[b]2.5in
Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
Secção de Álgebra e Análise


Análise Matemática III

2001/2002 -- 2º Exame



Todos os cursos excepto LMAC e LEFT

25 de Janeiro de 2002 -- 17 horas
Duração: 3h




Apresente todos os cálculos
  1. [1.] Calcule o volume do sólido (2.0 val.)
    S = {(x,y,z)Î R3: x2+y2+z2£ 2,  z³ x2+y2}.


  2. Considere a região VÌ R3 definida por
    V = {(x,y,z)Î R3: 0£ z £ x2+y2,  x2+y2£ 1,  x³ 0,  y³ 0}.
    1. [(a)] Escreva uma expressão para o volume de V em (2.0 val.) termos de integrais iterados da forma ò( ò( òdx)dy) dz.
    2. Calcule o momento de inércia de V (2.0 val.) relativamente ao eixo dos x, sabendo que a densidade de massa é dada por a(x,y,z)=x.


  3. Considere o seguinte campo solenóidal (i.e. com divergência nula), definido em R3\{0},
    F =
    1
    (x2+y2+z2)
    3
    2
     
    		(x,y,z)+(x,-y,0).
    1. [(a)] Mostre que F é fechado.(1.5 val.)
    2. Determine se F é um gradiente no seu domínio.(2.0 val.)
    3. Mostre que não existe A:R3\{0}R3 tal que rot(A)=F (i.e. (1.0 val.) F não é um rotacional).




                               Volte S. F. F.
  4. Considere a curva CÌ R3 que é a variedade-1 descrita pelas equações x+y+z=4 e z=x2+y2.
    1. [(a)] Determine quais são os pontos de C (1.0 val.) que têm vizinhanças em que pode garantir ser possível parametrizar C utilizando x como parâmetro.
    2. Calcule dy/dx(1) e dz/dx(1) correspondente ao ponto (1.5 val.) (1,1,2)Î C. Utilize a resposta para determinar um vector tangente a C nesse ponto.


  5. Considere o campo vectorial F(x,y,z)=(yex, -xex, z) e a superfície
    S =
    {(x,y,z)ÎR3: x2+y2+
    z2
    4
    		=1,   z > 0 }.
    		                 
                         
    1. [(a)] Calcule o fluxo de F através de S, no sentido (2.5 val.) da normal unitária n exterior ao sólido V limitado por S e pelo plano z=0, directamente pela definição.
    2. Use a alínea anterior para calcular (2.5 val.) òòòVdiv(F) (se não tiver feito a alínea 5(a), suponha, por exemplo, que SF·n=4/3p).


  6. Seja
    D = { (x,y,l) Î R3 : x2+y2 £ 1 , l > 0 }
    e f : D ® R, a função f(x,y,l) = cos(l(x2+y2)).
    1. [(a)] Calcule F(l) = B f(x,y,l) dxdy, (0.5 val.) onde B = {(x,y) Î R2 : x2+y2 < 1 }.
    2. Considere o integral (1.5 val.)
      H(l) = B (x2 + y2)sen ( l(x2+y2) ) dxdy .
      Usando a regra de Leibniz, calcule H(l). Justifique.
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