As descrições abaixo estão muito abreviadas. Sintam-se à vontade para me contactar se estiverem interessados em mais detalhes. Tenho cópias electrónicas da maioria das referências indicadas e não me custa nada partilhá-las. Também estou aberto a orientar projectos sobre outros temas de interesse para os aluno (isso já aconteceu).

Temas para Projecto/Seminário e Monografia

• O Teorema de Mordell : O objectivo deste projecto é compreender a demonstração do Teorema de Mordell que afirma que o grupo formado pelos pontos com coordenadas racionais de uma curva elíptica é finitamente gerado. Será necessário aprender resultados elementares sobre curvas elípticas. Os únicos pré-requisitos são a Análise Complexa básica tratada na cadeira de ACED. A referência principal é o livro "Elliptic Curves" de A. Knapp, Princeton University Press (1992) (apenas os primeiros três capítulos).
• Classificação de formas quadráticas: Este projecto pretende compreender o Teorema de Hasse-Minkowski que classifica as formas quadráticas sobre o corpo dos racionais. Os pré-requisitos são os cursos de álgebra elementar. O projecto envolve aprender a trabalhar com os números p-ádicos assim como alguma aritmética elementar. Dependendo do tempo disponível podemos também estudar a classificação das formas unimodulares sobre os inteiros ou a classificação de Arf das formas quadráticas sobre o corpo com dois elementos. Ambas as últimas têm aplicações topológicas muito interessantes. A referência sugerida é o livro "A course in arithmetic" de J.P. Serre, Springer (1973) (os primeiros 4 capítulos).
• Teoria dos números analítica: Este projecto pretende dar uma introdução à teoria dos números analítica. Um primeiro objectivo poderia ser entender a demonstração do Teorema de Dirichlet que diz que (excluindo casos triviais) toda a progressão aritmética de números naturais contém infinitos primos. Posteriormente poder-se-ia fazer um estudo elementar das formas modulares, ou continuar o estudo das funções zeta (por exemplo entender a demonstração da equação funcional para a função zeta de Riemann). Os pré-requisitos são apenas análise complexa básica. A referência sugerida é a segunda parte do livro "A course in arithmetic" de J.P. Serre, Springer (1973) (os primeiros 4 capítulos). A equação funcional da função zeta é explicada em Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill (1979)
• Teoria dos números algébricos: Este projecto pretende dar uma introdução à teoria dos números algébricos. Um primeiro objectivo poderia ser perceber a demonstração do teorema sobre a factorização única de ideais em anéis de inteiros algébricos e algumas aplicações. O projecto incluiria o estudo de exemplos básicos como corpos quadráticos e ciclotómicos. A referência recomendada são os capítulos 12 e 13 do livro de K. Ireland e M.Rosen, "A classical introduction to modern number theory", Springer (1990)
• Teoria da representação de grupos finitos: O objectivo deste projecto é entender a teoria básica da representação de grupos finitos: relações de ortogonalidade entre os caracteres, exemplos básicos, etc. Se houver tempo podemos tentar perceber as demonstrações dos Teoremas de Artin e Brauer sobre os caracteres de representações induzidas. A referência básica é o livro "Linear representations of finite groups" de Jean-Pierre Serre, especialmente a Parte I.
• Representações dos Grupos Simétricos : Este projecto pretende descrever a classificação das representações irredutíveis dos grupos simétricos em termos de diagramas de Young. Isto requer a compreensão da teoria básica de representações dos grupos finitos e é portanto um aprofundar do projecto anterior na direcção de uma classe de exemplos particularmente importante. Se houver tempo podemos também estudar a relação com as representações do grupo linear geral. A referência recomendada é o livro "Representation Theory: a first course" by W. Fulton, Springer (1991) (só as primeiras quatro secções da Parte I).
• Teoria de Hurwitz: O objectivo deste projecto seria perceber o Teorema de Hurwitz que calcula o número de "branched coverings" da esfera de Riemann para um certo número dado de pontos e índices de ramificação. A redução deste problema a um problema algébrico é um exercício muito interessante de topologia e análise complexa básicas que está muito bem explicado nas seguintes notas de Brian Osserman. Teríamos de procurar uma referência para a solução do problema algébrico que envolve a teoria da representação dos grupos simétricos.
• Teorias quânticas do campo topológicas de dimensão 2: O objectivo deste projecto é perceber a classificação algébrica das teorias quânticas do campo topológicas de dimensão 2 em termos de álgebras de Frobenius. Apesar do título, não é necessário ter nenhuns conhecimentos de Física (eu também não percebo nada da Física subjacente). Os pré-requisitos são apenas Álgebra básica e alguma familiariedade com variedades. O estudo destas teorias é uma área muito activa da Topologia contemporânea e a demonstração deste teorema é uma mistura de álgebra e topologia muito bonita. A referência é o livro de Joachim Kock, "Frobenius algebras and 2 dimensional Topological Quantum Field Theories", London Mathematical Society Student Texts (2003).
• Análise quaterniónica : É extremamente surpreendente que a Análise Complexa básica que todos aprendemos se generaliza (até um certo ponto) aos quaterniões. Isto foi descoberto por Fueter nos anos 30. Por exemplo, com uma definição adequada de holomorfia, o Teorema de Cauchy é válido para funções holomorfas quaterniónicas o que dá origem a expansões de Taylor e Laurent. Para perceber isto só é necessário cálculo de várias variáveis (embora o uso de formas diferenciais tenha algumas vantagens). As referências básicas são "Quaternionic Analysis" de A. Sudbery, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 85 (1979), pp 199-225, e "The quaternion calculus" by C. A. Deavours, Amer. Math. Monthly 80 (1973) pp. 995-1008. Mais recentemente, foi descoberta uma formulação algébrica desta teoria por Dominic Joyce e se houvesse interesse podíamos estudá-la e tentar perceber alguns exemplos interessantes. Uma referência é A theory of quaternionic algebra de Dominic Joyce.

Temas para tese de Mestrado

• String Topology : String Topology é o estudo da topologia do espaço das aplicações de uma circunferência para uma variedade. Este espaço é uma variedade de dimensão infinita e no final dos anos 90, Chas and Sullivan descobriram a existência de uma estrutura algébrica muito interessante na homologia deste espaço, que continua a ser explorada nos dias de hoje. O objectivo deste projecto seria compreender a construção do produto de Chas-Sullivan na homologia (há agora várias construções alternativas) e calcular alguns exemplos. Uma boa introdução para este tema é Notes on string topology de R. Cohen and A. Voronov. É um pré-requisito ter tido boa nota e compreendido o curso de Topologia Algébrica e seria também bom ter assistidos aos cursos de Topologia Diferencial e/ou Teoria da Homotopia.
• Os dois últimos tópicos para projectos na lista acima poderiam também servir de tópicos de tese de mestrado (embora obviamente o desenvolvimento do tema tenha de ser muito maior no caso de uma tese de mestrado).

• Miguel Moreira (Projecto LMAC 2017), Riemann surfaces and modular functions
• Tiago Mendes (Projecto LMAC 2017), Teorema de Dirichlet e Reciprocidade Quadrática
• Diana Macedo (Projecto LMAC 2015), Primary Decomposition
• Pedro Branco (Projecto LMAC 2014), Representation Theory of Finite Groups
• Jorge António (Projecto LMAC 2014), Two dimensional TQFTs
• Manuel Araújo (MSc 2013), Symplectic Embeddings
• João Pedro Santos (Projecto LMAC 2013), Representation Theory of Symmetric Groups
• João Paulos (Projecto LMAC 2013), Aplicações do axioma da escolha
• Daniel Ferreira (Projecto LMAC 2013), A first approach to representation theory
• Manuela Almeida (Projecto LMAC 2012), Knot theory
• Pedro Vieira (Projecto LMAC 2012), Dirichlet's Theorem and Algebraic Number Fields
• Manuel Araújo (Gulbenkian NTM 2011), Classification of quadratic forms
• Nelson Batalha (MSc 2010) On the existence of categorical connections
• João Caldeira (Gulbenkian NTM 2008), Teoria dos Números Algébricos e o Último Teorema de Fermat
• Iara Gonçalves (MSc 2007) O grupo fundamental do complementar de um arranjo de hiperplanos complexos
• Pedro Vitória (Gulbenkian NTM 2007) Triangulação de superfícies