Exercícios Adicionais

Exercício 4.1:

Determine, se existerem, os limites das sucessões que tem por termo de ordem n:

(a) (n²-1)/(n⁴+3)                               (b) (2ⁿ+1)/(2ⁿ⁺¹-1)                              (c) n(n-1)(n-2)......(n-p)/((n+1)(n+2)......(n+q))

(d) n^p/n!                                            (e) 2^-n/n³                                              (f) 3ⁿ/n_²

(g) (1+1/n³)ⁿ                                     (h) (1-1/n!)^n!                                        (i) aⁿbⁿ/(aⁿ+bⁿ)

Exercício 4.2:

(i) Mostre que se u_2n e u_2n+1convergem respectivamente para a e b então os únicos sublimites de  u_n são a e b.

(ii) Mostre que se as três subsucessões u_2n, u_2n+1 e u_3n são convergentes então  u_n é convergente.

Exercício 4.3:

Considere a sucessão de termos positivos a_n definida por:

a₁ = 3

a_n+1 = 3(1+a_n)/(3+a_n)

(i) Mostre que:

|a_n+2 - a_n+1| = 6|a_n+1 - a_n|/((3+a_n)(3+a_n+1))

(ii) A sucessão é contractiva? A sucessão é convergente? Justifique.

(iii) Determine, se possível, lim a_n.