ac}\cdot n - \iint_{P_0}f_{ac}\cdot n\\
&=\iiint_V-10^5 -\iint_{P_1}(-10^5)-\iint_{P_0}(-10^5)\\
&=-10^5\int_{-1}^1\left(\int_0^{\sqrt{1+z^2}}\left(\int_0^{2\pi}
\rho d\theta\right)d\rho\right)dz+10^5vol_2(P_1)+10^5vol_2(P_0)\\
&=-10^5\pi\int_{-1}^1(1+z^2)dz + 4\pi 10^5\\
&=\frac{4}{3}\pi 10^5.
\end{align*}

\item
Seja $F(x,y,z)=(1,-1,2x-2y)$.
Da igualdade $f_{dc}(x,y,z)=f_{ac}(x,y,z)+F(x,y,z)$
e do resultado da alínea (a), vem
\begin{align*}
\iint_{\operatorname{HP}}f_{dc}\cdot n &= 
\iint_{\operatorname{HP}}f_{ac}\cdot n + \iint_{\operatorname{HP}}F\cdot n\\
&= \frac{4}{3}\pi 10^5 + \iint_{\operatorname{HP}}F\cdot n.
\end{align*}

Pretendemos agora aplicar o teorema de Stokes para calcular o fluxo
do campo vectorial $F$. 
Note-se que $\nabla \cdot F=0$. Como  $F$ está definido em
$\bbr^3$, que é um conjunto em estrela, concluímos que $F$ é um campo
rotacional. Se $A$ é um potencial vector para $F$, i.e., se 
$F= \nabla \times A$, então devemos ter
\[
\left\{ \begin{array}{l}
        \frac{\partial A_3}{\partial y} - \frac{\partial A_2}{\partial z} 
 =  1 \\
        \frac{\partial A_1}{\partial z} - \frac{\partial A_3}{\partial x} 
 =  -1 \\
        \frac{\partial A_2}{\partial x} - \frac{\partial A_1}{\partial y} 
 =  2x-2y
        \end{array} \right. 
\]
Como é sabido, o facto de o potencial vector estar definido a menos de
um gradiente permite-nos sempre supor que uma das
componentes deste se anula. Escolhemos por exemplo $A_1=0$. 
Então obtemos
\[
\left\{ \begin{array}{l}
        \frac{\partial A_3}{\partial x}  =  1 \\
        \frac{\partial A_2}{\partial x}  =  2x-2y \\
        \frac{\partial A_3}{\partial y} - \frac{\partial A_2}{\partial z}
  =  1
        \end{array} \right. 
\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
        A_3 =  x + f(x,y)  \\
        A_1  = x^2-2xy + g(x,y) \\
        \frac{\partial f}{\partial y}  =  1
        \end{array} \right.
\]
Portanto podemos por exemplo escolher $g=0$ e $f=y$. Um potencial vector 
para $F$ é então
\[
A=(0,x^2-2xy,x+y).
\]

Aplicando o teorema de Stokes, vem
\[
\iint_{\operatorname{HP}}F\cdot n = 
\iint_{\operatorname{HP}}\nabla\times A\cdot n =
\int_{\partial\operatorname{HP}}A\cdot d\alpha,
\]
onde $\alpha$ é um caminho que percorre $\partial\operatorname{HP}$ no sentido
compatível com a normal exterior $n$.
Ora, 
\begin{align*}
\partial\operatorname{HP}
 & =  C_1\cup C_0\\ 
& = \left\{(x,y,z)\in\bbr^3: x^2+y^2 = 2,\,\,z=1\right\}
\cup \left\{(x,y,z)\in\bbr^3: x^2+y^2 = 2,\,\,z=-1\right\},
\end{align*}
pelo que $\alpha$ percorre $C_1$ no sentido horário e
$C_0$ no sentido anti-horário, quando visto do ponto $(0,0,2)$. 
Assim, temos
\begin{align*}
\int_{\partial\operatorname{HP}}A\cdot d\alpha   = &
\int_0^{2\pi}A(\sqrt{2}\cos t,-\sqrt{2}\sen t,1)
\cdot(-\sqrt{2}\sen t,-\sqrt{2}\cos t,0)dt\\
&+ \int_0^{2\pi}A(\sqrt{2}\cos t,\sqrt{2}\sen t,-1)
\cdot(-\sqrt{2}\sen t,\sqrt{2}\cos t,0)dt\\
  = &\,  0.
\end{align*}

Concluímos que $\iint_{\operatorname{HP}}f_{dc}\cdot n = \frac{4}{3}\pi 10^5$,
pelo que as medidas de Celestino não alteraram a situação.
\end{enumerate}







\end{document}

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