\documentclass[9pt,a4]{article}

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\begin{document}

\begin{center}
{\Large{\bf An\'alise Matem\'atica III \\

$1^{\text{\underline{o}}}$ semestre de 2001/02}}

\end{center}

\vspace{1cm}
\noindent
{\large{\bf Exerc\'{\i}cio teste 2}}

\noindent
1. O Sr. Gaud\^encio tem uma horta rectangular descrita pelo intervalo 
$I = [0,4] \times [1,6] \subset {\mathbb R}^2$. A horta encontra-se sub-dividida em quatro 
rect\^angulos mais pequenos  
$$
I_1 = [0,2] \times [1,2]; I_2 = [0,2] \times [2,6]; I_3 = [2,4] \times [1,2]; I_4 = [2,4] \times [2,6].
$$
Todos estes comprimentos encontram-se em metros ($m$).

Em cada sub-rect\^angulo $I_j$ encontra-se plantada uma esp\'ecie diferente de batata transg\'enica, tal que a 
produ\c c\~ao anual de batata por unidade de \'area \'e respectivamente:
$$
\rho_1 = \pi;\,\, \rho_2 = 3;\,\, \rho_3= \sqrt{2}e;\,\, \rho_4 = 5\,\,\,\,\, ({\rm em \,\,unidades \,\,de} \,\,\,Kg/(m^2 \times ano)).
$$

Utilize uma fun\c c\~ao em escada apropriada e calcule o seu integral para obter a produ\c c\~ao anual de batata 
(em $Kg$) conseguida pelo Sr. Gaud\^encio.

\vspace{1cm}

\noindent
2. Considere o conjunto $E\subset \R^2$ definido por 
$$
E = \{(x,y)\in \R^2 : (x,y)= (e^{-t}\cos (t), e^{-t} {\rm sen}\,(t)), \,t\in [0,+\infty[\}.
$$

Diga se $E$ tem ou n\~ao medida nula e justifique.\\


\noindent
{\bf Solu\c c\~ao:} 

1. Considere-se a parti\c c\~ao do intervalo $I$ dada pelos $I_{j}$ e considere-se a fun\c c\~ao em escada 
$\rho: I \rightarrow {\mathbb R}$ tal que $\rho(x,y)= \rho_j$ se $(x,y)\in int(I_j)$ com 
$$\begin{array}{ccc}
    \rho_{1} & = & \pi\\
    \rho_{2} & = & 3 \\
    \rho_{3} & = & \sqrt{2}e \\
    \rho_{4} & = & 5 \\
\end{array}.$$

Note-se que n\~ao \'e relevante especificarmos o valor da fun\c c\~ao em escada $\rho$ na fronteira dos sub-intervalos 
$I_j$ uma vez que esses valores n\~ao v\~ao afectar o valor do integral. 

Uma vez que a massa de batata em $Kg$ produzida num ano \'e dada pela \'area vezes a produ\c c\~ao por unidade de 
\'area temos:
$$
\int_{I} \rho = \sum_{j=1}^{4} \rho_{j}vol(I_{j}) = \pi \times 2 + 3 \times 8 + \sqrt{2}e \times 2 + 5 \times 8 =
64 + 2 \sqrt{2}e + 2\pi.$$

A produ\c c\~ao anual de batata \'e ent\~ao de $64 + 2 \sqrt{2}e + 2\pi \,\, Kg$.

  O integral \'e obtido pela soma dos volumes-3 de quatro paralelip\'\i pedos-3, $P_j$ com $j=1,2,3,4$, tal que a base de 
cada $P_j$ \'e formada por $\{(x,y,z)\in \R^3: (x,y)\in I_j, z=0\}$ e que a altura de $P_j$ \'e dada por $\rho_j$. 

\vspace{2cm} 

2.
O conjunto $E$ consiste numa espiral que come\c ca no ponto $(1,0)$ e vai dando voltas \`a origem no sentido 
anti-hor\'ario, tal que o seu raio vai diminuindo \`a medida que $t$ aumenta devido ao factor de $e^{-t}$. 

Intuitivamente, esperamos que $E$ tenha medida nula uma vez que \'e uma curva ``bem comportada'' em $\R^2$. 
Para o demonstrar:

Podemos decompor o intervalo $[0,+\infty[$ na uni\~ao dos intervalos $I_k=[k\pi, (k+1)\pi]$ para $k=0,1,2,...$. 
Quando $t\in I_k$ e $k$ \'e par estamos a descrever um arco da espiral que vai desde o semi-eixo positivo dos $x$ at\'e ao 
semi-eixo negativo dos $x$, ou seja um arco que est\'a no semi-plano superior $y\geq 0$. Quando $k$ \'e \'\i mpar 
descrevemos um arco no semi-plano inferior $y\leq 0$. 

Seja $E_k$ o arco da espiral correspondente a $t\in I_k$. Ent\~ao a espiral $E$ \'e a uni\~ao numer\'avel destes arcos,
$$
E = \bigcup_{k=0}^{\infty} E_k.
$$   

Ora, \'e f\'acil de observar que cada cada arco $E_k$ \'e o gr\'afico em $\R^2$ de uma fun\c c\~ao 
cont\'\i nua definida num intervalo compacto contido em $\R$. (A express\~ao expl\'\i cita desta fun\c c\~ao 
\'e dif\'\i cil de obter mas sabemos que ela existe uma vez que para $t\in I_k$ a fun\c c\~ao $x(t) = e^{-t} \cos(t)$ 
\'e injectiva e tem inversa cont\'\i nua.)
Logo, cada um dos arcos $E_k$ tem medida nula e conclu\'\i mos que a uni\~ao numer\'avel de todos eles, ou seja a espiral 
$E$, tamb\'em tem medida nula. 

\end{document}