Cortes perpendiculares ao eixo \(Ox\)

Fixando a coordenada $x$ entre $0$ e $1$, obtém-se \[\frac{x^2}{2} \lt y \lt x^2 \;;\; 0 \lt z \lt x^2,\] tal como se mostra na figura seguinte:

Cortes perpendiculares ao eixo \(Oy\)

Das inequações é claro que \[ y \lt x^2 \lt 2y \,;\, 0 \lt x \lt 1\] e, portanto, há dois casos a considerar: ou \(2y \lt 1\) ou \(2y \gt 1\).

Assim, fixando a coordenada $y$ entre $0$ e $\frac{1}{2}$, o corte fica definido por: \[\sqrt{y} \lt x \lt \sqrt{2y} \;;\; 0 \lt z \lt x^2,\] tal como se mostra na figura seguinte:

Fixando a coordenada $y$ entre $\frac{1}{2}$ e $1$, o corte fica definido por \[\sqrt{y} \lt x \lt 1 \;;\; 0 \lt z \lt x^2,\] tal como se mostra na figura seguinte:

Cortes perpendiculares ao eixo \(Oz\)

Das inequações é claro que $0<z<1$. Fixando a coordenada $z$ entre $0$ e $1$, obtém-se: \[\sqrt{z} \lt x \lt 1 \;;\; \frac{x^2}{2} \lt y \lt x^2,\] tal como se mostra na figura seguinte:

Cálculo do volume

Seja \(X\) o sólido e considerem-se os cortes \(C(x)\), perpendiculares ao eixo \(Ox\): \[C(x)=\{(y,z): \, \frac{x^2}{2} \lt y \lt x^2 \;;\; 0 \lt z \lt x^2 \}, \quad 0 \lt x \lt 1.\] Pelo Teorema de Fubini, tem-se \begin{align*}\vol_3(X)=\int_{0}^{1}\!\!\!\! \vol_2(C(x))dx= \\ \int_{0}^{1}\left(\int_{x^2/2}^{x^2}\left(\int_{0}^{x^2}dz\right)dy\right)dx.\end{align*} Dado que o corte \(C(x)\) é um rectângulo, tal como se mostra na Fig. 1, então \[\vol_2(C(x))=\frac{x^4}{2}\] e, portanto, \[\vol_3(X)=\int_{0}^{1}\frac{x^4}{2}dx=\frac{1}{10}.\]