%&latex
\documentclass[a4paper,10pt,draft]{article}


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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\lra}{\longrightarrow}
\newcommand{\cc}{{\c{c}}}
\newcommand{\ii}{{\'{\i}}}
\newcommand{\sen}{\operatorname{\text{sen}}}
\renewcommand{\cos}{\operatorname{\text{cos}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{\text{det}}}


\begin{document}


% \def\testjob{resteste7}
% \def\solutionname{resteste7 }
% \edef\thisJobName{\jobname}
% \edef\thisJobName{\meaning\thisJobName}
% \edef\testjob{\meaning\testjob}
% \newif\ifsolution
% \ifx\thisJobName\testjob
%  \solutiontrue
%  \else
%  \solutionfalse
% \fi


\thispagestyle{empty}
%\sffamily
\begin{center} 
{\Large{\bf \sf An\'alise Matem\'atica III} \\
\vspace{.5cm}
\large{\sf 1${}^{\text{\underline{o}}}$ semestre de 2005/2006}}\\
\end{center}

\vspace{1cm} 

\noindent {\large{\bf \sf %
Exerc\'{\i}cio Teste 7}} (a entregar na semana de 7/11/2005)

\vspace{.5cm} 

\begin{enumerate}[1.]
\item Use os teoremas de mudan\c{c}a de coordenadas e da fun\c{c}\~ao
  inversa para calcular
$$\int_U e^{x^2 + y^2 -x^2y^2}\sqrt{1-x^2}$$ 
em que $U = \{(x,y) \in \R^2 \, |\, 0 < x < 1 \text{ e } 0 < y < 1\}$.

\noindent\textit{Sugest\~ao:} Considere a aplica\c{c}\~ao $\Phi(x,y) = (x,y\sqrt{1-x^2})$.

\end{enumerate}

%\ifsolution \immediate\write16{running resolution }

\vspace{1cm}
  
\noindent{\large\bf Resolu\c{c}\~ao:} 

\begin{enumerate}[1.]
\item Considere a fun\c{c}\~ao $\Phi: U \to \R^2$ dada por
\begin{equation}
\label{vv}
\Phi \ : \ \left\{
\begin{array}{lcl}
u & = & x\\
v & = & y \sqrt{1-x^2} , \qquad (x,y) \in U. 
\end{array}
\right.
\end{equation}
 Tem-se que $\Phi$ \'e (i) de classe
  $\mathcal{C}^1$, (ii) injectiva, e (iii) $\det D\Phi =
  \sqrt{1-x^2}\neq 0$ para cada $(x,y) \in U$.  Pelo teorema da
  fun\c{c}\~ao inversa, o subconjunto $V = \Phi(U) \subseteq \R^2$ \'e
  aberto e existe uma fun\c{c}\~ao inversa $\Psi : V \to U$ de classe
  $\mathcal{C}^1$.
\footnote{Observemos que, neste exemplo, a fun\c c\~ao inversa
$\Psi$ pode ser encontrada facilmente de forma expl\'\i cita,
$\Psi \ : \ V \rightarrow \R^2,$ com $\Psi(u,v) = (u,v/\sqrt{1-u^2})$.}
 Seja $f$ a fun\c c\~ao integranda,
  $$f(x,y) = e^{x^2 + y^2 -x^2y^2}\sqrt{1-x^2}.$$  Pelo teorema de
  mudan\c{c}a de coordenadas obt\'em-se
  \begin{equation}
\label{vv2}
\int_U f(x,y) = \int_{\Psi(V)}f(x,y) = 
  \int_V f\circ\Psi(u,v) |\det D\Psi(u,v)|.
\end{equation}

%  Seja $\Psi(u,v) = \bigl(\psi_1(u,v),\psi_2(u,v)\bigr)$.  

Do teorema da fun\c c\~ao inversa obtemos,
  $$|\det D\Psi(u,v)| = |\det D\Phi(x,y)|_{(x,y)=\Psi(u,v)}^{-1} =
  \bigl(1-x^2\bigr)^{-1/2} = \bigl(1-u^2\bigr)^{-1/2}.$$
  Por outro lado, para a fun\c c\~ao integranda,
$f(x,y)$,
vemos de (\ref{vv}) que
$$
\left(f \circ \Psi\right)(u,v) = e^{u^2 + v^2} \ \sqrt{1-u^2}
$$
e portanto
$$
 \left(f\circ\Psi\right)(u,v) |\det D\Psi(u,v)| = e^{u^2 + v^2}.
$$

Vejamos agora qual a imagem da regi\~ao de integra\c c\~ao. 
A fronteira de $U$ \'e constitu\'\i da por quatro segmentos
de recta, $$\partial U = C_1 \cup C_2 \cup C_3 \cup C_4
= [0,1]\times \{0\} \cup \{1\}\times [0,1] \cup [0,1]\times \{1\} \cup \{0\}\times [0,1].$$
A imagem por $\Phi$ da fronteira de $U$ \'e a fronteira  de 
$V=\Phi(U)$. Uma vez que para conhecer $V$ basta conhecer a sua fronteira
determinemos $\partial V = \Phi(\partial U)$.
De (\ref{vv}) obtemos
\begin{eqnarray}
\nonumber \Phi(C_1) &=& \Phi([0,1]\times\{0\}) =
\left\{(u,0), \ 0\leq u\leq 1\right\} = [0,1] \times \{0\} \\
\nonumber \Phi(C_2) &=& \Phi(\{1\} \times[0,1]) = \{(1,0)\}\\
\nonumber \Phi(C_3) &=& \Phi([0,1]\times\{1\}) =
\left\{(x,\sqrt{1-x^2})), \ 0\leq x\leq 1\right\} \\
\nonumber \Phi(C_4) &=& \Phi(\{0\} \times [0,1]) =
\left\{(0,v), \ 0\leq v\leq 1\right\} = \{0\} \times [0,1] . 
\end{eqnarray}
Vemos que $\Phi(C_3)$ é o arco da circunferência, $x^2+y^2=1$,
com $x\geq 0, y\geq 0$ e a união destes $4$ conjuntos coincide
com a fronteira da região 
$$
V = \left\{(u,v) \in \R^2 \ : \ u^2+v^2 < 1 ; \ u>0; \ v>0\right\}.
$$
Temos então, do teorema de mudança de coordenadas,
que
$$
\int_U f(x,y) = \int_V e^{u^2+v^2} .
$$



 % Para cada $b \in \; ]0,1[$ considere o segmento horizontal $S_b
%   =\{(x,b) \in U \, |\, 0 < x < 1\}$.  Tem-se $(u,v) = \Phi(x,b) = (x,
%   b\sqrt{1-x^2})$.  Logo $\Phi(S_b)$ pertence ao elipse $u^2 +
%   \frac{v^2}{b^2} = 1$, e segue-se que
%   $$V= \{(u,v) \in \R^2 \,|\, u^2 + v^2 < 1, 0< u < 1 
%   \text{ e } 0 < v < 1\}.$$

 Usando novamente o teorema de mudan\c{c}a de
  coordenadas, com $(u,v) = (r \cos \theta, r \sen \theta)$, obt\'em-se
  \begin{align*}
    \int_U e^{x^2 + y^2 -x^2y^2}\sqrt{1-x^2} &= \int_V e^{u^2 + v^2}
    \\
    &= \int_0^1\int_0^{\pi/2} e^{r^2} r \, d\theta dr \\
    &= \frac{\pi}{4}(e- 1).
  \end{align*}
\end{enumerate}


%\else 

% \immediate\write16{Para fazer uma resolucao deve escrever latex
%   -jobname=\solutionname \jobname} \fi

% \immediate\write16{testjob:\testjob}
% \immediate\write16{thisJobName:\thisJobName}

\end{document}