\( \newcommand{\sen}{\mathop{\rm sen}\nolimits} \newcommand{\arcsen}{\mathop{\rm arcsen}\nolimits} \newcommand{\vol}{\mathop{\rm vol}\nolimits} \)
Sólido limitado por dois cilindros, um cone e um plano

\(\frac{1}{4} \lt x^2+y^2 \lt 1 \;;\;z^2 \lt x^2+y^2 \;;\; z \gt 0\)

Cortes perpendiculares ao eixo \(Ox\)

Da definição é claro que -1<x<1. Sabendo que 1 4 < x 2 +y 2<1 , há dois casos a considerar: um para | x|<1 2 e outro para 1 2 <|x|<1 .

Assim, para o caso em que 1 2 <|x|<1 , tem-se y2 <1- x2 , e o corte correspondente é o conjunto definido por \[ \cases{ -\sqrt{1-x^2} \lt y \lt \sqrt{1-x^2} \cr\cr 0 \lt z \lt \sqrt{x^2+y^2}, } \] tal como se mostra na figura seguinte:

corte x
Fig. 1 Corte perpendicular a \(Ox\)

Para o caso em que | x|<1 2 , tem-se 1 4 - x2 < y2 <1- x2 , e o corte correspondente é a união de dois conjuntos.

Para y <0 , o corte é dado por \[ \cases{ -\sqrt{1-x^2} \lt y \lt -\sqrt{\frac{1}{4}-x^2} \cr\cr 0 \lt z \lt \sqrt{x^2+y^2}. } \] Para y >0 , o corte é definido por \[ \cases{ \sqrt{\frac{1}{4}-x^2} \lt y \lt \sqrt{1-x^2} \cr\cr 0 \lt z \lt \sqrt{x^2+y^2}, } \] tal como se mostra na figura seguinte:

corte x
Fig. 2 Corte perpendicular a \(Ox\)

Cortes perpendiculares ao eixo \(Oz\)

O cilindro interior definido por \(x^2+y^2=\frac{1}{4}\) e o cone dado por z 2 =x 2+y 2 , intersectam-se sobre a circunferência definida por \(x^2+y^2=\frac{1}{4} \;;\; z = \frac{1}{2}\).

O cilindro exterior definido por x 2 +y 2=1 e o cone dado por z 2 =x 2 +y 2 , intersectam-se sobre a circunferência definida por \(x^2+y^2=\frac{1}{4} \;;\; z = 1\).

Portanto, há dois casos a considerar: um para \(0 \lt z \lt \frac{1}{2}\) e outro para \( \frac{1}{2}\lt z\lt 1\).

Alternativamente, note-se que se tem, simultaneamente,
1 4 < x2 + y2 \(\;;\;\) z2 < x2 + y2 .

Portanto, há dois casos a considerar: ou z2 < 1 4 , ou z2 > 1 4 .

Para o caso em que 0 <z<1 2 , o corte correspondente é uma coroa circular, de raios \(\frac{1}{2}\) e \(1\), respectivamente, definida por 1 4 <x 2+y 2<1 , tal como se mostra na figura seguinte:

corte z
Fig. 3 Corte perpendicular a \(Oz\)

Para o caso em que 1 2 <z<1 , o corte correspondente é uma coroa circular, de raios z e 1 , respectivamente, definida por z 2 <x 2 +y 2 <1 , tal como se mostra na figura seguinte:

corte z
Fig. 4 Corte perpendicular a \(Oz\)

Cálculo do volume

Seja \(X\) o sólido e considerem-se os cortes \(C_1(z)\) e \(C_2(z)\), perpendiculares ao eixo \(Oz\): \[C_1(z)=\{(x,y): \, \frac 1 4 \lt x^2+y^2 \lt 1\}, \quad 0 \lt z \lt \frac{1}{2}.\] \[C_2(z)=\{(x,y): \, z^2 \lt x^2+y^2 \lt 1\}, \quad \frac{1}{2} \lt z \lt 1.\] Pelo Teorema de Fubini, tem-se \[\vol_3(X)=\int_{0}^{1/2} \vol_2(C_ 1(z))dz + \int_{1/2}^{1} \vol_2(C_ 2(z))dz.\]

O corte \(C_1(z)\) (Fig. 3) é uma coroa circular de raios \(\frac 1 2\) e \(1\), respectivamente. Portanto, \[\vol_2(C_1(z))=\pi (1-\frac 1 4)=\frac{3\pi}{4}.\]

O corte \(C_2(z)\) (Fig. 4) é uma coroa circular de raios \(z\) e \(1\), respectivamente. Portanto, \[\vol_2(C_2(z))=\pi(1-z^2).\] Assim, \[\begin{align}\vol_3(X) &=\int_{0}^{1/2}\frac{3\pi}{4}dz+\int_{1/2}^{1}\pi\left(1-z^2\right)dz \\ &=\frac{7\pi}{12}.\end{align}\]