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SUMÁRIOS DAS AULAS TEÓRICAS DE ÁLGEBRA LINEAR |
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Aula nº |
Sumário |
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1 (25/9) |
Apresentação. Eliminação de Gauss num sistema possível e determinado. |
2 (26/9) |
Eliminação de Gauss-Jordan com troca de linhas. Sistemas indeterminados, impossíveis. |
3 (29/9) |
Sistemas mXn. Discussão de Sistemas. Vectores e matrizes. Motivação do produto de matrizes a partir de sistemas de equações lineares. |
4 (2/10) |
Produto de matrizes. Álgebra de matrizes. |
5 (3/10) |
Sistemas não homogéneos e homogéneos,solução trivial e solução geral, princípio de sobreposição. Núcleo e característica de uma matriz. Teorema da característica-nulidade. |
6 (6/10) |
Matrizes singulares e não-singulares. MEG-J em termos de matrizes elementares. Inversão de matrizes. |
7 (9/10) |
(Dia da LEBM) Inversão: exemplo 3X3, matrizes 2X2, inversão <=> não-singularidade, inversa do produto, transposição. |
8 (10/10) |
Espaços lineares: definição e primeiros exemplos (R^n, C^n, funções, matrizes). |
9 (13/10) |
Espaço das sucessões. Caracterização de subespaços. Exemplos: subespaços de R^n são núcleos de matrizes. |
10 (16/10) |
Espaços C^k([a,b]), polinómios. Combinações lineares: espaço gerado. Exemplos: R^n, polinómios. |
11 (17/10) |
Espaços das linhas e colunas de uma matriz. Soma e intersecção de subespaços. Independência linear: definição e exemplos em R^n. |
12 (20/10) |
IL: exemplos. Polinómios, espaços funcionais, R^n, espaços de linhas e colunas de uma matriz. |
13 (23/10) |
IL de funções sinusoidais. Bases. Coordenadas. Base canónica de R^n. |
14 (24/10) |
Dimensão. Bases canónicas de R^n, Mnxn, Pn, S(R). Bases do espaço das linhas, colunas e núcleo de uma matriz. |
15 (27/10) |
Teorema da dimensão (demonstração). Espaços de dimensão infinita: sucessões, espaços funcionais. |
16 (30/10) |
Mudança de base em espaços vectoriais. MMB. Exemplo: rotações, polinómios. |
17 (31/10) |
O corpo dos complexos. Fórmula de Euler e consequências. |
18 (3/11) |
Teorema Fundamental da Álgebra. Espaços complexos. |
19 (6/11) |
Transformações lineares: definição e exemplos. |
20 (7/11) |
Representação matricial de transformações lineares. Exemplos. |
21 (10/11) |
Rotações em R^3. Comutatividade de rotações infinitesimais. Mudança de base em transformações lineares. Matrizes semelhantes. |
22 (13/11) |
Teorema do Isomorfismo: exemplos e demonstração. Isomorfismo entre TL e matrizes |
23 (14/11) |
Núcleo e imagem de transformações lineares. Teorema do núcleo-imagem. |
24 (17/11) |
Invertibilidade de TL. |
25 (20/11) |
Determinantes: definição axiomática, interpretação geométrica, propriedades, cálculo por condensação. |
26 (21/11) |
Determinantes: Fórmula de Laplace, regra de Sarrus. Inversão via cofactores. |
27 (24/11) |
Valores e vectores próprios: próprios: motivação, definição, primeiros exemplos |
28 (27/11) |
VP em dim finita. Polinómio característico. Vectores próprios associados a valores próprios distintos P são LI. Propriedades de vp e VP. |
29 (28/11) |
Diagonalização de matrizes. Multiplicidades Algébrica e Geométrica. CNS de diagonalização. Exemplos e aplicações. |
30 (4/12) |
Invariância do traço e determinante. Referência a outros invariantes simétricos. VP em dimensão infinita. |
31 (5/12) |
Forma canónica de Jordan de uma matriz. |
32 (11/12) |
Espaços euclidianos: produtos internos, norma, projecção, ângulo, desigualdade de Cauchy-Schwarz, Teorema de Pitágoras |
33 (12/12) |
Exemplos: PI usual em Rn. Médias aritmética e geométrica. PI não-usuais, PI traço em matrizes. Normas. |
34 (15/12) |
Espaço de Hilbert. Conjuntos e bases ortogonais e ortonormais. IL de conj o.n., coordenadas numa base o.n., ortogonalização de Gram-Schmidt. |
35 (18/12) |
Projecções ortogonais, complementos ortogonais, exemplos. |
36 (19/12) |
Teorema da aproximação óptima. Equações cartesianas de k-planos. |
37 (22/12) |
Formas quadráticas. |