Um Hiperbolóide de duas folhas

\(\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2 + y^2 = z^2 - 1\;;\; 1 \leq |z| \leq \sqrt{2}\}\)

Fazendo \(\rho=\sqrt{x^2+y^2}\), que designa a distância do ponto de coordenadas \((x,y,z)\) ao eixo \(Oz\), este hiperbolóide de duas folhas pode ser visto como o resultado de fazer rodar, em torno do eixo \(Oz\), os ramos de hipérbole definidos pela equação, \(\rho^2+1=z^2\), e representado na figura seguinte:

hiperbolóide

Conjunto de nível zero da função \(F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\), definida por \(F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2+1\), com \(1\leq |z| \leq 2\).

Note-se que este conjunto é a união de dois gráficos:
Para \(z>0\), tem-se \(z=\sqrt{x^2+y^2+1}\).
Para \(z<0\), tem-se \(z=-\sqrt{x^2+y^2+1}\).