Álgebra Linear 1º Semestre 2006/07
Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Sumários das aulas teóricas
Turnos:
- Terça (15-16-GA3),
Quarta (14-15-GA3) e Sexta
(14-15-GA4)
- Terça (16-17-GA4),
Quarta (15-16-GA4) e Sexta
(15-16-GA4)
26 Setembro
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Apresentação da
disciplina: página web; programa; bibliografia; avaliação. Introdução
aos sistemas de equações lineares: Definição de equação linear;Solução
de uma equação. Exemplos.
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27 Setembro
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Operações elementares
sobre um sistema de equações lineares. Matriz aumentada de um sistema e
operações elementares sobre linhas de uma matriz. Redução de uma matriz
a uma matriz em escada de linhas. Pivôs e característica de uma matriz.
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29 Setembro
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Método de eliminação de
Gauss (continuação). Solução geral de um sistema: variáveis livres;
grau de indeterminação; característica+grau de indeterminação = nº de
colunas da matriz dos coeficientes.
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3 Outubro
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Definição de matriz pxn e
de entradas de uma matriz. Notações. Vectores de R^2 e R^3 como
vectores coluna: adição de vectores e multiplicação de um vector por um
escalar real; representação geométrica. Definição de R^n; componentes
de um vector; adição de vectores e multiplicação de um vector por um
escalar real; propriedades destas operações.
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4 Outubro
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Combinação linear de
vectores de R^n. Conjunto gerado por um conjunto de vectores;
Independência linear. Exemplos em R^2 e R^3. Multiplicação de uma
matriz A por um vector coluna como combinação linear das colunas de A.
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6 Outubro
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A equação matricial
Ax=b. Adição de matrizes. Produto de uma matriz por um escalar. Produto
de matrizes. Propriedades das operações com matrizes. Definição de
matriz identidade de ordem n.
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10 de Outubro
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Inversão de matrizes:
definição de inversa; unicidade da inversa; inversa do produto de
matrizes. Matrizes elementares. Inversão de matrizes elementares.
Método de eliminação de Gauss-Jordan para cálculo da inversa de uma
matriz.
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| 11 de Outubro |
Sistemas de equações e
invertibilidade de matrizes. Matrizes triangulares. Transposta de uma
matriz. Matrizes simétricas e antisimétricas. Factorização LU e
resolução de sistemas.
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| 13 de Outubro |
Introdução aos
determinantes. Permutações; sinal de uma permutação. Produto elementar
de entradas de uma matriz n x n. Definição de determinante como a soma
de todos os produtos elementares com sinal. Cálculo do determinante
para matrizes 2x2 e 3x3.
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| 17 de Outubro |
Propriedades da função
determinante.
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| 18 de Outubro |
Propriedades da função
determinante (continuação). Fórmula de Laplace para o cálculo do
determinante. |
| 20 de Outubro |
Matriz adjunta. Fórmula da
inversa usando a matriz adjunta. Regra de Cramer. Introdução aos
espaços vectoriais.
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24 de Outubro
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1º Teste
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25 de Outubro
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Núcleo de uma matriz.
Fecho do núcleo para a adição e multiplicação por escalares. Definição
de subespaço linear. Exemplos de subespaços de R^2 e R^3. Núcleo de uma
matriz e conjunto gerado por um subconjunto de vectores como exemplos
de subespaços. Dimensão do núcleo de A como grau de indeterminação do
sistema Ax=0.
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27 de Outubro
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Espaço das linhas e espaço
das colunas de uma matriz. Método de Eliminação de Gauss e
determinação de conjuntos geradores para estes espaços. Característica
de uma matriz e dimensão dos espaços das linhas e das colunas da
matriz. Teorema da dimensão: dim EL(A)+ dim N(A) = nº de colunas de A.
Definição de base.
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31 de Outubro
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Independência linear;
bases e dimensão; Coordenadas de um vector numa determinada base;
Exemplos.
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3 Nov.
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Exemplos de espaços
lineares: Bases para C^n como espaço linear real e como espaço linear
complexo; Espaço linear de matrizes; Subespaço das matrizes simétricas
e dimensão. Espaço linear dos polinómios de grau menor ou igual a n,
sua dimensão e base canónica.
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7 Nov.
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Revisões sobre espaços
lineares.
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8 Nov.
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Valores e vectores
próprios: definição; equação característica; espaços próprios; exemplo.
Determinante e produto de valores próprios; traço e soma de valores
próprios. Relação entre os valores e vectores próprios de uma matriz e
os das potências de uma matriz.
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10 Nov.
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Matrizes semelhantes e
seus valores próprios. Definição de matriz diagonalizável. Condição
para que uma matriz A seja diagonalizável e construção de uma matriz
que diagonaliza A. Exemplo de uma matriz não diagonalizável.
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14- Nov.
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2º Teste
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15- Nov.
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Exemplo de uma matriz com
valores próprios múltiplos e diagonalizável. Matrizes nxn com n valores
próprios distintos são diagonalizáveis. Valores próprios complexos e
vectores próprios associados.
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17-Nov.
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Produto interno usual em
R^2 e R^n. Propriedades deste produto interno. Produto interno usual em
C^n. Definição de produto interno num espaço linear real
(respectivamente complexo). Definição de norma de um vector; distância
entre vectores; desigualdade de Cauchy-Schwarz; desigualdade triangular.
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21- Nov
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Noção de ortogonalidade.
Teorema de Pitágoras num espaço linear munido de produto interno.
definição de complemento ortogonal de um subespaço. Espaço das linhas
de uma matriz como complemento ortogonal do núcleo da matriz e espaço
das colunas de uma matriz como complemento ortogonal do núcleo da
transposta.
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22-Nov
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Conjuntos ortogonais e
ortonormados. Independência linear de conjuntos ortogonais. Projecção
ortogonal de um vector sobre outro. Coordenadas de um vector numa base
ortogonal. Construção de uma base ortogonal a partir de uma dada base
(Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt).
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24-Nov
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Teorema da decomposição
ortogonal. Teorema da melhor aproximação. Mínimos quadrados.
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28-Nov.
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Equações de rectas e
planos. Introdução às matrizes hermiteanas, anti-hermiteanas,
unitárias, simétricas, anti-simétricas e ortogonais.
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29-Nov.
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Valores próprios de
matrizes hermiteanas, anti-hermiteanas,
unitárias, simétricas, anti-simétricas e ortogonais. Produto externo de
dois vectores de R^3. produto externo e área de um
paralelogramo. Volume de um paralelipípedo e determinante de uma
matriz. |
5-Dez.
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Funções lineares entre
espaços lineares: Definição; Exemplos.
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6-Dez
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Núcleo e conjunto imagem
de uma transformação linear. Matriz que representa uma transformação
linear em bases fixadas no espaço de partida e no espaço de chegada.
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12-Dez
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Composição de
transformações lineares. Funções injectivas, sobrejectivas e
bijectivas. Teorema da dimensão.
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13-Dez.
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Inversa de uma
transformação linear. Matriz de mudança de base. Matrizes que
representam uma transformação linear em bases distintas e matriz de
mudança de base.
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16- Dez.
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Exemplos e exercícios
sobre os conceitos principais de transformações lineares.
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19- Dez.
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4º Teste
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20 Dez.
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Revisão de provas
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Sumários das aulas de problemas
Turnos:
- Terça (17:00-18:30-C10)
- Quarta (12:30-14:00-E4)
3 Outubro
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1ªLista de Exercícios:
Problemas 1,2,3,6,9,10,14b) e 35
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4 Outubro
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1ªLista de Exercícios:
Problemas 1,2,3,6,9,10,14b) e 35 |
10 de Outubro
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1ªLista de Exercícios:
Problemas 15a) e c), 16, 20, 21b),23a), b), 24 |
| 11 de Outubro |
1ªLista de Exercícios:
Problemas 15a) e c), 16, 20, 21b),23a), b), 24 |
| 17 de Outubro |
1ªLista de Exercícios:
Problemas 14, 27d),28b), 29, 35,36,37,38 |
| 18 de Outubro |
1ªLista de Exercícios:
Problemas 14, 27d),28b) 29, 35,36,37,38 |
24 de Outubro
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2ªLista de Exercícios:
Problemas 1,2,3,5,6,7a),b)12 a) b). |
25 de Outubro
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2ªLista de Exercícios:
Problemas 1,2,3,5,6,7a),b)12 a) b). |
31 de Outubro
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3ªLista de Exercícios:
Problemas 1 b),2a),3c),4,5,6,11,12,14,19,23 |
3 Nov.
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3ªLista de Exercícios:
Problemas 1 b),2a),3c),4,5,6,11,12,14 (aula de reposição do feriado de
dia 1 de Nov.) |
7Nov
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3ªLista de Exercícios:
Problemas 25,26,27,29,14 b) 18, 20,21
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8 Nov.
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3ªLista de Exercícios:
Problemas 25,26,27,29,14 b) 18, 20,21 |
14- Nov.
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4ªLista de Exercícios:
Problemas 1a),b),c),2,3,16 |
15- Nov.
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4ªLista de Exercícios:
Problemas 9,12b)c)13,14 e 5ª Lista Problemas 1,2,3 |
21- Nov
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4ªLista de Exercícios:
Problemas 9,12b)c)13,14 e 5ª Lista Problemas 1,2,3 |
22-Nov
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5ªLista de Exercícios:
Problemas 2,7,8,9,10,22,23 |
24-Nov
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5ªListade Exercícios:
Problemas 2,7,8,9,10,22,23 |
28-Nov.
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5ªLista de Exercícios:
Problemas 26,28 e 7ªLista, Problemas: 2,4,7 |
29-Nov.
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5ªLista de Exercícios:
Problemas 26,28, e 7ªLista, Problemas: 2,4,7 |
5-Dez.
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5ªLista de Exercícios:
Problemas 12,14,16,28,29 |
6-Dez
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5ªLista de Exercícios:
Problemas 12,14,16,28,29 |
12-Dez
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6ªLista de Exercícios:
Problemas 1,2,3b)c),7,11,12,13 |
13-Dez.
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6ªLista de Exercícios:
Problemas 1,2,3b)c),7,11,12,13
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