Aulas
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Sumários
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01/03/05
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Programa,
bibliografia e normas de avalição.
Introdução histórica aos números complexos.
Representação de números complexos no plano.
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02/03/05
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Representação
polar dos números complexos. Fórmula de De Moivre.
Raízes n de um número complexo.
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4/03/05
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Conjuntos no plano complexo.
Nocões topológicas. Sucessões complexas.
Introdução às funções complexas de
variável complexa.
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08/03/05
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Continuidade e
diferenciabilidade de funções complexas de
variável complexa. Condições necessárias de
diferenciabilidade: equações de Cauchy-Riemann.
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09/03/05
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Exemplos de
funções complexas diferenciáveis e não
diferenciáveis. Definição de função
analítica. Condições suficientes de
diferenciabilidade.
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11/03/05
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Resultados para
funções analíticas. Funções
harmónicas e analiticidade.
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15/03/05
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Funções
elementares: exponencial, logarítmo, seno, coseno, seno e coseno
hiperbólicos. Propriedades e diferenciabilidade.
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16/03/05
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Continuação da
aula anterior. Funções inversas de funções
elementares. Introdução à integração
de funções com valores complexos.
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18/03/05
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Curvas regulares e
seccionalmente regulares. Integral de uma função complexa
de variável complexa ao longo de uma curva.
Majoração do integral de uma função ao
longo de uma curva. Teorema Fundamental do Cálculo.
Integração em domínios conexos.
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22/03/05
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Teorema de Cauchy.
Invariância do integral de funções
analíticas por homotopia. Cálculo de integrais usando a
fórmula integral de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy
para as derivadas de uma função analítica.
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30/03/05
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Teorema de Morera; Teorema de
Liouville; Teorema Fundamental da Álgebra.
Introdução às séries de números
complexos: convergência, convergência absoluta.
Série geométrica.
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1/04/05
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Convergência uniforme de
séries de funções; Teste de Weierstrass;
diferenciabilidade e integração de séries de
funcões uniformente convergentes. Séries de
potências: Raio de convergência e convergência
uniforme.
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05/04/05
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Série de Taylor e
Série de Laurent. Exemplos.
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06/04/05
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Teste de avaliação
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08/04/05
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Classificação de
singularidades isoladas de funções complexas: essenciais;
removíveis; pólos. Exemplos.
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12/04/05
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Teorema dos resíduos.
Cálculo de resíduos para diversos tipos de
singularidades. Exemplos.
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13/04/05
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Definição de
transformada de Laplace. Exemplos. Transformada de Laplace das
derivadas de uma
função. Transformada de Laplace e resolução
de equações diferenciais. Fórmula de
inversão da transformada de Laplace.
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15/04/05
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Função de
Heaviside e convolução de funções e a
transformada de Laplace. Aplicação na
resolução de equações diferenciais.
Aplicação do Teorema dos resíduos ao
cálculo de integrais de funções
trigonométricas.
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19/04/05
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Aplicação do
Teorema dos resíduos ao cálculo de integrais indefinidos
envolvendo expressões racionais e trigonométricas.
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20/04/05
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Equações
diferenciais ordinárias de 1ª ordem lineares,
homogéneas e não homogéneas.
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22/04/05
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Equações
difrerenciais separáveis e exactas. Exemplos.
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26/04/05
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Equações
redutíveis a exactas. Traçado gráfico de
soluções (campos de direcções).
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27/04/05
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Teste de avaliação.
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29/04/05
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Campos de
direcções (continuação). Teorema de
existência e unicidade para problemas de valor inicial.
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3/05/05
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Teorema de Picard
(continuação): Exemplos de aplicabilidade. Prolongamento
de soluções. Intervalos máximos de
definição de soluções.
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4/05/05
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Comparação de
soluções de problemas de valor inicial.
Introdução aos sistemas de equações
diferenciais lineares.
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6/05/05
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Valores e vectores
próprios de matrizes e soluções de um sistema y' =
A y. Dimensão do espaço das soluções de um
sistema homogéneo. Exemplos.
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| 10/05/05 |
Definição de
exponencial de uma matriz. Matriz solução fundamental de
um sistema homogéneo. e^{At} como uma matriz
solução fundamental. Cálculo da exponencial e^{At}
para matrizes diagonalizáveis e solução geral do
sistema y'=Ay. Exemplos.
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11/05/05
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Soluções
linearmente independentes de y'=Ay para matrizes não
diagonalizáveis. Cálculo da exponencial e^{At} para A
não diagonalizável, e solução geral do
sistema y'=Ay. Exemplos. |
13/05/05
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Sistemas de
equações diferenciais lineares não
homogéneos: Fórmula de variação das
constantes. Introdução às
equações diferenciais de ordem superior à
primeira. Redução de uma equação de ordem n
linear a um sistema de equações de primeira ordem.
Equações lineares de ordem n de coeficientes constantes:
matriz companheira, matriz wronskiana.
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17/05/05
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Resolução de
equações diferenciais de ordem n usando a matriz
Wronskiana.
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18/05/05
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Resolução de
equações diferenciais de orden n de coeficientes
constantes pelo método dos coeficientes indeterminados.
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20/05/05
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Introdução
às séries de Fourier: equação do calor com
condições de fronteira e método de
separação de variáveis.
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24/05/05
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Série de Fourier duma
função definida em [-L,L] e sua convergência
pontual. Exemplos.
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25/05/05
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Série de Fourier para
funções pares e ímpares. Série de senos e
de cosenos de uma função.
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27/05/05
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Continuação da
aula anterior. Séries de exponenciais complexas.
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31/05/05
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Funções de
quadrado integrável. Introdução à
equação do calor não homogénea.
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1/06/05
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Equação do calor
não homogénea (continuação). Exemplos. |
3/05/05
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Equação das ondas.
Método de separação de variáveis e
método D'Alembert.
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7/06/05
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Equação de Laplace
num domínio circular. Separação de
variáveis para a equação de Laplace:
equação de Laplace num domínio rectangular.
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