Sumários das aulas teóricas

19 Set. Apresentação, programa da disciplina, bibliografia recomendada, avaliação de conhecimentos. Introdução à Axiomática dos Números Reais. Axiomas de corpo; subtracção e divisão. Algumas propriedades algébricas.
( ler os textos de apoio Lógica (pág. 1-28),  Teoria de Conjuntos e páginas 17 a 23 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
20 Set. Axiomática dos Números Reais (continuação): Axiomas de ordem e algumas propriedades. Os conjuntos N, Z e Q. Conjuntos indutivos e o Princípio da Indução Finita. O método de indução; exemplos.
(ler páginas 23 a 30 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
22 Set. A "suspeita" da existência de números irracionais. Intervalos. Majorantes, minorantes e conjuntos limitados. Máximo e mínimo de um conjunto: exemplos. Supremo e ínfimo de um conjunto e respectivas caracterizações. O Axioma do Supremo.
(ler páginas 31 a 37 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
26 Set.Algumas consequências do Axioma do Supremo: o conjunto N não é majorado; a  propriedade arquimedeana e a existência de números irracionais (referência ao problema da radiciação em R). Densidade de Q e R\Q em R.
(ler páginas 37 a 41 e 47 a 50 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
27 Set. Sucessões reais; sucessões limitadas e sucessões monótonas. Exemplos. A noção de convergência e a unicidade do limite.
(ler páginas 80 a 87 e 91 a 95 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira. Pode ser útil aproveitar para ler também, como revisão, da página 59 à 66).
29 Set. Propriedades algébricas do limite. Critério das sucessões enquadradas. Exemplos. 
(ler páginas 95 a 102 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
3 Out. A noção de limite e a relação de ordem. Teorema das sucessões monótonas e limitadas. Exemplos. Subsucessões. Exemplos.
(ler páginas 89, 90, 95, 105 a 110,  do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
4 Out. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sublimites, o conjunto dos sublimites de uma sucessão limitada, limite inferior e limite superior. A recta estendida e a relação de ordem. Definição das vizinhanças de +∞ e de -∞. Convergência na recta estendida. 
(ler páginas 105, 124 a 129 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
6 Out. Generalização das propriedades das sucessões limitadas para sucessões reais na recta estendida. Indeterminações. Exemplos.
(ler páginas 130 a 132 e 136 a 143 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
10 Out. Indeterminações (cont.). Funções reais de variável real; função injectiva, sobrejectiva e bijectiva. Gráfico. Funções soma, produto e quociente. Funções limitadas, supremo, ínfimo, máximo e mínimo. Funções monótonas e estritamente monótonas.
(ler páginas 231 a 237 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
11 Out. Função inversa. Funções circulares e suas inversas. Continuidade local: definição de continuidade num ponto. Exemplos.
(ler páginas 237a 240,  247 a 249, 265 a 266 e 270 a 276 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
13 Out. Algumas consequências da definição de continuidade num ponto. Continuidade no sentido de Heine e equivalência com a definição anterior (continuidade no sentido de Cauchy). Continuidade das funções soma, produto e quociente. Continuidade dos polinómios e das funções racionais. 
(ler páginas 277 a 280 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
17 Out. Composição de funções e a continuidade da função composta. A noção de limite num ponto (aderente ao domínio da função). O  prolongamento por continuidade de uma função num ponto e a equivalência com a existência de limite. Exemplos.
(ler páginas 281, 283 a 289 e 291 a 293 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
18 Out. Propriedades do limite. Limites relativos a subconjuntos. Limites laterais. Exemplos.
(ler páginas 295 a 297 e 300 a 303 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
20 Out.Funções com domínios não limitados e limites em ±∞. Propriedades globais das funções contínuas: Teorema do valor intermédio e alguns corolários. 
(ler páginas 310 a 313 e 315 a 317 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
24 Out. Teorema da continuidade da função inversa, exemplos. Teorema de Weierstrass. Introdução ao Cálculo Diferencial: noção de derivada num ponto interior ao domínio; equação da recta tangente ao gráfico em (a, f(a)). Exemplos.
(ler páginas 317 a 319 e 347 a 355 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
25 Out. Derivadas laterais. Definição de função diferenciável num ponto. Diferenciabilidade implica continuidade.Função derivada. Regras de derivação. Exemplos. Teorema da derivada da função composta: exemplos.
(ler páginas 355 a 364 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
27 Out. Teorema da derivada da função inversa. Exemplos importantes. Extremos locais de uma função e as suas relações com a diferenciabilidade. Exemplos. Teorema de Rolle.
(ler páginas 365 a 369 e 373 a 377 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
31 Out. Teorema de Lagrange e alguns corolários. Teorema de Cauchy.
(ler páginas 378 a 382 e 385 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
3 Nov. Regra de Cauchy e alguns exemplos.
(ler páginas 385 a 391 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
7 Nov. Derivadas de ordem superior à primeira e funções indefinidamente diferenciáveis. Primitivação: problema de Cauchy, primitivação imediata, exemplos.
(ler páginas 393 a 397 e 469 a 475 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
8 Nov. Primitivação por partes e primitivação por substituição. Exemplos.
(ler páginas 475 a 481 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
10 Nov. Introdução ao integral de Riemann. Somas de Darboux. Integral de Riemann. Definição e exemplos.
(ler páginas 511 a 519 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
14 Nov. Condição necessária e suficiente de integrabilidade. Integrabilidade das funções contínuas e das funções monótonas. Propriedades do integral: linearidade.
(ler páginas 520 a 526 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira, excluindo a demonstração do Teo. 3).
15 Nov. Monotonia. Integrabilidade do módulo de uma função integrável. Decomposição do integral e integrabilidade das funções seccionalmente monótonas e limitadas.
(ler páginas 527 a 536 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
17 Nov. Integrabilidade das funções seccionalmente contínuas. O 1º Teorema da Média. Continuidade do integral indefinido.
(ler páginas 537 a 540 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
21 Nov. O Teorema Fundamental da Análise e algumas consequências. A Regra de Barrow.
(ler páginas 541 a 545 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
22 Nov. Integração por partes e por substituição. Exemplos.
(ler páginas 546, 549 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
24 Nov. Determinação de áreas de conjuntos planos. A fórmula de Taylor para funções reais de variável real: exemplos.
(ler páginas 578 a 581 e 398 a 401 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
28 Nov. A fórmula de Taylor com resto de Lagrange e de Peano. Aplicação à determinação de extremos.
(ler páginas 404 a 409 e 436 a 438 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
29 Nov. A fórmula de Taylor com resto de Peano. Aplicação à determinação de convexidades e pontos de inflexão.
(ler páginas 438 a 441 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
4 Dez. Séries numéricas. Séries convergentes e séries divergentes. Condição necessária de convergência. Critério ou teste do integral.
(ler páginas 159 a 166 e o corolário da página 187 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
5 Dez. Linearidade. Séries geométricas. Exemplos. Séries de Mengoli. Séries de termos não negativos: critério geral de comparação. Exemplos
(ler páginas 167 a 169 e 174 a 179 do  livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
12 Dez. Critérios de comparação, da razão, de D´Alembert, da raíz e de Cauchy. Exemplos.
(ler páginas 180 a 182 e 184 a 185 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
13 Dez. Séries de termos sem sinal fixo e convergência simples e absoluta. Critério de Leibniz; exemplos.
(ler páginas 195 a 197 e 200 a 201 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
15 Dez.  Séries de potências: domínio de convergência e raio de convergência. Exemplos.
(ler páginas 216 a 221 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).