Dois Máximos, Dois Mínimos

\(\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: z = x y e^{-x^2-y^2}\}\)

Gráfico da função \(f(x,y)=x y e^{-x^2-y^2}\).

Fazendo \(p(x,y)=e^{-x^2-y^2}\), tem-se \[{\textstyle \begin{cases} \dfrac{\partial f}{\partial x}=y(1-2x^2)p(x,y) \\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=x(1-2y^2)p(x,y), \end{cases}}\] e, portanto, os pontos críticos de \(f\) são as soluções dos dois sistemas de equações seguintes: \[{\textstyle \begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases}}\] e \[{\textstyle \begin{cases} 2x^2=1\\ 2y^2=1, \end{cases}}\] ou seja, são os pontos: \[{\textstyle (0,0)\;,\; (-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}) \;,\;(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \;,\; (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \;,\; (\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}).}\]

A matriz hesseana é dada por \[{\textstyle H(x,y)= \begin{bmatrix} -2xy(3-2x^2)p & (1-2x^2)(1-2y^2)p \\ \\ (1-2x^2)(1-2y^2)p & -2xy(3-2y^2)p \end{bmatrix}}.\]

Na origem tem-se \[{\textstyle H(0,0)= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}\] cujos valores próprios são \(\lambda_ 1=-1\) e \(\lambda_2=1\) e, portanto, trata-se de um ponto de sela.

Nos restantes pontos críticos tem-se \[{\textstyle H(x,y)= \begin{bmatrix} -4xyp & 0 \\ 0 & -4xyp \end{bmatrix}}.\] Assim, os máximos encontram-se nos pontos: \[{\textstyle (-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}) \;;\;(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}).}\] Os mínimos encontram-se nos pontos: \[{\textstyle (-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \;,\; (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}).}\]