Sumários das aulas teóricas

18 Fev. Apresentação, programa da disciplina, bibliografia recomendada, avaliação de conhecimentos. Introdução à Axiomática dos Números Reais. Axiomas de corpo; subtracção e divisão. Algumas propriedades algébricas.
( ler os textos de apoio Lógica (pág. 1-28),  Teoria de Conjuntos e páginas 17 a 23 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
19 Fev. Axiomática dos Números Reais (continuação): Axiomas de ordem e algumas propriedades. Os conjuntos N, Z e Q. Conjuntos indutivos e o Princípio da Indução Finita.
(ler páginas 23 a 30 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
23 Fev. A "suspeita" da existência de números irracionais. Intervalos. Majorantes, minorantes e conjuntos limitados. Máximo e mínimo de um conjunto: exemplos. Supremo e ínfimo de um conjunto e respectivas caracterizações. O Axioma do Supremo.
(ler páginas 31 a 37 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
25 Fev. Algumas consequências do Axioma do Supremo: o conjunto N não é majorado; a  propriedade arquimedeana e a existência de números irracionais (referência ao problema da radiciação em R). Densidade de Q e R\Q em R.
(ler páginas 37 a 41 e 47 a 50 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
26 Fev. Sucessões reais; sucessões limitadas e sucessões monótonas. Exemplos. A noção de convergência e a unicidade do limite.
(ler páginas 80 a 87 e 91 a 95 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira. Pode ser útil aproveitar para ler também, como revisão, da página 59 à 66).
2 Mar. Propriedades algébricas do limite. Critério das sucessões enquadradas. Exemplos. 
(ler páginas 95 a 102 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
4 Mar. A noção de limite e a relação de ordem. Teorema das sucessões monótonas e limitadas. Exemplos. Subsucessões. Exemplos. Teorema de Bolzano-Weierstrass.
(ler páginas 89, 90, 95, 105 a 110 e 115,  do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
5 Mar. Sublimites, o conjunto dos sublimites de uma sucessão limitada, limite inferior e limite superior. A recta estendida e a relação de ordem. Definição das vizinhanças de +∞ e de -∞. Convergência na recta estendida. Generalização das propriedades das sucessões limitadas para sucessões reais na recta estendida.
(ler páginas 124 a 132 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
9 Mar. Indeterminações. Exemplos.
(ler páginas 136 a 143 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
11 Mar. Funções reais de variável real; função injectiva, sobrejectiva e bijectiva. Gráfico. Funções soma, produto e quociente. Funções limitadas, supremo, ínfimo, máximo e mínimo. Funções monótonas e estritamente monótonas. Função inversa. Funções pares e funções ímpares.
(ler páginas 231 a 240 e 247 a 249 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
12 Mar. Funções circulares e suas inversas. Continuidade local: definição de continuidade num ponto. Exemplos.
(ler páginas 265 a 266 e 270 a 276 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
16 Mar. Algumas consequências da definição de continuidade num ponto. Continuidade no sentido de Heine e equivalência com a definição anterior (continuidade no sentido de Cauchy). Continuidade das funções soma, produto e quociente. Continuidade dos polinómios e das funções racionais.
Composição de funções e a continuidade da função composta.
(ler páginas 277 a 281 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
18 Mar. A noção de limite num ponto (aderente ao domínio da função). O  prolongamento por continuidade de uma função num ponto e a equivalência com a existência de limite. Exemplos. Propriedades do limite.
(ler páginas 283 a 289, 291 a 293 e 295 a 297 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
19 Mar.  Limites relativos a subconjuntos. Limites laterais. Exemplos. Funções com domínios não limitados e limites em ±∞. 
(ler páginas 300 a 303 e 310 a 313 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
23 Mar. Propriedades globais das funções contínuas: Teorema do valor intermédio e alguns corolários. Teorema da continuidade da função inversa, exemplos. Teorema de Weierstrass.
(ler páginas 315 a 319 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
25 Mar. Introdução ao Cálculo Diferencial: noção de derivada num ponto interior ao domínio; equação da recta tangente ao gráfico em (a, f(a)). Derivadas laterais. Definição de função diferenciável num ponto. Diferenciabilidade implica continuidade. Exemplos. Função derivada.
(ler páginas 347 a 356 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
26 Mar. Regras de derivação. Exemplos. Teorema da derivada da função composta: exemplos. Teorema da derivada da função inversa. Exemplos importantes.
(ler páginas 356 a 369 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
30 Mar.  Extremos locais de uma função e as suas relações com a diferenciabilidade. Exemplos. Teoremas de Rolle e de Lagrange. Alguns corolários do Teorema de Lagrange.
(ler páginas 373 a 377 e 382 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
8 Abr.  Teorema de Cauchy. Regra de Cauchy e alguns exemplos.
(ler páginas 380 a 382 e 385 a 391 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
9 Abr. Regra de Cauchy e exemplos (cont.). Derivadas de ordem superior à primeira e funções indefinidamente diferenciáveis. 
(ler páginas 393 a 397 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
13 Abr.Primitivação: problema de Cauchy, primitivação imediata, exemplos.
(ler páginas 469 a 475 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
15 Abr. Primitivação por partes e primitivação por substituição. Exemplos.
(ler páginas 475 a 497 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira e “Exemplos de primitivação de funções racionais”).
16 Abr. Introdução ao integral de Riemann. Somas de Darboux. Definição do Integral de Riemann.
(ler páginas 511 a 519 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
20 Abr. Condição necessária e suficiente de integrabilidade. Integrabilidade das funções contínuas e das funções monótonas. 
(ler páginas 520 a 523 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira, excluindo a demonstração do Teo. 3).
22 Abr. Propriedades do integral: linearidade e monotonia. Integrabilidade do módulo de uma função integrável. Decomposição do integral.
(ler páginas 523 a 527 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
23 Abr. Integrabilidade das funções seccionalmente monótonas e limitadas e das funções seccionalmente contínuas.O 1º Teorema da Média. 
(ler páginas 527 a 537 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
27 Abr. Continuidade do integral indefinido. O Teorema Fundamental da Análise e algumas consequências.
(ler páginas 538 a 542 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
29 Abr.  Algumas consequências do Teorema Fundamental da Análise. A Regra de Barrow. Integração por partes. Exemplos.
(ler páginas 542 a 546 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
30 Abr. Integração por substituição. Determinação de áreas de conjuntos planos. Exemplos.
(ler páginas 549 e 578 a 581 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
4 Mai. A fórmula de Taylor para funções reais de variável real: exemplos. A  fórmula do resto de Lagrange
(ler páginas 400 a 401 e 404 a 409 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
6 Mai. A fórmula de Taylor com resto de Peano. Aplicação à determinação de extremos, convexidades e pontos de inflexão.
(ler páginas 436 a 441 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
7 Mai. Séries numéricas. Séries convergentes e séries divergentes. Condição necessária de convergência. Critério ou teste do integral e séries de Dirichlet.
(ler páginas 159 a 166 e o corolário da página 187 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
11 Mai. Demonstração do critério do integral. Linearidade. Séries geométricas. Exemplos. Séries de Mengoli. 
(ler páginas 167 a 169  do  livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
13 Mai. Séries de termos não negativos: critério geral de comparação e o critérios de comparação. Exemplos.
(ler páginas 174 a 179 do  livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
14 Mai. Critérios da razão, de D´Alembert, da raíz e de Cauchy. Exemplos.
(ler páginas 180 a 182 e 184 a 185 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
18 Maio. Séries de termos sem sinal fixo e convergência simples e absoluta. Critério de Leibniz; exemplos.
(ler páginas 195 a 197 e 200 a 201 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
20 Maio. Séries de potências: domínio de convergência e raio de convergência. Exemplos.
(ler páginas 216 a 221 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
21 Maio.  Não houve aula (Anfiteatro Ga5 em reparação).
25 Maio. Séries de Taylor para funções reais de variável real. Unicidade do desenvolvimento. Exemplos.
(ler páginas 415 a 420 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
27 Maio. Desenvolvimentos em série de Taylor: exemplos.
(ler páginas 423 a 429 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira)
28 Maio. Esclarecimento de dúvidas.