| Aulas |
Sumário |
| 26/9/05 |
Apresentação:
Programa e bibliografia; avaliação. Breve
introdução aos sistemas de equações
lineares: Resolução geométrica de um sistema de 2
equações a 2 incógnitas. Combinação
linear de vectores do plano. |
| 28/09/05 |
Representação
matricial de um sistema de n equações a k
incógnitas. Cálculo matricial:
multiplicação de matrizes. |
| 30/09/05 |
Operações
com matrizes (continuação) e algumas propriedades.
Método de eliminação de Gauss para a
resolução de sistemas de equações lineares:
operações elementares sobre o sistema e respectivas
operações sobre a matriz aumentada. Característica
de uma matriz. Incógnitas livres e não livres. Grau de
indeterminação de um sistema. |
| 3/10/05 |
Matriz
em escada de linhas. Matrizes elementares. Método de
Eliminação de Gauss e multiplicação
(à esquerda) de uma matriz por matrizes elementares.
Definição de inversa e unicidade. |
| 7/10/05 |
Cálculo
da matriz inversa: Inversa de matrizes elementares; Cálculo da
inversa de uma matriz usando o método de
eliminação de Gauss-Jordan. |
| 10/10/05 |
Inversão
do produto de matrizes. Caracterização de matrizes
invertíveis em termos da característica. Discussão
de sistemas de equações lineares.
Introdução aos determinantes. |
| 12/10/05 |
Definição
de determinante de uma matriz. Propriedades dos determinantes. |
| 14/10/05 |
Propriedades dos determinantes (continuação). |
| 17/10/05 |
Fórmula
para o determinante de uma matriz nxn usando permutações
de {1,2,...n}. Desenvolvimento de Laplace para o cálculo do
determinante. |
| 19/10/05 |
1ºTeste |
| 21/10/05 |
Cálculo
da inversa usando a matriz adjunta. Regra de Cramer.
Introdução aos espaços lineares:
Combinações lineares (de vectores de R^n) e
expansão linear. Exemplos. |
| 24/10/05 |
Núcleo
de uma matriz. Exemplos de conjunto gerador para o núcleo
de uma matriz. Subespaços lineares. Núcleo de uma matriz
real como um subespaço linear de R^n. Definição de
Espaço das linhas e das colunas de uma matriz. |
| 26/10/05 |
Conjuntos
geradores para os espaços das linhas e das colunas de uma
matriz. Independência linear e bases. Exemplos de bases em R^2 e
R^3. |
| 28/10/05 |
Bases
ordenadas e coordenadas de um vector em relação a uma
base. Dimensão de um espaço linear. Propriedades de dependência e independência linear de vectores dum espaço linear de dimensão k. Bases para os espaços das linhas e das colunas de uma matriz. |
| 31/10/05 |
Definição
de espaço vectorial real ou complexo. Exemplos de espaços
e determinação de bases: R^n,C^n, matrizes,
polinómios, funções reais de variável real.
|
| 2/11/05 |
Base
para o núcleo de uma matriz. Espaços lineares e
resolução de sistemas. Exercícios sobre
espaços lineares de polinómios. (Esta aula foi leccionada pela Professora Margarida Mendes Lopes) |
| 4/11/05 |
Definição
de valor e vector próprio. Equação
característica e polinómio característico. Revisões. (Esta aula foi interrompida por falta de condições para um normal funcionamento). |
| 7/11/05 |
2º
Teste |
| 9/11/05 |
Subespaços
próprios. Multiplicidade algébrica e geométrica de
um valor próprio. Polinómio característico de
matrizes semelhantes. Exemplos. |
| 11/11/05 |
Diagonalização
de matrizes. Exemplos. |
| 14/11/05 |
Introdução
às equações diferenciais ordinárias.
Solução geral de uma EDO y'= ky, e de um problema de
valor
inicial associado a este tipo de equações. Sistemas de
EDOs da forma y' = A y e solução geral quando $A$
é diagonal ou diagonalizável. |
| 16/11/05 |
Exemplo:
Cálculo da solução geral de um sistema y'=Ay.
Equações diferenciais de ordem n de coeficientes
constantes: redução de ordem. |
| 18/11/05 |
Exemplo:
Cálculo da solução geral de uma
equação diferencial de ordem n de coeficientes
constantes. Solução geral de uma equação
diferencial linear não homogénea. Produto interno euclidiano em R^n: propriedades, norma, distância e ângulo. |
| 21/11/05 |
Produto
interno num espaço linear real. Desigualdade triangular para a
norma. Ortogonalidade: Vectores ortogonais e subespaços
ortogonais. Complementos ortogonais: Núcleo de uma matriz real
como complemento ortogonal do espaço das suas linhas e
núcleo da transposta como complemento ortogonal do espaço
das colunas. Dimensão de um subespaço e do seu
complemento ortogonal. Projecção ortogonal de um vector
sobre outro. |
| 23/11/05 |
Coordenadas
de um vector numa base ortogonal. Projecção
ortogonal sobre um subespaço. Decomposição de um
espaço linear como soma directa de um subespaço e do seu
complemento ortogonal. |
| 25/11/05 |
Teorema
da melhor aproximação. Exemplo: de cálculo de
distância de um ponto a um subespaço,
projecção ortogonal num subespaço e no seu
complementar. Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. |
| 28/11/05 |
Subespaços
afins (planos-k) e soluções de sistemas de
equações lineares não homogéneas. Equações cartesianas de rectas e planos em R^3. Equações cartesianas de planos-k em R^n. |
| 30/11/05 |
Produto
interno em espaços lineares complexos. Matrizes hermiteanas,
anti-hermiteanas e unitárias. Caracterização dos
valores próprios destas matrizes. Introdução
à ortodiagonalização de matrizes
simétricas. |
| 2/12/05 |
Ortodiagonalização
de matrizes simétricas. Exemplo. Produto externo de vectores.
Área do paralelogramo e volume de um paralelipípedo.
Interpretação geométrica do determinante. |
| 5/12/05 |
Definição
de transformação linear. Exemplos: reflexão em
relação a rectas e planos; projecção
ortogonal sobre rectas e planos; rotação em R^2 em torno
da origem de um ângulo $\theta$; rotação em torno
de um eixo. |
| 7/12/05 |
Matriz
que representa uma transformação linear em
relação a bases fixadas no espaço de partida e no
espaço de chegada. |
| 9/12/05 |
Matriz
de mudança de base. Relação entre matrizes que
representam uma transformação linear em
relação a bases distintas e a matriz de mudança de
base. Exemplos |
| 12/12/05 |
Nucleo
e contradomínio de uma transformação linear.
Teorema da dimensão. Composição de
transformações lineares. Transformações
lineares injectivas, sobrejectivas e bijectivas. |
| 14/12/05 |
Invertibilidade
de transformações lineares. |
| 16/12/05 |
Revisões:
exercícios sobre transformações lineares. |
| 19/12/05 |
Teste |
| 21/12/05 |
Revisão
de provas. |