Análise Matemática I, 2004/2005 (1º semestre)

Eng. do Ambiente, Eng. Biológica, Eng. Química, Química

Avisos e novidades

Introdução
Texto base
Planeamento e Sumários
Corpo Docente
Horários
Avaliação de conhecimentos
Enunciados de exames
Lista de problemas
Pautas

Esta página refere-se exclusivamente a Análise Matemática I de Eng. do Ambiente, Eng. Biológica, Eng. Química e Química no 1º semestre de 2004/2005. Não é aplicável a outras licenciaturas ou anos lectivos.

Introdução

Um curso como este é destinado a guiar os alunos no seu processo de aprendizagem de uma introdução à Análise Matemática. Esta página não pretende ensinar Matemática mas tão somente disponibilizar informação de uma forma eficiente.

Não é missão dos docentes apresentar a matéria como algo completo e de apreensão automática no final das aulas mas sim acentuar o que é importante, suscitar questões e balizar o inevitável trabalho posterior que necessariamente deve ser realizado de uma forma regular. Esta é uma mudança de perspectiva essencial relativamente àquilo que é hábito para a maioria dos alunos.

Objectivos

O objectivo essencial desta disciplina do ponto de vista do Professor responsável é dar a oportunidade aos alunos de encararem os fundamentos do Cálculo Infinitesimal de um ponto de vista coerente e não como um amontoado de receitas. Pressupondo pré-requisitos de lógica e compreensão do método dedutivo da matemática (muitas vezes ausentes do espírito dos alunos recém-admitidos no IST), estes fundamentos incluem a axiomática dos reais, sucessões, séries, continuidade e limites e uma parte substancial do cálculo diferencial no quadro das funções reais de variável real.

[Outras instâncias da escola apresentam como objectivos desta disciplina algo que ao sabor da moda ou opiniões individuais poderá parecer distinto do parágrafo anterior. Caberá ao leitor decidir no final do curso qual a melhor descrição de objectivos.]

Textos

Será seguido como texto base do curso Introdução à Análise Matemática de Jaime Campos Ferreira, edição da Fundação Calouste Gulbenkian. Existem muitos outros textos sobre esta matéria a um nível acessível aos alunos do 1º ano mas com perspectivas e estilos distintos. A bibliografia do programa genérico oficial da disciplina indica alguns. Outros:

Consulte estes e outros títulos na Biblioteca do IST.

Um curso como este pressupõe um trabalho contínuo de compreensão da matéria leccionada nas aulas teóricas e que tem como suporte formal o texto base. Além disso a aprendizagem de Matemática passa pela resolução de exercícios não necessariamente triviais ou repetitivos. Uma colecção de Problemas de Exame está disponível com o título Exercícios de Análise Matemática I/II. Este texto juntamente com o texto base servirá como base para listas de problemas semanais.

A familiaridade dos alunos com algum formalismo matemático relativo a lógica e teoria dos conjuntos é um dos requisitos deste curso que infelizmente não pode ser considerado como coberto pelos actuais programas do ensino secundário. O texto Elementos de Lógica Matemática e Teoria dos Conjuntos de Jaime Campos Ferreira é uma referência para este tópico (versão para consultar on-line, versão para imprimir).

Planeamento e sumários

Sumários em 2004/2005

Para Química e Engenharia Química a sequência básica é a mesma havendo durante a maior parte do semestre um atraso de duas aulas. Diferenças de pormenor existem.

  1. Apresentação. (20/9/2004).
  2. Lógica e teoria dos conjuntos: noções básicas a usar no curso. (22/9/2004).
  3. Aula cancelada devido a exiguidade da sala relativamente ao número de alunos presente (22/9/2004).
  4. A axiomática dos números reais: axiomas de corpo, ordem, naturais, racionais. Cardinalidade (27/9/2004).
  5. Cardinalidade: conjuntos finitos, infinitos, numeráveis, contáveis. Q é contável, [0,1] não é contável. Majorantes, minorantes, máximo, mínimo, supremo, ínfimo. (29/9/2004).
  6. Axioma do supremo e suas consequências: propriedade arquimedeana, existência e irracionalide da raiz quadrada de 2. (1/10/2004).
  7. Tolerância(?) de ponto (4/10/2004).
  8. Axioma do supremo e suas consequências: densidade dos racionais e dos irracionais nos reais, vizinhanças, pontos de acumulação. (6/10/2004).
  9. Demonstração do teorema de Bolzano-Weierstrass. (8/10/2004).
  10. Nova demonstração de que um intervalo com mais de que um ponto não é contável usando um argumento tipo princípio de encaixe. O axioma do supremo e a convergência das sucessões monótonas limitadas.(11/10/2004).
  11. Limites de sucessões e operações algébricas. Limites infinitos.(13/10/2004).
  12. A soma dos primeiros termos duma progressão geométrica, o limite da raíz indíce p de uma sucessão convergente, o limite de c1/n, sucessões de Cauchy. As sucessões convergentes são de Cauchy.(15/10/2004).
  13. As sucessões de Cauchy são limitadas, as sucessões limitadas têm sublimites, as sucessões de Cauchy são convergentes. (18/10/2004).
  14. Resultados adicionais sobre sublimites, convergência de Σnk=0 1/k!, relação entre a convergência de an+1/an e an1/n. (20/10/2004).
  15. Relação entre a convergência de an+1/an e an1/n (cont.): dedução a partir da convergência da média aritmética dos primeiros termos de uma sucessão, média geométrica dos primeiros termos de uma sucessão de termos positivos,... Alguns comentários sobre a sucessão (1+1/n)n. (22/10/2004).
  16. Séries: convergência, soma, séries geométricas, séries de Mengoli, condição necessária de convergência, critério de comparação para séries de termos não negativos, séries harmónicas. (25/10/2004).
  17. Critérios de convergência para séries de termos não negativos como corolários do critério de comparação. (27/10/2004).
  18. Séries harmónicas: demonstração do caso geral. Convergência absoluta e critério de Leibniz. (29/10/2004).
  19. Séries de potências: determinação do raio de convergência; exemplos. (3/11/2004).
  20. Estimando o resto de uma série: comparação com séries geométricas, séries alternadas. Algumas funções definidas por séries de potências: sen, cos, exp. Produto de séries. (5/11/2004).
  21. Continuidade. Equivalência com continuidade à Heine. Exemplos e resultados elementares. (8/11/2004).
  22. Demonstração da equivalência da continuida à Cauchy e à Heine. Continuidade da composição de funções contínuas. (10/11/2004).
  23. Continuidade das funções definidas por séries de potências (demonstrada para o interior do intervalo de convergência). Algumas propriedades da função exponencial: ex+y=exey, etc. A propriedade do valor intermédio das funções contínuas.(12/11/2004).
  24. O teorema do valor intermédio. Limite em pontos aderentes ao domínio.(15/11/2004).
  25. Propriedades do logaritmo e da exponencial.(17/11/2004).
  26. Propriedades das funções trigonométricas (esboço da sua dedução). As inversas das funções trigonométricas. O teorema de Weierstrass. (19/11/2004).
  27. Cálculo diferencial: diferenciabilidade, derivada, diferenciabilidade implica continuidade, diferenciabilidade e operações algébricas, derivada da exponencial. Observações marginais importantes: o conceito de ponto interior, função contínua positiva num ponto é positiva numa vizinhança. (22/11/2004).
  28. Derivadas das funções trigonométricas, derivada da função composta, lema de Rolle. (24/11/2004).
  29. Teorema de Lagrange (ou do valor médio), sinal da derivada e monotonia, teorema de derivação da função inversa, derivada do arctg. (26/11/2004).
  30. Professor em serviço oficial (provas de Mestrado). (29/11/2004).
  31. Consequências do teorema de Lagrange. Derivadas do log, arcsen, arccos, argsh, argch. (3/12/2004).
  32. Teorema de Cauchy. (6/12/2004).
  33. Regras de Cauchy e L'Hôpital. (8/12/2004).
  34. Regras de Cauchy e L'Hôpital. Exemplos de aplicações do cálculo diferencial ao estudo de funções. Assímptotas.(10/12/2004).
  35. Inquéritos pedagógicos. Revisões (13/12/2004).
  36. Revisões (15/12/2004).
  37. Revisões (17/12/2004).

Linhas com a data indicada a amarelo correspondem a planeamento. Linhas com a data indicada a verde correspondem ao que efectivamente foi leccionado. Linhas com a data indicada a vermelho correspondem a aulas canceladas.

Sumários em 2002/2003

Apresentam-se a seguir os sumários desta disciplina leccionada a Eng. Aeroespacial em 2002/2003. Serve como planeamento para este ano. À medida que as aulas progredirem desaparecerão itens desta lista e aparecerão na secção anterior. De notar que o início do 1º semestre em 2002/2003 foi em 30/9.

  1. Apresentação. (30/9/2002).
  2. A axiomática dos números reais: axiomas de corpo, ordem, naturais, racionais. (1/10/2002).
  3. O axioma do supremo. Consequências elementares do axioma do supremo: existência da raiz quadrada de 2,... (2/10/2002).
  4. Consequências elementares do axioma do supremo (cont.): N não é limitado, propriedade arquimedeana, existência da raiz quadrada de 2,... (7/10/2002).
  5. Sucessões: noção de limite, exemplos, convergência das sucessões monótonas limitadas. Subsucessões. (8/10/2002).
  6. Existência de uma sucessão cujo contradomínio são os racionais e não existência de uma sucessão cujo contradomínio sejam os reais (caso particular de aplicação do princípio de encaixe). O princípio de encaixe. Pontos de acumulação. Teorema de Bolzano-Weierstrass. (9/10/2002).
  7. Cardinalidade. Conjuntos finitos, infinitos, contáveis, não contáveis. A densidade dos racionais e dos irracionais em R (14/10/2002).
  8. Sucessões: limite e operações algébricas, limites infinitos, exemplos (incluindo xn e soma dos n primeiros termos duma progressão geométrica). (15/10/2002).
  9. Sucessões: exemplos, alguns resultados provados por indução, (an1/p),... (16/10/2002).
  10. Sucessões: exemplos, limite de c1/n, sucessões convergindo para e, se uma sucessão converge então a sucessão das médias aritméticas converge,...(21/10/2002)
  11. Sucessões de Cauchy. Sucessões: exemplos, se uma sucessão de termos não negativos converge então a sucessão das médias geométricas converge, relação entre a convergência de an+1/an e an1/n... (22/10/2002)
  12. Sucessões: exemplos. Séries: sucessão de somas parciais, convergência. Séries de termos não negativos, séries telescópicas (de Mengoli) e série geométrica, limite do termo geral nulo como condição necessária de convergência. (23/10/2002)
  13. Séries: critério geral de comparação, séries harmónicas. (28/10/2002)
  14. Séries: critério geral de comparação, corolários por comparação com séries geométricas. (29/10/2002)
  15. GREVE (30/10/2002)
  16. Séries: convergência absoluta, critério de Leibniz. Menção do critério de Dirichlet. (4/11/2002)
  17. Séries de potências. Raio de convergência. Exemplos incluindo funções exponencial, seno e cosseno. (5/11/2002)
  18. Produto de séries. Convergência absoluta e produto, reordenação e agrupamento de termos de séries. (6/11/2002)
  19. Estimativa do resto de séries. Funções: definição de continuidade, continuidade à Heine, continuidade e operações algébricas. (11/11/2002)
  20. Continuidade à Heine (cont.). Continuidade da composição de funções contínuas. (12/11/2002)
  21. O teorema do valor intermédio. Continuidade da inversa de uma função contínua. A exponencial e o logaritmo. (13/11/2002)
  22. O teorema de Weierstrass. A noção de limite. (18/11/2002)
  23. Limites. Convergência uniforme de sucessões e séries. (19/11/2002)
  24. Convergência uniforme. Aplicação à continuidade das séries de potências. Continuidade das funções trigonométricas. Definição de Pi usando a continuidade do cosseno e o teorema do valor intermédio. (20/11/2002)
  25. A noção de derivada. Diferenciabilidade implica continuidade. Derivação e operações algébricas. (25/11/2002)
  26. Derivada da exponencial, seno e cosseno. Teorema de derivação da função composta. Introdução ao problema de derivação da inversa de uma função diferenciável. (26/11/2002)
  27. Alguns tópicos suplementares ao jeito de revisão: sucessões contractivas, subaditividade do limite máximo, etc. Nota: estes tópicos não são considerados como obrigatórios. (27/11/2002)
  28. Continuidade e limite de funções monótonas num intervalo. Cardinalidade do conjunto de pontos de descontinuidade. Demonstração do teorema de continuidade da inversa. Demonstração do teorema de derivação da função inversa. A derivada da função arctg. (2/12/2002)
  29. As funções trigonométricas inversas e as suas derivadas. As funções hiperbólicas e as suas inversas. Monotonia e sinal da derivada: crescimento num intervalo implica derivada não negativa, o sinal da derivada num ponto não implica monotonia numa vizinhança. (3/12/2002)
  30. Os teoremas de Rolle e Lagrange. Derivada não negativa num intervalo implica crescimento. Esboço de gráfico de funções. Definição de função convexa. (4/12/2002)
  31. Convexidade e segunda derivada. Derivadas de ordem superior à primeira. Esboço de gráficos de funções. (9/12/2002)
  32. GREVE (10/12/2002)
  33. Teorema de Cauchy e regra de Cauchy para levantamento de indeterminações (11/12/2002)
  34. Regras de Cauchy e L'Hôpital. (16/12/2002)
  35. Inquéritos pedagógicos.
    Teorema de Darboux. (17/12/2002)
  36. Complementos vários ao cálculo diferencial: assímptotas, limite da derivada e continuidade implica diferenciabilidade,... (18/12/2002)

O programa mínimo oficial desta disciplina encontra-se aqui. Faz-se notar que este programa é mínimo. À medida que as aulas decorrerem o planeamento ir-se-á convertendo em sumários das aulas teóricas.

Corpo docente

Luísa Ribeiro
Responsável por Química e Engenharia Química, turma teórica 05101+05102+05103+16101, turmas práticas 05102+16101 e 05103.
João Palhoto Matos
Responsável por Engenharia do Ambiente, Engenharia Biológica, turma teórica 15101+15102+17101+17102, turmas práticas 15101, 17102.
Miguel Pires
Turma prática 05101.

Horários de aulas e dúvidas

Haverá um horário de dúvidas de 3,5 horas semanais distribuído por 3 sessões. Se no final de 20 minutos não estiverem presentes alunos a sessão termina aí. A sala de dúvidas do Departamento de Matemática é no piso -2 do edifício de pós-graduação. O horário das sessões será combinado na primeira aula teórica. Os alunos podem consultar sessões de dúvidas de AMI de outros cursos.

Versão do horário no sistema fénix: https://fenix.ist.utl.pt/publico/viewSite.do?method=timeTable&objectCode=3507&executionPeriodOID=81.

Calendário Escolar

Seguiremos integralmente o calendário escolar aprovado para a escola. Em particular as aulas teóricas iniciam-se a 20 de Setembro de 2004 e as aulas práticas na mesma semana.

Avaliação de conhecimentos

A descrição das regras de avaliação de conhecimentos é feita num documento separado. Basicamente a avaliação depende do exame final e de uma classificação complementar relativa ao trabalho realizado na aula e resolução escrita de alguns problemas.

Arquivo de exames

O arquivo de exames contém enunciados de um exame modelo e exames de anos lectivos transactos do mesmo responsável. Para procurar arquivos similares de outros Professores use a seguinte ligação.

Lista de problemas

Para 2004/2005

Os exercícios a entregar na aula teórica estão acessíveis num único documento que será actualizado durante o semestre correspondendo novas séries a novas páginas. Já foram publicadas 3 séries.

SemanaTextoProblemas
20 de Setembro a 1 de OutubroLições de Análise Real1-2,3,5,6,8.
2.1-5,8,9, 2.3-1,2,6.
6 a 12 de OutubroIntrodução à Análise MatemáticaI-3,7.
Exercícios de Análise Matemática I/II1.1-1,2,4,11,13,16,17,18.
12 a 16 de OutubroIntrodução à Análise MatemáticaII-1,3,4,5a-h),5j),5k).
18 a 22 de OutubroIntrodução à Análise MatemáticaII-5i)l-r),6,8,10,11.
25 a 29 de OutubroIntrodução à Análise MatemáticaII-12b,c,d,f),13,14a-n).
2 a 5 de NovembroIntrodução à Análise MatemáticaII-15,16a),17,18,19,20.
Exercícios de Análise Matemática I/II2-4,7,12,13,17,21,22.
8 a 12 de NovembroExercícios de Análise Matemática I/II2-24,27,30,33,43,45,50.
15 a 19 de NovembroIntrodução à Análise MatemáticaIII-1,2.
22 a 26 de NovembroIntrodução à Análise MatemáticaIII-3b),5,7,11,14,15,17,19 (substituir uniformemente contínua por contínua).
Material adicional sobre funções trigonométricas e hiperbólicas (págs. 11 e 12).
29 de Novembro a 3 de Dezembro Introdução à Análise MatemáticaIV-1,4b),7.

Em 2002/2003

Sofrerá ajustamentos para se obter a versão de 2004/2005.

SemanaTextoProblemas
30 de Setembro a 4 de OutubroLições de Análise Real1-2,3,5,6,8.
2.1-5,8,9, 2.2-5,6, 2.3-1,2,6, 2.4-1,7,8.
7 a 11 de OutubroIntrodução à Análise MatemáticaI-3,7.
Exercícios de Análise Matemática I/II1.1-1,2,4,11,13,16,17,18.
14 a 18 de OutubroIntrodução à Análise MatemáticaII-1a,c,e),3,5a,b,c,e,g,h,j,k),6,9,11.
Exercícios de Análise Matemática I/II1-23,24.
21 a 25 de OutubroIntrodução à Análise MatemáticaII-5i,l,m,n,o,p,q,r),10,11.
Exercícios de Análise Matemática I/II1.1-25,26,36,40,41,44,47.
28 de Outubro a 8 de NovembroIntrodução à Análise MatemáticaII-12b,c,d,f),13,14a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n)
Exercícios de Análise Matemática I/II2-4,7,12,13,17,21,22.
11 a 15 de NovembroIntrodução à Análise MatemáticaII-15,16a),17,18,19,20.
Exercícios de Análise Matemática I/II2-24,27,30,33,43,45,50.
25 a 30 de NovembroIntrodução à Análise MatemáticaIII-1,2,3a,c,5,7,8,9,11,14,15,17,20,21.
2 a 6 de DezembroIntrodução à Análise MatemáticaIV-1,2,3,4,5,6.
Exercícios de Análise Matemática I/II3-4,6,7,11,14,16,17,18,20,26.
9 a 13 de DezembroIntrodução à Análise MatemáticaIV-7,10,11.
Exercícios de Análise Matemática I/II3-29,30,44,46, 4-7,9,13,14.
16 a 20 de DezembroIntrodução à Análise MatemáticaIV-15,19,21.
Exercícios de Análise Matemática I/II4-15,19,21,22,28,31,39,46,57,63.

Tipicamente os exercícios indicados para uma semana serão objecto de estudo e resolução escrita nessa semana e um subconjunto será entregue para correcção na aula teórica de segunda feira. A duração da aula prática é insuficiente para resolver todos os exercícios. Os exercícios da última semana de aulas do semestre não necessitam de ser entregues para correcção.

Última actualização: 2005/02/10 às 18h 44m WET.