Sumários das aulas teóricas

14 Set. Apresentação, programa da disciplina, bibliografia recomendada, avaliação de conhecimentos. Introdução à Axiomática dos Números Reais. Axiomas de corpo; subtracção e divisão. Algumas propriedades algébricas.
( ler os textos de apoio Lógica (pág. 1-28),  Teoria de Conjuntos e páginas 17 a 23 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
15 Set. Axiomática dos Números Reais (continuação): Axiomas de ordem e algumas propriedades. Os conjuntos N, Z e Q. Conjuntos indutivos e o Princípio da Indução Finita. O método de indução; exemplos.
(ler páginas 23 a 30 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
17 Set. A "suspeita" da existência de números irracionais. Intervalos. Majorantes, minorantes e conjuntos limitados. Máximo e mínimo de um conjunto: exemplos. Supremo e ínfimo de um conjunto e respectivas caracterizações. O Axioma do Supremo.
(ler páginas 31 a 37 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
21 Set. Algumas consequências do Axioma do Supremo: o conjunto N não é majorado; a  propriedade arquimedeana e a existência de números irracionais (referência ao problema da radiciação em R). Densidade de Q e R\Q em R.
(ler páginas 37 a 41 e 47 a 50 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
22 Set. Sucessões reais; sucessões limitadas e sucessões monótonas. Exemplos. A noção de convergência e a unicidade do limite.
(ler páginas 80 a 87 e 91 a 95 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira. Pode ser útil aproveitar para ler também, como revisão, da página 59 à 66).
24 Set. Propriedades algébricas do limite. Critério das sucessões enquadradas. Exemplos. 
(ler páginas 95 a 102 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
28 Set. A noção de limite e a relação de ordem. Teorema das sucessões monótonas e limitadas. Exemplos. Subsucessões. Exemplos.
(ler páginas 89, 90, 95, 105 a 110 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
29 Set. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sublimites, o conjunto dos sublimites de uma sucessão limitada, limite inferior e limite superior. A recta estendida e a relação de ordem. Definição das vizinhanças de +∞ e de -∞. Convergência na recta estendida.
(ler páginas 115 e 124 a 129 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
1 Out. Generalização das propriedades das sucessões limitadas para sucessões reais na recta estendida. Indeterminações. Exemplos.
(ler páginas 129 a 132 e 136 a 143 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
5 Out: Indeterminações (cont.). Funções reais de variável real; função injectiva, sobrejectiva e bijectiva. Gráfico. Funções soma, produto e quociente. Funções limitadas, supremo, ínfimo, máximo e mínimo. Funções monótonas e estritamente monótonas. Função inversa. Funções pares e funções ímpares.
(ler páginas 231 a 240 e 247 a 249 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
6 Out. Funções circulares e suas inversas. Continuidade local: definição de continuidade num ponto. Exemplos.
(ler páginas 265 a 266 e 270 a 276 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
8 Out. Algumas consequências da definição de continuidade num ponto. Continuidade no sentido de Heine e equivalência com a definição anterior (continuidade no sentido de Cauchy). 
(ler páginas 277 a 280 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
12 Out. Continuidade das funções soma, produto e quociente. Continuidade dos polinómios e das funções racionais.Composição de funções e a continuidade da função composta.A noção de limite num ponto (aderente ao domínio da função). O  prolongamento por continuidade de uma função num ponto e a equivalência com a existência de limite.
(ler páginas 281, 283 a 289 e 291 a 293 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
13 Out. Propriedades do limite. Limites relativos a subconjuntos. Limites laterais. Exemplos.
(ler páginas 295 a 297 e 300 a 303 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
15 Out. Funções com domínios não limitados e limites em ±∞. Propriedades globais das funções contínuas: Teorema do valor intermédio e alguns corolários. Teorema da continuidade da função inversa, exemplos. 
(ler páginas 310 a 313 e 315 a 318 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
19 Out. Teorema de Weierstrass. Introdução ao Cálculo Diferencial: noção de derivada num ponto interior ao domínio; equação da recta tangente ao gráfico em (a, f(a)). Derivadas laterais. Definição de função diferenciável num ponto. Diferenciabilidade implica continuidade.Função derivada. Exemplos.
(ler páginas 319 e 347 a 357 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
20 Out. Regras de derivação. Exemplos. Teorema da derivada da função composta: exemplos. Teorema da derivada da função inversa. Exemplos importantes.
(ler páginas 358 a 369 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
22 Out. Extremos locais de uma função e as suas relações com a diferenciabilidade. Exemplos. Teoremas de Rolle e de Lagrange.
(ler páginas 373 a 377 e 380 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
26 Out. Alguns corolários do Teorema de Lagrange. Teorema de Cauchy. Regra de Cauchy e alguns exemplos.
(ler páginas 380 a 382 e 385 a 391 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
27 Out. Regra de Cauchy e exemplos (cont.)
29 Out. Derivadas de ordem superior à primeira e funções indefinidamente diferenciáveis. Primitivação: problema de Cauchy, primitivação imediata, exemplos.
(ler páginas 393 a 397 e 469 a 475 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
2 Nov. Primitivação por partes e primitivação por substituição. Exemplos.
(ler páginas 475 a 482 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
3 Nov. Introdução ao integral de Riemann. Somas de Darboux.
(ler páginas 511 a 517 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
5 Nov. Revisões .
9 Nov. Integral de Riemann. Definição e exemplos. Condição necessária e suficiente de integrabilidade. 
(ler páginas 518 a 520 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
10 Nov. Integrabilidade das funções contínuas e das funções monótonas. Propriedades do integral: linearidade e monotonia. Integrabilidade do módulo de uma função integrável.
(ler páginas 520 a 528 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira, excluindo a demonstração do Teo. 3).
12 Nov. Decomposição do integral e integrabilidade das funções seccionalmente monótonas e limitadas e das funções seccionalmente contínuas. O 1º Teorema da Média
(ler páginas 528 a 537 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
16 Nov. O integral indefinido. Continuidade do integral indefinido. O Teorema Fundamental da Análise e algumas consequências.
(ler páginas 537 a 543 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
17 Nov. O Teorema Fundamental da Análise e algumas consequências (cont.). A Regra de Barrow. Integração por partes.
(ler páginas 543 a 546 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
19 Nov. Integração por substituição. Exemplos. Determinação de áreas de conjuntos planos.
(ler páginas 549 e 578 a 581 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
23 Nov. A fórmula de Taylor para funções reais de variável real: exemplos. A  fórmula do resto de Lagrange
(ler páginas 400 a 401 e 404 a 409 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
24 Nov. A fórmula de Taylor com resto de Peano. Aplicação à determinação de extremos.
(ler páginas 436 a 438 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
26 Nov. Aplicação da fórmula de Taylor à determinação de convexidades e pontos de inflexão.
(ler páginas 438 a 441 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
30 Nov. Séries numéricas. Séries convergentes e séries divergentes. Condição necessária de convergência. Critério ou teste do integral.
(ler páginas 159 a 166 e o corolário da página 187 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
1 Dez. Linearidade. Séries geométricas. Exemplos. Séries de Mengoli. Exemplos
(ler páginas 167 a 169 do  livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
3 Dez. Séries de termos não negativos: critério geral de comparação. Critérios de comparação, da razão, de D´Alembert, da raíz e de Cauchy. Exemplos.
(ler páginas 174 a 179, 180 a 182 e 184 a 185 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
7 Dez. Séries de termos sem sinal fixo e convergência simples e absoluta. Critério de Leibniz; exemplos.
(ler páginas 195 a 197 e 200 a 201 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
10 Dez.  Séries de potências: domínio de convergência e raio de convergência. Exemplos.
(ler páginas 216 a 221 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
14 Dez. Séries de Taylor para funções reais de variável real. Unicidade do desenvolvimento. Exemplos.
(ler páginas 415 a 420 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
15 Dez. Desenvolvimentos em série de Taylor: exemplos.
(ler páginas 423 a 429 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira)