\( \newcommand{\sen}{\mathop{\rm sen}\nolimits} \newcommand{\arcsen}{\mathop{\rm arcsen}\nolimits} \newcommand{\vol}{\mathop{\rm vol}\nolimits} \)
Uma Pirâmide

\(x+y+2z \lt 1 \;;\; x+y-2z \lt 1 \;;\; x \gt 0 \;;\; y \gt 0\)

Cortes perpendiculares ao eixo \(Ox\)

Das inequações de definição do sólido, é claro que se tem \(2x+2y<2,\,x>0,\, y>0,\) ou seja, \(0 \lt x \lt 1\).

Assim, fixando \(x\) entre 0 e 1, o corte correspondente é o triângulo definido por \[y-2z \lt 1-x \;;\; y+2z \lt 1-x \;;\; y \gt 0\] tal como se mostra na figura seguinte:

corte x
Fig. 1 Corte perpendicular a \(Ox\)

Cortes perpendiculares ao eixo \(Oz\)

Sendo \(x>0\) e \(y>0\), da definição do sólido é claro que \(2z<1\) e \(2z>-1\), ou seja, \(-\frac 1 2 \lt z \lt \frac 1 2\).

Fixando \(z\) entre \(-\frac 1 2 \) e \(\frac 1 2 \), tem-se \[x+y \lt 1-2z \;;\; x+y \lt 1+2z \;;\;x \gt 0 \;;\;y \gt 0\] e, portanto, há dois casos a considerar.

Para o caso em que \(1-2z \lt 1+2z\), ou seja, para \(0\lt z \lt \frac 1 2 ,\) o correspondente corte é o triângulo definido por \[x+y \lt 1-2z\;;\;x \gt 0 \;;\;y \gt 0\] tal como se mostra na figura seguinte:

corte z
Fig. 2 Corte perpendicular a \(Oz\)

Para o caso em que \(1-2z \gt 1+2z\), ou seja, para \(-\frac 1 2\lt z \lt 0,\) o correspondente corte é o triângulo definido por \[x+y \lt 1+2z\;;\;x \gt 0 \;;\;y \gt 0\] tal como se mostra na figura seguinte:

corte z
Fig. 3 Corte perpendicular a \(Oz\)

Cálculo do volume

Seja \(X\) o tronco de pirâmide e considerem-se os cortes \(C(x)\), perpendiculares ao eixo \(Ox\): \[C(x)=\{(y,z): \, y-2z \lt 1-x \;;\; y+2z \lt 1-x \;;\;y \gt 0 \}, \quad 0 \lt x \lt 1.\] Pelo Teorema de Fubini, tem-se \begin{align*}\vol_3(X) & =\int_{0}^{1} \vol_2(C(x))dx \\ & =\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1-x}\left(\int_{-(1-x-y)/2}^{(1-x-y)/2}dz\right)dy\right)dx.\end{align*} Dado que o corte \(C(x)\) é um triângulo, tal como se mostra na Fig. 1, então \[\vol_2(C(x))=\frac{(1-x)^2}{2}\] e, portanto, \[\vol_3(X)=\int_{0}^{1}\frac{(1-x)^2}{2}dz=\frac 1 {6}.\]