Sumários das aulas teóricas

15 Set. Apresentação, programa da disciplina, bibliografia recomendada, avaliação de conhecimentos. Introdução à Axiomática dos Números Reais. Axiomas de corpo; subtracção e divisão. Algumas propriedades algébricas.
( ler os textos de apoio Lógica (pág. 1-28),  Teoria de Conjuntos e páginas 17 a 23 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
16 Set. Axiomática dos Números Reais (continuação): Axiomas de ordem e algumas propriedades. Os conjuntos N, Z e Q. Conjuntos indutivos e o Princípio da Indução Finita. O método de indução; exemplos.
(ler páginas 23 a 30 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
18 Set. A "suspeita" da existência de números irracionais. Intervalos. Majorantes, minorantes e conjuntos limitados. Máximo e mínimo de um conjunto: exemplos. Supremo e ínfimo de um conjunto e respectivas caracterizações. O Axioma do Supremo.
(ler páginas 31 a 37 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
22 Set. Algumas consequências do Axioma do Supremo: o conjunto N não é majorado; a  propriedade arquimedeana e a existência de números irracionais (referência ao problema da radiciação em R). Densidade de Q e R\Q em R.
(ler páginas 37 a 41 e 47 a 50 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
23 Set. Sucessões reais; sucessões limitadas e sucessões monótonas. Exemplos. A noção de convergência e a unicidade do limite.
(ler páginas 80 a 87 e 91 a 95 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira. Pode ser útil aproveitar para ler também, como revisão, da página 59 à 66).
25 Set. Propriedades algébricas do limite. Critério das sucessões enquadradas. Exemplos. 
(ler páginas 95 a 102 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
29 Set. A noção de limite e a relação de ordem. Teorema das sucessões monótonas e limitadas. Exemplos. Subsucessões. Exemplos. Teorema de Bolzano-Weierstrass.
(ler páginas 89, 90, 95, 105 a 110 e 115,  do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
30 Set. Sublimites, o conjunto dos sublimites de uma sucessão limitada, limite inferior e limite superior. A recta estendida e a relação de ordem. Definição das vizinhanças de +∞ e de -∞. Convergência na recta estendida. Generalização das propriedades das sucessões limitadas para sucessões reais na recta estendida.
(ler páginas 124 a 132 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
2 Out. Indeterminações. Exemplos.
(ler páginas 136 a 143 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
6 Out. Funções reais de variável real; função injectiva, sobrejectiva e bijectiva. Gráfico. Funções soma, produto e quociente. Funções limitadas, supremo, ínfimo, máximo e mínimo. Funções monótonas e estritamente monótonas. Função inversa. Funções pares e funções ímpares.
(ler páginas 231 a 240 e 247 a 249 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
7 Out. Funções circulares e suas inversas. Continuidade local: definição de continuidade num ponto. Exemplos.
(ler páginas 265 a 266 e 270 a 276 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
9 Out. Algumas consequências da definição de continuidade num ponto. Continuidade no sentido de Heine e equivalência com a definição anterior (continuidade no sentido de Cauchy). Continuidade das funções soma, produto e quociente. Continuidade dos polinómios e das funções racionais. Composição de funções e a continuidade da função composta.
(ler páginas 277 a 281 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
13 Out. A noção de limite num ponto (aderente ao domínio da função). O  prolongamento por continuidade de uma função num ponto e a equivalência com a existência de limite. Exemplos. Propriedades do limite.
(ler páginas 283 a 289, 291 a 293 e 295 a 297 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
14 Out. Limites relativos a subconjuntos. Limites laterais. Exemplos. Funções com domínios não limitados e limites em ±∞. 
(ler páginas 300 a 303 e 310 a 313 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
16 Out. Propriedades globais das funções contínuas: Teorema do valor intermédio e alguns corolários. Teorema da continuidade da função inversa, exemplos. Teorema de Weierstrass.
(ler páginas 315 a 319 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
20 Out. Introdução ao Cálculo Diferencial: noção de derivada num ponto interior ao domínio; equação da recta tangente ao gráfico em (a, f(a)). Derivadas laterais. Definição de função diferenciável num ponto. Diferenciabilidade implica continuidade.Função derivada. Regras de derivação. Exemplos.
(ler páginas 347 a 360 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
21 Out. Teorema da derivada da função composta: exemplos. Teorema da derivada da função inversa. Exemplos importantes.
(ler páginas 360 a 369 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
23 Out. Extremos locais de uma função e as suas relações com a diferenciabilidade. Exemplos. Teoremas de Rolle e de Lagrange.
(ler páginas 373 a 377 e 380 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
27 Out. Alguns corolários do Teorema de Lagrange. Teorema de Cauchy. Regra de Cauchy e alguns exemplos.
(ler páginas 380 a 382 e 385 a 391 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
28 Out. Regra de Cauchy e exemplos (cont.)
30 Out. Derivadas de ordem superior à primeira e funções indefinidamente diferenciáveis. Primitivação: problema de Cauchy, primitivação imediata, exemplos.
(ler páginas 393 a 397 e 469 a 475 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
3 Nov. Primitivação por partes e primitivação por substituição. Exemplos.
4 Nov. Introdução ao integral de Riemann. Somas de Darboux. Integral de Riemann. Definição e exemplos.
(ler páginas 511 a 519 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
6 Nov. Revisões.
10 Nov. Condição necessária e suficiente de integrabilidade. Integrabilidade das funções contínuas e das funções monótonas. Propriedades do integral: linearidade e monotonia.
(ler páginas 520 a 526 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira, excluindo a demonstração do Teo. 3).
11 Nov. Integrabilidade do módulo de uma função integrável. Decomposição do integral e integrabilidade das funções seccionalmente monótonas e limitadas e das funções seccionalmente contínuas.
(ler páginas 527 a 536 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
13 Nov. Integrabilidade das funções seccionalmente contínuas (cont.). O 1º Teorema da Média. Continuidade do integral indefinido.
(ler páginas 537 a 540 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
17 Nov. O Teorema Fundamental da Análise e algumas consequências. A Regra de Barrow.
(ler páginas 541 a 545 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
18 Nov. Integração por partes e por substituição. Exemplos. Determinação de áreas de conjuntos planos.
(ler páginas 546, 549 e 578 a 581 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
20 Nov. A fórmula de Taylor para funções reais de variável real: exemplos. A  fórmula do resto de Lagrange
(ler páginas 400 a 401 e 404 a 409 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
24 Nov. A fórmula de Taylor com resto de Peano. Aplicação à determinação de extremos.
(ler páginas 436 a 438 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
25 Nov. A fórmula de Taylor com resto de Peano. Aplicação à determinação de convexidades e pontos de inflexão.
(ler páginas 438 a 441 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
27 Nov. Séries numéricas. Séries convergentes e séries divergentes. Condição necessária de convergência. Critério ou teste do integral.
(ler páginas 159 a 166 e o corolário da página 187 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
1 Dez. Linearidade. Séries geométricas. Exemplos. Séries de Mengoli. Séries de termos não negativos: critério geral de comparação. Exemplos
(ler páginas 167 a 169 e 174 a 179 do  livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
2 Dez. Critérios de comparação, da razão, de D´Alembert, da raíz e de Cauchy. Exemplos.
(ler páginas 180 a 182 e 184 a 185 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
4 Dez. Séries de termos sem sinal fixo e convergência simples e absoluta. Critério de Leibniz; exemplos.
(ler páginas 195 a 197 e 200 a 201 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
9 Dez.  Séries de potências: domínio de convergência e raio de convergência. Exemplos.
(ler páginas 216 a 221 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
11 Dez. Séries de Taylor para funções reais de variável real. Unicidade do desenvolvimento. Exemplos.
(ler páginas 415 a 420 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira).
15 Dez. Desenvolvimentos em série de Taylor: exemplos.
(ler páginas 423 a 429 do livro Int. Anál. Mat., de J. Campos Ferreira)
16 Dez. Esclarecimento de dúvidas.
18 Dez. Não houve aula.