Programa:

I. Introdução à Análise Complexa

Estrutura algébrica e topológica dos números complexos. Funções complexas de variável complexa: exponencial e logarítmo. Diferenciabilidade de funções complexas: equações de Cauchy-Riemann, funções harmónicas. Integração de funções complexas: teorema e fórmulas integrais de Cauchy e suas consequências fundamentais. Séries de potências, de Taylor e Laurent. Singularidades, teorema dos resíduos e aplicações.

• II. Equações diferenciais ordinárias

Equações escalares de primeira ordem: equações separáveis, exactas e factores integrantes. Equações lineares e semi-lineares. Existência e unicidade de soluções. Traçado gráfico e teoria qualitativa. Equações lineares de primeira ordem. Exponencial de matrizes e matrizes fundamentais. Fórmula da variação das constantes. Equações de ordem superior: método de redução de ordem, método dos coeficientes indeterminados. Transformada de Laplace: propriedades, exemplos e inversão. Aplicação àresolução de equações diferenciais.

• III. Equações diferenciais parciais

Problemas de condição fronteira. Método de separação de variáveis. Séries de Fourier, suas propriedades e convergência. Algumas soluções particulares de problemas de condição inicial/fronteira para as equações do calor, de Laplace e das ondas.

  Bibliografia:

1. Análise Complexa:

[Al] L.Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill.

[CN] M. Carreira e M. Nápoles, Variável Complexa: Teoria Elementar e Exercícios Resolvidos, McGraw Hill, 1999.

[CB] R. Churchill e D. Brown, Complex Variables and applications. McGraw-Hill, 1990.

[MH] J. Marsden e M. Hoffman, Basic Complex Analysis, Freeman, 1987.

[ST] I. Stewart e D. Tall, Complex Analysis, Cambridge University Press, 1983.

2. Equações Diferenciais:


[Ap] T.Apostol, Calculus, vol.I e II, J.Wiley, 1966.

[B] M.Braun, Differential Equations and their Applications, Springer 1979.

[BP] W.Boyce e R.DiPrima, Elementary Diff. Eq. and Boundary Value Problems, John Wiley & S. 1977.

[M] L.Magalhães, Notas de Teoria Elementar de Equações Diferenciais, Secção de Folhas da AEIST.

[PC] F. Pestana da Costa, Equações Diferenciais Ordinárias, 2ª edição, IST Press, 2001; existe uma errata em ficheiro PDF.

Alguns textos online:

• D. N. Arnold, Gráficos de funções complexas com animação, 2000.
• R. Coutinho, Notas de aulas de Análise Matemática IV, 2004.
  
• L. Magalhães, Análise Complexa de uma variável e Aplicações, 2004
  
• J. Palhoto Matos, Introdução à Análise Complexa, 2002.
• G. Pires, Notas em Análise Complexa, 1998.