Sumários das aulas teóricas

20 Fev.  Apresentação, programa da disciplina, bibliografia recomendada, avaliação de conhecimentos. Primitivação: definição de primitiva para uma função real  definida num intervalo, problema de Cauchy.
22 Fev. Primitivação imediata. Exemplos. Primitivação por decomposição e por partes.
24 Fev. Alguns exemplos de primitivação por partes. Primitivação por substituição (exemplos).
  3 Mar. Primitivação de funções racionais. Exemplos.
  6 Mar. Primitivação de funções racionais (continuação). Primitivação por racionalização.
  8 Mar. Primitivação por racionalização(continuação) e exemplos. Introdução ao integral de Riemann.
10 Mar. Integral de Riemann. Definição e exemplos.
13 Mar. Condição necessária e suficiente de integrabilidade. Integrabilidade das funções contínuas e das funções monótonas. Propriedades do integral: linearidade e monotonia.
15 Mar. Integrabilidade do módulo de f. Decomposição do integral e integrabilidade das funções seccionalmente monótonas e limitadas e das funções seccionalmente contínuas.
17 Mar. O 1º Teorema da Média e a continuidade do integral indefinido. Teorema Fundamental da Análise.
20 Mar. Algumas consequências do Teorema Fundamental da Análise. A Regra de Barrow. Integração por partes. Exemplos.
22 Mar.  Integração por substituição. Exemplos. Determinação de comprimentos de linhas.
24 Mar. Determinação de áreas de conjuntos planos. Exemplos.
27 Mar. Funções vectoriais de variável vectorial. Exemplos. O espaço Rn e a sua estrutura algébrica. Produto interno e a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Norma euclidiana.
29 Mar. Ângulo entre dois vectores. Noção de distância e vizinhanças em Rn.  Sucessões em  Rn:  sucessões coordenadas e  noção de convergência.
31 Mar. Sucessões em  Rn (continuação). Propriedades algébricas do limite. Noção de sucessão limitada e Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sucessões de Cauchy.
 3  Abr. Noções topológicas: interior, exterior e fronteira de um subconjunto X de Rn ; fecho ou aderência de X, caracterização de ponto aderente em termos de sucessões. Conjuntos abertos e conjuntos fechados.
 5  Abr. Conjuntos limitados e conjuntos compactos. Exemplos. Caracterização sequencial da noção de conjunto compacto. Conjuntos conexos.
 7  Abr. Continuidade local para funções vectoriais de variável vectorial: definição, exemplos (incluindo as aplicações lineares), equivalência com a noção de continuidade sequencial num ponto.
10 Abr. Continuidade local para funções vectoriais de variável vectorial (continuação): exemplos, continuidade das funções polinomiais e racionais, teorema da continuidade da função composta.
12 Abr. Continuidade global: Teoremas de Weierstrass e do valor intermédio.
21 Abr. Noção de limite num ponto aderente ao domínio. Exemplos. Propriedades do limite. Teorema do limite da função composta.
26 Abr. Limites segundo subconjuntos do domínio. Limites direccionais. Exemplos.
28 Abr. Introdução ao Cálculo Diferencial: derivadas parciais e direccionais para campos escalares de duas variáveis; generalização para funções definidas em subconjuntos de Rn e alguns exemplos.
  3 Mai. Exemplos de funções não contínuas num ponto mas com todas as derivadas direccionais nesse ponto. Noção de função diferenciável num ponto, hiperplano tangente e exemplos.
  5 Mai. A diferenciabilidade versus continuidade. Definição de derivada (derivada total) para funções vectoriais de variável vectorial. Matriz Jacobiana. Exemplos.
  8 Mai. Funções de classe C1; condição suficiente de diferenciabilidade. Exemplos.
10 Mai.
Teorema do valor médio e alguns corolários.
12 Mai. Derivada da função composta; exemplos.
15 Mai. A fórmula de Taylor para funções reais de variável real: exemplos.
17 Mai. Demonstração da  fórmula de Taylor com resto de Lagrange. A fórmula do resto de Peano. Aplicação à determinação de extremos.
19 Mai. Convexidade e pontos de inflexão; exemplos.
22 Mai. Derivadas de ordem superior à primeira e Teorema de Schwarz. Funções de classe Cp.
24 Mai. Teorema de Taylor para funções reais de variável vectorial de classe Cm+1. Matriz Hessiana num ponto. Exemplos.
26 Mai. Demonstração do Teorema de Taylor. Exemplos.
29 Mai. Pontos de estacionaridade e  extremos locais para funções reais de variável vectorial. Critérios baseados na fórmula de Taylor de 2ª ordem.
31 Mai. Determinação de extremos e pontos de sela. Exemplos.
 2  Jun. Séries de Taylor para funções reais de variável real. Unicidade do desenvolvimento. Exemplos.
 5  Jun. Desenvolvimentos em série de Taylor: exemplos.