| SUMÁRIOS DAS AULAS TEÓRICAS DE ÁLGEBRA LINEAR | |
| Aula nº | Sumário |
| 1 (25/9) | Apresentação. Eliminação de Gauss num sistema possível e determinado. |
| 2 (26/9) | Eliminação de Gauss-Jordan com troca de linhas. Sistemas indeterminados, impossíveis. |
| 3 (29/9) | Sistemas mXn. Discussão de Sistemas. Vectores e matrizes. Motivação do produto de matrizes a partir de sistemas de equações lineares. |
| 4 (2/10) | Produto de matrizes. Álgebra de matrizes. |
| 5 (3/10) | Sistemas não homogéneos e homogéneos,solução trivial e solução geral, princípio de sobreposição. Núcleo e característica de uma matriz. Teorema da característica-nulidade. |
| 6 (6/10) | Matrizes singulares e não-singulares. MEG-J em termos de matrizes elementares. Inversão de matrizes. |
| 7 (9/10) | (Dia da LEBM) Inversão: exemplo 3X3, matrizes 2X2, inversão <=> não-singularidade, inversa do produto, transposição. |
| 8 (10/10) | Espaços lineares: definição e primeiros exemplos (R^n, C^n, funções, matrizes). |
| 9 (13/10) | Espaço das sucessões. Caracterização de subespaços. Exemplos: subespaços de R^n são núcleos de matrizes. |
| 10 (16/10) | Espaços C^k([a,b]), polinómios. Combinações lineares: espaço gerado. Exemplos: R^n, polinómios. |
| 11 (17/10) | Espaços das linhas e colunas de uma matriz. Soma e intersecção de subespaços. Independência linear: definição e exemplos em R^n. |
| 12 (20/10) | IL: exemplos. Polinómios, espaços funcionais, R^n, espaços de linhas e colunas de uma matriz. |
| 13 (23/10) | IL de funções sinusoidais. Bases. Coordenadas. Base canónica de R^n. |
| 14 (24/10) | Dimensão. Bases canónicas de R^n, Mnxn, Pn, S(R). Bases do espaço das linhas, colunas e núcleo de uma matriz. |
| 15 (27/10) | Teorema da dimensão (demonstração). Espaços de dimensão infinita: sucessões, espaços funcionais. |
| 16 (30/10) | Mudança de base em espaços vectoriais. MMB. Exemplo: rotações, polinómios. |
| 17 (31/10) | O corpo dos complexos. Fórmula de Euler e consequências. |
| 18 (3/11) | Teorema Fundamental da Álgebra. Espaços complexos. |
| 19 (6/11) | Transformações lineares: definição e exemplos. |
| 20 (7/11) | Representação matricial de transformações lineares. Exemplos. |
| 21 (10/11) | Rotações em R^3. Comutatividade de rotações infinitesimais. Mudança de base em transformações lineares. Matrizes semelhantes. |
| 22 (13/11) | Teorema do Isomorfismo: exemplos e demonstração. Isomorfismo entre TL e matrizes |
| 23 (14/11) | Núcleo e imagem de transformações lineares. Teorema do núcleo-imagem. |
| 24 (17/11) | Invertibilidade de TL. |
| 25 (20/11) | Determinantes: definição axiomática, interpretação geométrica, propriedades, cálculo por condensação. |
| 26 (21/11) | Determinantes: Fórmula de Laplace, regra de Sarrus. Inversão via cofactores. |
| 27 (24/11) | Valores e vectores próprios: próprios: motivação, definição, primeiros exemplos |
| 28 (27/11) | VP em dim finita. Polinómio característico. Vectores próprios associados a valores próprios distintos P são LI. Propriedades de vp e VP. |
| 29 (28/11) | Diagonalização de matrizes. Multiplicidades Algébrica e Geométrica. CNS de diagonalização. Exemplos e aplicações. |
| 30 (4/12) | Invariância do traço e determinante. Referência a outros invariantes simétricos. VP em dimensão infinita. |
| 31 (5/12) | Forma canónica de Jordan de uma matriz. |
| 32 (11/12) | Espaços euclidianos: produtos internos, norma, projecção, ângulo, desigualdade de Cauchy-Schwarz, Teorema de Pitágoras |
| 33 (12/12) | Exemplos: PI usual em Rn. Médias aritmética e geométrica. PI não-usuais, PI traço em matrizes. Normas. |
| 34 (15/12) | Espaço de Hilbert. Conjuntos e bases ortogonais e ortonormais. IL de conj o.n., coordenadas numa base o.n., ortogonalização de Gram-Schmidt. |
| 35 (18/12) | Projecções ortogonais, complementos ortogonais, exemplos. |
| 36 (19/12) | Teorema da aproximação óptima. Equações cartesianas de k-planos. |
| 37 (22/12) | Formas quadráticas. |