Pelas propriedades das funções diferenciáveis, é claro que a função \(f\) é diferenciável em \(\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}\).

Por um lado, tem-se \[\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}=0\] porque \(f(0,t)=f(0,0)=0\).

Por outro lado, \[\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{-t|t|}{t}=-\lim_{t \to 0}|t|=0.\] Portanto, \[\left|\frac{f(x,y)}{||(x,y)||}\right|=\frac{|x|\sqrt{x^2+y^2}}{||(x,y)||} \leq ||(x,y)||,\] ou seja, a função \(f\) é diferenciável na origem.

Conclui-se, assim, que a função \(f\) é diferenciável em \(\mathbb{R}^2\).

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Note-se que \(|f(x,y)| \leq ||(x,y)||^2\) e, portanto, \[\left|\frac{f(x,y)}{||(x,y)||}\right| \leq ||(x,y)||.\]