\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{a4wide}
\usepackage[latin1]{inputenc}


\newcommand{\bbr}{\mathbb{R}}
\newcommand{\bbn}{\mathbb{N}}
\newcommand{\bbq}{\mathbb{Q}}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large{\bf Análise Matemática III \\

$1^{\text{\underline{o}}}$ semestre de 2001/02}}\\

\end{center}

\vspace{1cm} \noindent {\large{\bf Exercício Teste 4}}

\bigskip
Jack Gaudêncio é sobrinho do senhor Gaudêncio do exercício 2, trabalha num Dunkin Donuts
na Ferry Street, em Newark, e é um apaixonado por física. Um dia, enquanto estudava para a
cadeira de Physics 331, Jack resolveu calcular o momento de inércia $I_L$ de um dos seus donuts
preferidos em relação a um eixo natural de simetria $L$. Após observação atenta à saída do forno,
concluiu que o donut tem a forma do seguinte subconjunto de $\bbr^3$
\[
D=\{(x,y,z)\in \bbr^3 : (\sqrt{x^2+y^2}-3)^2+z^2\leq 1\},
\]
sendo $L$ o eixo $Oz$. Atendendo à composição peculiar do donut, que envolve vários tipos de
recheio e cobertura, Jack determinou que a função densidade de massa de $D$ é dada por 
$\sigma(x,y,z)=\sqrt{1-(\sqrt{x^2+y^2}-3)^2}$. Determine o valor do momento de inércia $I_L$ que
Jack deveria ter obtido.


\bigskip

\noindent
{\bf Solução:}
Como Jack bem sabe, o  momento de inércia $I_L$ obtém-se calculando o integral triplo seguinte
\[
I_L=\iiint_D(x^2+y^2)\sigma(x,y,z)dx\,dy\,dz.
\]
O {\em donut} $D$ é um sólido com simetria cilíndrica pelo que resolveu imediatamente usar {\em coordenadas 
cilíndricas}. Depois de algum tempo, lembrou-se que o Jacobiano destas coordenadas é $\rho$ e obteve
\[
I_L=\int_0^{2\pi}\left(\int_{-1}^1\left(\int_{3-\sqrt{1-z^2}}^{3+\sqrt{1-z^2}}\rho^2\sqrt{1-(\rho-3)^2)}\,\rho\,d\rho\right)dz\right)d\theta.
\]

Apesar de ser um cromo a Math 303 ({\em i.e.} AMIII), Jack achou este integral complicado. Foi então que pensou
``Dude, this is like easy'' e resolveu inverter a ordem de integração de $z$ e $\rho$, obtendo
\begin{align*}
I_L&=\int_0^{2\pi}\left(\int_2^4\left(\int_{-\sqrt{1-(\rho-3)^2}}^{\sqrt{1-(\rho-3)^2}}
\rho^2\sqrt{1-(\rho-3)^2}\,\rho\,dz\right)d\rho\right)d\theta\\
&=
2\pi\int_2^42\rho^3(1-(\rho-3)^2)d\rho\\
&=4\pi\int_2^4(6\rho^4-\rho^5-8\rho^3)\\
&=4\pi\left[\frac{6\rho^5}{5}-\frac{\rho^6}{6}-2\rho^4\right]_2^4\\
&=\frac{768}{5}\pi.
\end{align*} 


\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: