Sumário Aulas Teóricas

Aula 1 (14/02/11): Funcionamento da disciplina. Propriedades algébricas dos complexos. Representação geométrica de números complexos.

Aula 2 (15/02/11): Continuação. Módulo dum complexo. Coordenadas polares. Fórmula de De Moivre. Raízes complexas.

Aula 3 (17/02/11): Módulo e conjugado dum complexo e suas propriedades. O módulo da diferença de dois complexos como distância. Funções complexas: polinómios e raízes. Fórmula de Euler.

Aula 4 (18/02/11): Definição da exponencial complexa e suas propriedades algébricas e geométricas. Definição das funções hiperbólicas e trigonométricas complexas. Exemplos.

Aula 5 (21/02/11): Definição do logaritmo complexo, como inversa da exponencial, e suas propriedades. Ramo principal. Definição de potências complexas. Funções trigonométricas complexas inversas. Exemplos.

Aula 6 (22/02/11): Sucessões de números complexos, convergência. Continuidade de funções complexas.

Aula 7 (24/02/11): Continuidade de funções complexas, e suas propriedades. Exemplos. Definição da derivada de funções complexas. Propriedades da derivada: derivada de soma, produto, quociente e composta. Exemplos.

Aula 8 (25/02/11): Continuidade de funções diferenciáveis. Operadores de derivação complexa. Teorema e equações de Cauchy-Riemann. Exemplos. Diferenciação das funções elementares.

Aula 9 (28/02/11): Funções harmónicas conjugadas. Exemplos.

Aula 10 (01/03/11): Teorema da derivação da função inversa complexa. Aplicação ao cálculo da derivada do logaritmo. Definição de caminhos e de curvas.

Aula 11 (03/03/11): Curvas regulares e suas parametrizações. Definição do integral complexo. Propriedades elementares do integral complexo. Exemplos.

Aula 12 (04/03/11): Existência de primitivas de funções diferenciáveis em regiões simplesmente conexas. Teorema de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy.

Aula 13 (10/03/11): Fórmulas integrais de Cauchy. Exemplos. Teorema do valor médio. Exemplos.

Aula 14 (11/03/11): Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville. Séries de números complexos. Definição de série convergente. Exemplos.

Aula 15 (14/03/11): Séries absolutamente convergentes. Séries numéricas de termos positivos. Critério da razão. Critério de d'Alembert. Critério da raiz. Critério de Cauchy. Critério de Dirichlet. Início do estudo de séries de funções. Convergência uniforme para séries de funções.

Aula 16 (15/03/11): Teorema de Weierstrass. Propriedades das séries de funções.

Aula 17 (17/03/11): Séries de potências. Raio de convergência. Teorema de Cauchy-Hadamard. Funções analíticas. Exemplos. Séries de Taylor e de MacLaurin. Teorema da série de Taylor.

Aula 18 (18/03/11): Séries de MacLaurin da exponencial, seno e coseno. Teorema sobre analiticidade de funções holomorfas.

Aula 19 (21/03/11): Séries de Laurent.

Aula 20 (22/03/11): Séries de Laurent. Parte regular e parte principal.

Aula 21 (24/03/11): Exemplos de séries de Laurent. Classificação de singularidades isoladas: removíveis, pólos ou essenciais.

Aula 22 (25/03/11): Resíduos.

Aula 23 (28/03/11): Teorema dos resíduos. Exemplos.

Aula 24 (29/03/11): Teorema dos resíduos: mais exemplos.

Aula 25 (31/03/11): Início do estudo de equações diferenciais. Classificação de equações. Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem lineares escalares, homogéneas e não homogéneas. Exemplos.

Aula 26 (01/04/11): Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem escalares separáveis. Análise de domínios e comportamentos qualitativos de soluções de algumas equações não lineares.

Aula 27 (04/04/11): Revisão de AC.

Aula 28 (05/04/11): Revisão de AC.

Aula 30 (08/04/11): Teorema de Picard-Lindelof: existência e unicidade de soluções para equações diferenciais ordinárias e sistemas de primeira ordem. Exemplos. Prolongamento de soluções a intervalos máximos de definição.

Aula 31 (11/04/11): Início do estudo dos sistemas lineares de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Espaço vectorial de soluções do problema homogéneo. Exemplos. Definição da exponencial de uma matriz.

Aula 32 (12/04/11): Revisão do primeiro teste. Sistemas lineares não homogéneos com coeficientes constantes e fórmula da variação das constantes. Problema de valores iniciais. Exemplos.

Aula 33 (14/04/11): Sistemas lineares homogéneos com matrizes não diagonalizáveis. Formas canónicas de Jordan para matrizes não diagonalizáveis.

Aula 34 (15/04/11): Aplicação de formas canónicas de Jordan para o cálculo de exponenciais matriciais nos casos não diagonalizáveis. Exemplos.

Aula 35 (18/04/11): Equações diferenciais lineares escalares de ordem superior à primeira. Problema de valores iniciais. Equação linear de ordem n homogénea e espaço de soluções de dimensão n. Obtenção de bases de soluções para equações homogéneas de ordem n, com coeficientes constantes, por factorização do polinómio característico. Exemplos.

Aula 36 (19/04/11): Continuação. Mais exemplos. Aplicação do método dos aniquiladores para resolução de equações diferenciais ordinárias lineares, de ordem superior, com coeficientes constantes e não homogéneas. Exemplos.

Aula 37 (28/04/11): Método dos aniquiladores: mais exemplos.

Aula 38 (29/04/11): Matriz Wronskiana. Aplicação da fórmula da variação das constantes para resolução de problemas gerais para equações lineares de ordem superior, não homogéneas. Exemplos.

Aula 39 (02/05/11): Séries de Fourier.

Aula 40 (03/05/11): Continuação. Representação de funções periódicas na forma de senos e cosenos. Exemplos. Teorema de convergência pontual de séries de Fourier, para funções seccionalmente C1. Unicidade e ortogonalidade. Fórmula de Parseval.

Aula 41 (05/05/11): Séries de senos e cosenos para funções definidas em meio período. Exemplos.

Aula 42 (06/05/11): Início do estudo de equações diferenciais parciais. A equação do calor de Fourier.

Aula 43 (09/05/11): Condições iniciais e de fronteira. Resolução da equação do calor pelo método de separação de variáveis. Exemplos.

Aula 44 (10/05/11): Continuação da resolução da equação do calor. Dados iniciais como uma série de senos. Exemplos.

Aula 45 (12/05/11): Continuação da resolução da equação do calor. Mais exemplos.

Aula 46 (13/05/11): Continuação da resolução da equação do calor. Mais exemplos.

Aula 47 (16/05/11): Mais exemplos. A equação de Laplace. Exemplos.

Aula 48 (17/05/11): Continuação da equação de Laplace. Mais exemplos.

Aula 49 (19/05/11): A equação das ondas. Exemplos.

Aula 50 (20/05/11): Continuação da equação das ondas. Mais exemplos.

Aula 51 (23/05/11): Revisão da matéria equações diferenciais.

Aula 52 (24/05/11): Revisão da matéria equações diferenciais.

Aula 53 (26/05/11): Revisão da matéria equações diferenciais.

Aula 54 (27/05/11): Revisão da matéria equações diferenciais.