Uma Contínua não Diferenciável

\( f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2+y^2}, & \text{ se } (x,y)\neq (0,0) \\ 0, & \text{ se } (x,y)= (0,0) \end{cases} \)

Gráfico da função \( f(x,y)= \begin{cases} \frac{x*y^2}{x^2+y^2}, & \text{ se } (x,y)\neq (0,0) \\ 0, & \text{ se } (x,y)= (0,0) \end{cases} \)

Esta função é contínua em \(\mathbb{R}^2\). Note-se que \[|f(x,y)| \leq |x| \leq ||(x,y)||.\]

No entanto, não é diferenciável na origem. É fácil calcular: \[\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 \;; \quad\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.\] Se \(f\) fosse diferenciável na origem, ter-se-ia \[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y)}{||(x,y)||}=0.\] Mas, fazendo \(g(x,y)=\frac{f(x,y)}{||(x,y)||}\), facilmente se constata que \[g(x,x)=\frac{x^3}{2\sqrt{2}x^2|x|}=\frac{x}{2\sqrt{2}|x|}.\] Assim, \(g(x,x)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\) se \(x \gt 0\), e \(g(x,x)=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\) se \(x \lt 0\), ou seja, \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} g(x,y)\) não existe.