Aulas
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Sumários
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21/02/06
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Programa,
bibliografia e normas de avalição.
Introdução histórica aos números complexos.
Representação de números complexos: cartesiana e
polar. Multiplicação de números complexos e
potências. Fórmula de De Moivre. |
22/02/06
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Raízes-n de um
número complexo. Fórmulas de Euler.
Representação de conjuntos do plano em termos de
conjuntos de números complexos. Noções
topológicas.
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24/02/06
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Convergência de
sucessões e séries complexas. Definição de
exponencial como uma série (absolutamente convergente).
Introdução às funções complexas de
variável complexa: Parte real e parte imaginária; Limite
e continuidade; definição de derivada.
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03/03/06
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Diferenciabilidade e
continuidade de funções complexas de variável
complexa. Definição de função
analítica. Condições necessárias de
diferenciabilidade: Equações de Cauchy-Riemann. Exemplos.
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07/03/06
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Condições
necessárias e suficientes de diferenciabilidade.
Funções elementares: exponencial, funções
trigonométricas, funções hiperbólicas.
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08/03/06
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Logarítmo de um
número complexo. Ramo principal do logarítmo.
Continuidade a analiticidade (dum ramo) do logarítmo.
Função trigonométricas inversas.
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10/03/06
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Funções
trignométricas inversas (continuação).
Exponenciação de base e expoente complexos. Integral ao
longo de um caminho de uma função complexa de
variável complexa: definição, exemplos e
propriedades.
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14/03/06
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Majoração de
integrais de contorno de funções contínuas.
Teorema de Cauchy e suas consequências: integração
de funções analíticas ao longo de caminhos
fechados homotópicos.
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15/03/06
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Fórmula integral de
Cauchy e fórmulas integrais para as derivadas.
Funções Harmónicas.
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17/03/06
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Teorema de Morera.
Convergência uniforme de séries de funções.
Séries de potências: série geométrica; raio
de convergência.
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21/03/06
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Integração termo a
termo de séries de funções uniformemente
convergentes. Série de Taylor de uma função
analítica. Analiticidade de uma função dada por
uma série de potências. Derivação termo a
termo de uma série de potências.
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22/03/06
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Série de Laurent.
Exemplos.
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24/03/06
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Teorema dos resíduos.
Aplicações.
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28/03/06
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Classificação de
singularidades. Exemplos.
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29/03/06
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Cálculo de
resíduos em singularidades de uma função complexa
de variável complexa. Aplicação do teorema dos
resíduos ao cálculo de integrais de funções
trigonométricas.
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31/03/06
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1ºTeste
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04/04/06
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Aplicação do
Teorema dos resíduos ao cálculo de funções
racionais
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05/04/06
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Aplicação do
Teorema dos resíduos ao cálculo de funções
racionais (continuação). Introdução
às equações diferenciais. |
07/04/06
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Equações
diferenciais ordinárias (EDO) de primeira ordem lineares
(homogéneas e não homogéneas). Problemas de valor
inicial. EDOs separáveis.
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11/04/06
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EDOs separáveis
(continuação). Intervalos máximos de
definição de problemas de valor inicial. Exemplos.
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12/04/06
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Soluções de EDOs
definidas implicitamente. Equações diferenciais exactas.
Exemplos.
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21/04/06
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Equações
redutíveis a exactas. Factores integrantes dependentes só
de uma variável. Exemplos.
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26/04/06
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Mudanças de
variáveis e resolução de alguns tipos de EDOs.
Traçado gráfico de soluções. |
28/04/06
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2ºTeste
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2/05/06
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Existência e unicidade de
soluções de problemas de valor inicial
(P.V.I): Sucessão de aproximações de Picard;
Teorema de
Picard-Lindelof; Exemplos |
3/05/06
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Prolongamento de
soluções de P.V.I obtidos por aplicação do
teorema de
Picard-Lindelof (intervalo máximo de definição).
Comparação de soluções
de 2 problemas de valor inicial. Exemplos. |
5/05/06
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Sistemas de EDOs lineares.
Existência e unicidade de soluções de PVI
para este tipo de sistemas. Sistemas de EDOs lineares
homogéneos:
solução geral; matrizes solução
fundamental; solução geral de um sistema de
matriz diagonal. |
9/05/06
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Valores e vectores
próprios de uma matriz A e soluções de um sistema
y' = A y. Matriz solução fundamental para y' = A y quando
A é uma matriz diagonalizável.
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10/05/06
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Definição de
exponencial de uma matriz. A exponencial e^{At} como uma matriz
solução fundamental de um sistema y' = A y.
Cálculo de e^{At} para matrizes diagonalizáveis. |
12/05/06
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Vectores próprios
generalizados. Cálculo de e^{At}w quando w é um vector
próprio generalizado de A. Cálculo de e^{At} para
matrizes não diagonalizáveis. Exemplo.
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16/05/06
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Sistemas de EDOs não
homogéneos: Fórmula de variação das
constantes. Exemplo. Equações diferenciais de ordem n de
coeficientes constantes: redução a um sistema de EDOs de
primeira ordem; matriz companheira; polinómio
característico da matriz companheira.
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17/05/06
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Equações
diferenciais de ordem n de coeficientes constantes: operadores
diferenciais lineares de coeficientes constantes; solução
de uma equação
linear homogénea de ordem n; equação linear
não homogénea (método dos
coeficientes indeterminados). |
19/05/06
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Equações
diferenciais de orden n não homogéneas: matriz
wronskiana; fórmula de variação das constantes;
exemplos. |
23/05/06
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Equação do calor.
Método de separação de variáveis.
Condições de fronteira de Dirichlet.
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24/05/06
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Série de Fourier de uma
função. Convergência pontual da série de
Fourier. Exemplo. Série de Fourier de funções
pares e de funções ímpares.
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26/05/06
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Série de senos e
série de cosenos de uma função.
Aplicação no cálculo de soluções de
problemas, com condições de fronteira e
condições iniciais, para a equação do calor.
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30/05/06
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Separação de
variáveis para a equação do calor
"não homogénea". Exemplos.
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31/05/06
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Equação das ondas
e equação de Laplace num domínio rectangular.
Exemplo.
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2/06/06
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Transformada de Laplace:
transformadas de Laplace de algumas funções; tranformada
de Laplace de derivadas; aplicação ao cálculo de
soluções de EDOs; tranformada de Laplace da
função de Heaviside e aplicação.
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