AMIV-LEIC
2º semestre de 2005/06
Sumários das aulas
teóricas
1ª aula (20/02/06):
Apresentação.
Numeros complexos: introdução, operações
algébricas. O plano complexo. Representação de
numeros complexos em coordenadas polares.
Fórmula de DeMoivre.
2ª aula (22/02/06): Raiz
indice-n de um número complexo. A exponencial complexa.
3ª aula (23/02/06): A
exponencial complexa (cont.). Convergência de sucessões e
séries de números complexos.
Introdução ao estudo de funções complexas
de variável complexa.
4ª aula (2/03/06): Continuidade
e diferenciabilidade. Condições necessárias e
condições suficientes para diferenciabilidade. Exemplos.
5ª aula (6/03/06):
Funções analíticas. Exponencial,
funções trigonométricas e hiperbólicas. O
logaritmo.
6ª aula (8/03/06):
Logaritmo (cont.): analiticidade e derivada.
Exponenciação complexa. Funções inversas de
funções trigonométricas.
7ª aula (9/03/06):
Integração de funções complexas de
variável real. Integrais de contorno.
8ª aula (13/03/06):
Integração de funções derivadas.
Exemplos.
Teorema de Cauchy.
9ª aula (15/03/06):
Corolários do T. de Cauchy. Fórmulas integrais de Cauchy.
10ª aula (16/03/06):
Funções analíticas versus funções
harmónicas. Convergência uniforme de séries.
11ª aula (20/03/06):
Convergência uniforme de séries (cont.). Analiticidade das
séries de potências.
12ª aula (22/03/06):
Desenvolvimento em série de Taylor de funções
analíticas.
13ª aula (23/03/06):
Séries de Laurent. Introdução ao T. dos
resíduos.
14ª aula (27/03/06):
Teorema dos resíduos (cont.). Classificação de
singularidades.
15ª aula (28/03/06):
Classificação de singularidades (cont.). Cálculo
do resíduo em pólos.
16ª aula (30/03/06):
Exemplos. Aplicação do T. dos resíduos ao
cálculo de integrais de funções
trigonométricas.
17ª aula (03/04/06):
Aplicação do T. dos resíduos ao cálculo de
integrais impróprios de funções racionais.
18ª aula (05/04/06): Lema
de Jordan. Exemplos.
19ª aula (06/04/06):
Factorização de polinómios.
Decomposição de funções racionais
próprias em fracções simples.
Introdução às equações diferenciais:
Exemplos, equações diferenciais lineares
homogéneas de 1ª ordem.
20ª aula (10/04/06): Eqs.
diferenciais lineares de 1ª ordem.
21ª aula (12/04/06): Eqs.
separáveis. Intervalo máximo de definição e
blow-up.
22ª aula (20/04/06):
Intervalo máximo de definição (cont.).
Equações exactas e redutíveis a exactas.
23ª aula (24/04/06):
Equações exactas e redutíveis a exactas.
24ª aula (26/04/06):
Equações redutíveis a exactas (cont.)
Mudança de variáveis: equações de Bernoulli
e homogéneas.
25ª aula (27/04/06):
Revisão da matéria para o Teste.
26ª aula (03/05/06):
Sistemas de equações diferenciais. Sistemas lineares
escritos na forma matricial.
27ª aula (04/05/06):
Exponencial de matrizes.
28ª aula (08/05/06):
Solução de um problema de valor inicial para um sistema
homogéneo de coeficientes constantes.
29ª aula (10/05/06):
Soluções gerais de um sistema homogéneo de
coeficientes constantes. Soluções definidas em termos de
valores proprios e vectores proprios.
30ª aula (11/05/06): Soluções
para valores proprios complexos. Exponencial de uma matriz
diagonalizável.
31ª aula (15/05/06): Forma
canónica de Jordan.
Soluções para o caso em que a matriz dos coeficientes
não é diagonalizável.
32ª aula (17/05/06):
Fórmula da variação das
constantes. Introdução às equações
de
ordem n.
33ª aula (18/05/06):
Equações de ordem n lineares de coeficientes constantes.
Matriz companheira da equação.
Soluções por factorização do operador
diferencial.
34ª aula (22/05/06):
Soluções de uma eq. de ordem n de coeficientes constantes
não-homogénea pelo método dos coeficientes
indeterminados. Soluções pela fórmula da
variação das constantes. Matriz Wronskiana.
35ª aula (24/05/06): Soluções
de equações lineares de ordem n pela fórmula da
variação das constantes, com coeficientes constantes e
não constantes. Redução de ordem.
36ª aula (25/05/06):
Introdução às equações diferenciais
parciais. Eq. do calor por separação de variáveis.
Introdução às séries de Fourier.
37ª aula (29/05/06):
Expansões de funções em séries de Fourier
de senos e séries de Fourier de cosenos. Resolução
(formal) da equação do calor para condições
de Dirichlet homogéneas.
38ª aula (31/05/06):
Condições de Dirichlet não-homogéneas e
condições de Newmann. resoluçaõ (formal) da
equação das ondas.
39ª aula (01/06/06):
Equação de Laplace com condições de
fronteira de Dirichlet e de Newmann em domínios rectangulares.