AMIV-LEIC
2º semestre de 2005/06

Sumários das aulas teóricas

1ª aula (20/02/06): Apresentação.
Numeros complexos: introdução, operações algébricas. O plano complexo. Representação de numeros complexos em coordenadas polares.
Fórmula de DeMoivre.

2ª aula (22/02/06): Raiz indice-n de um número complexo. A exponencial complexa.

3ª aula (23/02/06): A exponencial complexa (cont.). Convergência de sucessões e séries de números complexos.
Introdução ao estudo de funções complexas de variável complexa.

4ª aula (2/03/06):  Continuidade e diferenciabilidade. Condições necessárias e condições suficientes para diferenciabilidade. Exemplos.

5ª aula (6/03/06): Funções analíticas. Exponencial, funções trigonométricas e hiperbólicas. O logaritmo.

6ª aula (8/03/06): Logaritmo (cont.): analiticidade e derivada.  Exponenciação complexa. Funções inversas de funções trigonométricas.

7ª aula (9/03/06):  Integração de funções complexas de variável real. Integrais de contorno.

8ª aula (13/03/06): Integração de funções derivadas. Exemplos. Teorema de Cauchy.

9ª aula (15/03/06): Corolários do T. de Cauchy. Fórmulas integrais de Cauchy.

10ª aula (16/03/06): Funções analíticas versus funções harmónicas. Convergência uniforme de séries.

11ª aula (20/03/06): Convergência uniforme de séries (cont.). Analiticidade das séries de potências.

12ª aula (22/03/06): Desenvolvimento em série de Taylor de funções analíticas.

13ª aula (23/03/06): Séries de Laurent. Introdução ao T. dos resíduos.

14ª aula (27/03/06): Teorema dos resíduos (cont.). Classificação de singularidades.

15ª aula (28/03/06): Classificação de singularidades (cont.). Cálculo do resíduo em pólos.

16ª aula (30/03/06): Exemplos. Aplicação do T. dos resíduos ao cálculo de integrais de funções trigonométricas.

17ª aula (03/04/06): Aplicação do T. dos resíduos ao cálculo de integrais impróprios de funções racionais.

18ª aula (05/04/06): Lema de Jordan. Exemplos.

19ª aula (06/04/06): Factorização de polinómios. Decomposição de funções racionais próprias em fracções simples.
Introdução às equações diferenciais: Exemplos, equações diferenciais lineares homogéneas de 1ª ordem.

20ª aula (10/04/06): Eqs. diferenciais lineares de 1ª ordem.

21ª aula (12/04/06): Eqs. separáveis. Intervalo máximo de definição e blow-up.

22ª aula (20/04/06): Intervalo máximo de definição (cont.). Equações exactas e redutíveis a exactas.

23ª aula (24/04/06): Equações exactas e redutíveis a exactas.

24ª aula (26/04/06): Equações redutíveis a exactas (cont.) Mudança de variáveis: equações de Bernoulli e homogéneas.

25ª aula (27/04/06): Revisão da matéria para o Teste.

26ª aula (03/05/06): Sistemas de equações diferenciais. Sistemas lineares escritos na forma matricial.

27ª aula (04/05/06): Exponencial de matrizes.

28ª aula (08/05/06): Solução de um problema de valor inicial para um sistema homogéneo de coeficientes constantes.

29ª aula (10/05/06): Soluções gerais de um sistema homogéneo de coeficientes constantes. Soluções definidas em termos de valores proprios e vectores proprios.

30ª aula (11/05/06): Soluções para valores proprios complexos. Exponencial de uma matriz diagonalizável.

31ª aula (15/05/06): Forma canónica de Jordan. Soluções para o caso em que a matriz dos coeficientes não é diagonalizável.

32ª aula (17/05/06): Fórmula da variação das constantes. Introdução às equações de ordem n.

33ª aula (18/05/06): Equações de ordem n lineares de coeficientes constantes. Matriz companheira da equação.
Soluções por factorização do operador diferencial.

34ª aula (22/05/06): Soluções de uma eq. de ordem n de coeficientes constantes não-homogénea pelo método dos coeficientes indeterminados. Soluções pela fórmula da variação das constantes. Matriz Wronskiana.

35ª aula (24/05/06): Soluções de equações lineares de ordem n pela fórmula da variação das constantes, com coeficientes constantes e não constantes. Redução de ordem.

36ª aula (25/05/06): Introdução às equações diferenciais parciais. Eq. do calor por separação de variáveis.
Introdução às séries de Fourier.

37ª aula (29/05/06): Expansões de funções em séries de Fourier de senos e séries de Fourier de cosenos. Resolução (formal) da equação do calor para condições de Dirichlet homogéneas.

38ª aula (31/05/06): Condições de Dirichlet não-homogéneas e condições de Newmann. resoluçaõ (formal) da equação das ondas.

39ª aula (01/06/06): Equação de Laplace com condições de fronteira de Dirichlet e de Newmann em domínios rectangulares.