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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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\begin{document}

\begin{center}
{\Large{\bf An\'alise Matem\'atica III \\

$1^{\text{\underline{o}}}$ semestre de 2001/02}}

\end{center}

\vspace{1cm}
\noindent
{\large{\bf Exerc\'{\i}cio teste 2}} (Entregar na aula pr\'atica da semana de 1/10/01)

\noindent
1. O Sr. Gaud\^encio tem um campo de cultivo rectangular descrito pelo intervalo 
$I = [0,4] \times [1,6] \subset {\mathbb R}^2$. O campo encontra-se sub-dividido em quatro 
rect\^angulos mais pequenos  
$$
I_1 = [0,2] \times [1,2]; I_2 = [0,2] \times [2,6]; I_3 = [2,4] \times [1,2]; I_4 = [2,4] \times [2,6].
$$
Todos estes comprimentos encontram-se em metros ($m$).

Em cada sub-rect\^angulo $I_j$ encontra-se plantada uma esp\'ecie diferente de batata transg\'enica, tal que a 
produ\c c\~ao anual de batata por unidade de \'area \'e respectivamente:
$$
\rho_1 = \pi;\,\, \rho_2 = 3;\,\, \rho_3= \sqrt{2}e;\,\, \rho_4 = 5\,\,\,\,\, ({\rm em \,\,unidades \,\,de} \,\,\,Kg/(m^2 \times ano)).
$$

Utilize uma fun\c c\~ao em escada apropriada e calcule o seu integral para obter a produ\c c\~ao anual de batata 
(em $Kg$) conseguida pelo Sr. Gaud\^encio.

\vspace{1cm}

\noindent
2. Considere o conjunto $E\subset \R^2$ definido por 
$$
E = \{(x,y)\in \R^2 : (x,y)= (e^{-t}\cos (t), e^{-t} {\rm sen}\,(t)), \,t\in [0,+\infty[\}.
$$

Diga se $E$ tem ou n\~ao medida nula e justifique.\\




\end{document}